8.1 Lei Fraca dos Grandes Números

Sejam X1,X2,…X_{1},X_{2},\dots variáveis aleatórias integráveis em (Ω,ℱ,ℙ)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) e S1,S2,…S_{1},S_{2},\dots suas somas parciais dadas por

Sn=X1+X2+⋯+Xn.S_{n}=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n}.

A Lei Fraca dos Grandes Números diz que, sob certas hipóteses,

Sn−𝔼⁢Snn⁢→ℙ⁢0.\frac{S_{n}-\mathbb{E}S_{n}}{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0.
Teorema 8.1 (Lei dos Grandes Números de Bernoulli).

Considere uma sequência de ensaios independentes tendo probabilidade pp de sucesso em cada ensaio. Se SnS_{n} é o número de sucessos nos primeiros nn ensaios, então

Snn⁢→ℙ⁢p.\frac{S_{n}}{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}p.

A Lei dos Grandes Números de Bernoulli tem uma importância histórica inestimável1212 12 A Lei dos Grande Números de Bernoulli aparece pela primeira vez sob o nome de Teorema Áureo em seu livro Ars Conjectandi publicado postumamente em 1713.. De certa forma, esse teorema justifica o conceito de probabilidade como sendo a frequência relativa de ocorrência de um evento, isto é,

p≈número de experimentos em que o evento é observadonúmero total de experimentos realizados,p\approx\frac{\text{n\'{u}mero de experimentos em que o evento \'{e} observado% }}{\mbox{n\'{u}mero total de experimentos realizados}},

onde a ideia de aproximação passa a ter um significado mais preciso, o da convergência em probabilidade. Não veremos a demonstração original de Bernoulli, o teorema abaixo é mais geral.

Teorema 8.2 (Lei dos Grandes Números de Tchebyshev).

Sejam X1,X2,…X_{1},X_{2},\dots variáveis aleatórias não-correlacionadas. Suponha que existe MM finito tal que 𝕍⁢Xn<M\mathbb{V}X_{n}<M para todo nn. Então

Sn−𝔼⁢Snn⁢→ℙ⁢0.\frac{S_{n}-\mathbb{E}S_{n}}{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0.
Demonstração.

Pela Desigualdade de Tchebyshev,

ℙ⁢(|Sn−𝔼⁢Snn|⩾ε)⩽𝕍⁢(Snn)ε2=𝕍⁢Snε2⁢n2=∑j=1n𝕍⁢Xjε2⁢n2⩽n⋅Mε2⁢n2→0.∎\mathbb{P}\left(\left|\frac{S_{n}-\mathbb{E}S_{n}}{n}\right|\geqslant% \varepsilon\right)\leqslant\frac{\mathbb{V}(\frac{S_{n}}{n})}{\varepsilon^{2}}% =\frac{\mathbb{V}S_{n}}{\varepsilon^{2}n^{2}}=\frac{\sum_{j=1}^{n}\mathbb{V}X_% {j}}{\varepsilon^{2}n^{2}}\leqslant\frac{n\cdot M}{\varepsilon^{2}n^{2}}\to 0.\qed

Posteriormente, foi provada por A.Y. Khintchine a versão abaixo que retira a hipótese de variância finita, mas precisa que as variáveis sejam i.i.d.

Teorema 8.3 (Lei dos Grandes Números de Khintchine).

Sejam X1,X2,…X_{1},X_{2},\dots variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas e integráveis, com média μ\mu. Então

Snn⁢→ℙ⁢μ.\frac{S_{n}}{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}\mu.

A demonstração original de Khintchine foi feita usando o método de truncamento, aparentemente introduzido por Markov, e utilizado em seguida por Kolmogorov na prova da Lei Forte dos Grandes Números. Este teorema é corolário da Lei Forte dos Grandes Números de Kolmogorov, que será enunciada na próxima seção e provada na seção seguinte. Uma prova alternativa usando funções características será dada na Seção 10.2.