Capítulo 12 Martingales

Uma pergunta que os autores ouvem frequentemente é: qual a melhor estratégia que posso adotar em um cassino? A resposta curta é: não apostar. O estudo de martingales explica, entre muitas outras coisas, como qualquer receita para lucrar em cassinos é, na verdade, uma receita para ir à falência.²⁰²⁰ 20 Uma conhecida exceção é a do jogo de blackjack com poucos maços de baralho e regras de pagamento generosas (ambos raros hoje em dia), em que, após um período de lucro médio negativo, um apostador extremamente habilidoso poderia haver adquirido suficiente informação sobre as cartas restantes no baralho para começar a ter lucro médio ligeiramente positivo e, caso não fosse expulso em poucos minutos, poderia teoricamente compensar o período inicial e esperar algum lucro resultante positivo no final.

Considere um apostador que participa de um determinado jogo, e que a cada rodada ele vence com probabilidade $p\in[0,\frac{1}{2}]$. Em caso de vitória, ele ganha o montante apostado e, em caso de derrota, ele perde a mesma quantia. Se $X_{n}$ representa o resultado obtido ($+1$ para vitória ou $-1$ para derrota) e $C_{n}$ representa o valor apostado na $n$-ésima rodada, então $S_{n}=S_{n-1}+C_{n}X_{n}$ é o capital acumulado ao final da $n$-ésima rodada. Aqui $C_{n}$ deve ser uma função determinística de $X_{1},\dots,X_{n-1}$ e representa a estratégia desse apostador. Efetivamente, o apostador tem todo o direito de utilizar a informação passada para decidir se e quanto vai apostar, mas deve decidi-lo sem saber qual será o resultado da próxima rodada. Analogamente, um investidor decide comprar uma ação sem saber se seu preço vai subir ou cair.

Observe que $S_{n+1}-S_{n}$ não precisa ser independente de $S_{0},\dots,S_{n}$. Sequências cujos incrementos não são independentes surgem naturalmente em várias situações, tanto teóricas quanto práticas. Alguns casos especiais têm sua própria teoria, includindo as cadeias de Markov, que não são abordadas nesse livro, os processos estacionários, estudados no Capítulo 14, e os martingales, que são tema deste capítulo.