12.5 Convergência de martingales em $\mathcal{L}^{p}$

Na seção anterior, estudamos condições para que um submartingale convirja quase certamente, o que não necessariamente implica convergência dos respectivos momentos, conforme podemos observar nos exemplos abaixo.

Exemplo 12.35.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com $\mathbb{P}(X_{n}=0)=\mathbb{P}(X_{n}=2)=\frac{1}{2}$ , e considere sua filtração natural. Defina $M_{n}=X_{1}\times\cdots\times X_{n}$ . Então $(M_{n})_{n}$ é um martingale não-negativo e $M_{n}\to 0$ quase certamente. Observe que o martingale $(M_{n})_{n}$ não converge em $\mathcal{L}^{1}$ pois $\mathbb{E}[\lim_{n}M_{n}]\neq\lim_{n}\mathbb{E}M_{n}$ . ∎

O exemplo acima é uma reformulação do Exemplo 12.22. Há outros exemplos do mesmo fenômeno. No processo de ramificação crítico ( $\lambda=1$ ), vimos que $(Z_{n})_{n}$ é um martingale com $\mathbb{E}Z_{n}=\mathbb{E}Z_{0}=1$ , mas $Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ . Também vimos no Exemplo 12.30 que o passeio aleatório simétrico começando em $x$ e parado em $y$ é um martingale que satisfaz $\mathbb{E}S_{n\wedge\tau}=x$ mas $S_{n\wedge\tau}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}y\neq x$ .

Gostaríamos de saber quando a esperança é preservada no limite. A definição a seguir terá um papel importante na convergência de martingales em $\mathcal{L}^{1}$ .

Definição 12.36 (Integrabilidade uniforme).

Dizemos que uma sequência de variáveis aleatórias $(X_{n})_{n}$ é uniformemente integrável se

\lim_{{k}\to\infty}\sup_{n}\int_{\{|X_{n}|\geqslant{k}\}}|X_{n}|\ \mathrm{d}% \mathbb{P}=0.

Teorema 12.37 (Teorema de Convergência de Vitali).

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência uniformemente integrável. Então $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ . Se, ademais, $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X$ , então $X$ é integrável e $X_{n}\to X$ em $\mathcal{L}^{1}$ .

Demonstração.

Para a primeira afirmação, basta tomar ${k}$ tal que

\sup_{n}\int_{\{|X_{n}|\geqslant{k}\}}|X_{n}|\ \mathrm{d}\mathbb{P}\leqslant 1,

pois isso nos dá $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|\leqslant{k}+1$ para todo $n$ .

Para a segunda, suponha que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X$ . Pelo Lema de Fatou, $\mathbb{E}|X|\leqslant\liminf_{n}\mathbb{E}|X_{n}|\leqslant\sup_{n}\mathbb{E}|% X_{n}|<\infty$ , logo $X$ é integrável.

Agora seja $\varepsilon>0$ . Tome $k$ tal que $\int_{\{|X|>k\}}|X|\,\mathrm{d}\mathbb{P}<\varepsilon$ e $\int_{\{|X_{n}|>k\}}|X_{n}|\,\mathrm{d}\mathbb{P}<\varepsilon$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Defina $g(x)=x\mathds{1}_{[-k,k]}(x)+k\mathds{1}_{(k,+\infty)}(x)-k\mathds{1}_{(-% \infty,-k)}(x)$ . Estimaremos

\mathbb{E}|X_{n}-X|\leqslant\mathbb{E}|g(X_{n})-g(X)|+\mathbb{E}|g(X_{n})-X_{n% }|+\mathbb{E}|g(X)-X|.

Como $g$ é contínua, $g(X_{n})\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}g(X)$ e, pelo Teorema da Convergência Dominada, $\mathbb{E}|g(X_{n})-g(X)|\to 0$ . Como $|g(x)-x|<|x|\mathds{1}_{|x|>k}$ , temos que $\mathbb{E}|g(X_{n})-X_{n}|\leqslant\varepsilon$ e $\mathbb{E}|g(X)-X|\leqslant\varepsilon$ . Portanto, $\limsup_{n}\mathbb{E}|X_{n}-X|\leqslant 2\varepsilon$ , para todo $\varepsilon$ , concluindo a prova. ∎

Observação 12.38.

Integrabilidade uniforme implica $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ mas não vale a recíproca. Por exemplo, se $\mathbb{P}(X_{n}=n)=1-\mathbb{P}(X_{n}=0)=\frac{1}{n}$ , então $\mathbb{E}|X_{n}|=1$ mas essa sequência não é uniformemente integrável. ∎

Teorema 12.39.

Seja $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ um submartingale uniformemente integrável. Então, existe uma variável aleatória $X_{\infty}$ , tal que $X_{n}\to X_{\infty}$ quase certamente e em $\mathcal{L}^{1}$ . Além disso, $\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]\geqslant X_{k}$ q.c. para todo $k\in\mathbb{N}_{0}$ . Em particular, se $(X_{n})_{n}$ é um martingale uniformemente integrável, $\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]=X_{k}$ q.c.

Demonstração.

Pelo Teorema de Convergência de Vitali, $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ . Logo, pelo Teorema da Convergência de Martingales, existe uma variável aleatória estendida $X_{\infty}$ tal que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X_{\infty}$ . Pelo Teorema de Convergência de Vitali novamente, $X_{\infty}$ é integrável e $X_{n}\to X_{\infty}$ em $\mathcal{L}^{1}$ . Finalmente, seja $A\in\mathcal{F}_{k}$ . Como $X_{n}\to X_{\infty}$ em $\mathcal{L}^{1}$ e $\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{F}_{k}]\geqslant X_{k}$ para $n\geqslant k$ , temos

\int_{A}\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}X% _{\infty}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\lim_{n}\int_{A}X_{n}\,\mathrm{d}\mathbb{P}% \geqslant\int_{A}X_{k}\,\mathrm{d}\mathbb{P}.

Como ambos $\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]$ e $X_{k}$ são $\mathcal{F}_{k}$ -mensuráveis e a desigualdade vale para todo $A\in\mathcal{F}_{k}$ , pelo Exercício 5.64 concluímos que $\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]\geqslant X_{k}$ q.c. ∎

Podemos inspecionar o martingale definido no Exemplo 12.35 e verificar diretamente que ele converge certamente mas não é uniformemente integrável nem converge em $\mathcal{L}^{1}$ . Abaixo, discutimos mais alguns exemplos.

Exemplo 12.40.

Seja $M_{n}$ o passeio aleatório simétrico começando de $x=1$ e parado em $y=0$ , como definido no Exemplo 12.30. Observe que $\sup_{n}\mathbb{E}|M_{n}|=1$ pois $M_{n}\geqslant 0$ q.c. e $\mathbb{E}M_{n}=1$ para todo $n$ , donde pudemos concluir que $(M_{n})_{n}$ converge q.c. Entretanto, $M_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ , logo não pode valer convergência em $\mathcal{L}^{1}$ e esse martingale não é uniformemente integrável. ∎

Exemplo 12.41.

O processo de ramificação crítico satisfaz $\sup_{n}\mathbb{E}|Z_{n}|<\infty$ pois $Z_{n}\geqslant 0$ q.c. e $\mathbb{E}Z_{n}=1$ para todo $n$ . Isso foi usado para mostrar que $Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ . Novamente, não pode valer convergência em $\mathcal{L}^{1}$ e esse martingale não é uniformemente integrável. ∎

As proposições seguintes são critérios úteis para verificar a integrabilidade uniforme.

Proposição 12.42.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias. Se $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ para algum $p>1$ , então $(X_{n})_{n}$ é uniformemente integrável.

Demonstração.

Basta observar que

\sup_{n}\int_{\{|X_{n}|\geqslant{k}\}}|X_{n}|\ \mathrm{d}\mathbb{P}\leqslant% \sup_{n}\int_{\{|X_{n}|\geqslant{k}\}}\frac{|X_{n}|^{p}}{{k}^{p-1}}\ \mathrm{d% }\mathbb{P}\leqslant\frac{\sup_{n}{\mathbb{E}|X_{n}|^{p}}}{{k}^{p-1}}\to 0

quando $k\to\infty$ , pois $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ . ∎

Proposição 12.43.

Seja $(X_{n})_{n}$ um martingale tal que $X_{0}=0$ q.c. Suponha que $\mathbb{E}(X_{n}-X_{n-1})^{2}<\infty$ para todo $n$ . Então

\mathbb{E}X_{n}^{2}=\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}(X_{k}-X_{k-1})^{2}\text{ para % todo }n.

Em particular, se $(M_{n})_{n}$ é um martingale tal que $\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{E}(M_{k}-M_{k-1})^{2}<\infty$ , então $(M_{n})_{n}$ é uniformemente integrável, logo converge q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ .

Demonstração.

Mostraremos a primeira parte por indução em $n$ . Expandindo os todos termos, vemos que

\displaystyle X_{n+1}^{2}=X_{n}^{2}+(X_{n+1}-X_{n})^{2}+2\,X_{n}(X_{n+1}-X_{n}).

Observe que $X_{n}(X_{n+1}-X_{n})$ é integrável, pois $|xy-x^{2}|\leqslant y^{2}+2x^{2}$ para todos $x$ e $y$ em $\mathbb{R}$ . Como $(X_{n})_{n}$ é um martingale,

\mathbb{E}[X_{n}(X_{n+1}-X_{n})|\mathcal{F}_{n}]=X_{n}\,\mathbb{E}[X_{n+1}-X_{% n}|\mathcal{F}_{n}]=0\text{ q.c.}

Tomando a esperança na equação acima, obtemos $\mathbb{E}[X_{n}(X_{n+1}-X_{n})]=0$ , o que termina a prova por indução.

Para a segunda parte, tome $X_{n}=M_{n}-M_{0}$ , observe que $\sup_{n}\mathbb{E}X_{n}^{2}=\sum_{n}\mathbb{E}(M_{n}-M_{n-1})^{2}<\infty$ . Pela Proposição 12.42, $(X_{n})_{n}$ é uniformemente integrável. Pelo Teorema 12.39, $(X_{n})_{n}$ converge q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ para alguma $X_{\infty}$ . Portanto, $\mathbb{E}|M_{n}-M_{0}-X_{\infty}|\to 0$ , donde concluímos que $(M_{n})_{n}$ converge q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ para $X_{\infty}+M_{0}$ . ∎

Exemplo 12.44 (Processo de ramificação supercrítico).

Continuando o Exemplo 12.29, mostraremos que quando $\lambda>1$ há probabilidade positiva de a população crescer exponencialmente ao invés de se extinguir. Como $(M_{n})_{n}$ é um martingale não-negativo, sabemos que converge quase certamente para alguma variável aleatória $M_{\infty}$ . Basta então mostrar que $\mathbb{P}(M_{\infty}>0)>0$ .

Para isso, vamos estimar $\mathbb{E}(M_{n}-M_{n-1})^{2}$ . Observe que

	$\displaystyle(M_{n}-M_{n-1})^{2}$	$\displaystyle=\lambda^{-2n}\,(Z_{n}-\lambda Z_{n-1})^{2}$
		$\displaystyle=\lambda^{-2n}\Big{[}\sum_{k}\mathds{1}_{\{Z_{n-1}=k\}}\Big{(}% \sum_{j=1}^{k}(X_{{n,j}}-\lambda)\Big{)}^{2}\Big{]}.$

Tomando a esperança e usando independência entre $Z_{n-1}$ e $(X_{n,j})_{j}$ ,

	$\displaystyle\mathbb{E}(M_{n}-M_{n-1})^{2}$	$\displaystyle=\lambda^{-2n}\,\Big{[}\sum_{k}\mathbb{P}({Z_{n-1}=k})\cdot% \mathbb{E}\Big{(}\sum_{j=1}^{k}(X_{{n,j}}-\lambda)\Big{)}^{2}\Big{]}$
		$\displaystyle=\lambda^{-2n}\,\Big{[}\sum_{k}\mathbb{P}({Z_{n-1}=k})\cdot k\,% \sigma^{2}\Big{]}$
		$\displaystyle=\lambda^{-2n}\,\sigma^{2}\,\mathbb{E}[Z_{n-1}]=\sigma^{2}\,% \lambda^{-n-1}.$

Logo, $\sum_{n}\mathbb{E}(M_{n}-M_{n-1})^{2}<\infty$ . Pela Proposição 12.43, $(M_{n})_{n}$ converge em $\mathcal{L}^{1}$ . Portanto, $\mathbb{E}M_{\infty}=\mathbb{E}M_{1}=1$ e $\mathbb{P}(M_{\infty}>0)>0$ . ∎

O teorema abaixo diz que uma variável aleatória pode ser aproximada por sua esperança condicional dada uma $\sigma$ -álgebra de uma filtração qualquer.

Teorema 12.45.

Sejam $(\mathcal{F}_{n})_{n}$ uma filtração e $Z$ uma variável aleatória integrável. Defina $\mathcal{F}_{\infty}=\sigma(\cup_{n}\mathcal{F}_{n})$ . Então

\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{n}]\to\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{\infty}]\text{ q.c.% \ e em }\mathcal{L}^{1}.

Demonstração.

Para todo $n\in\mathbb{N}$ , definimos $X_{n}=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{n}]$ , que é um martingale com respeito à filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n}$ conforme vimos no Exemplo 12.6. Mostraremos inicialmente que $(X_{n})_{n}$ é uniformemente integrável. Seja $\varepsilon>0$ . Como $Z$ é integrável, podemos tomar $\beta$ de modo que $\int_{\{|Z|>\beta\}}|Z|\ \mathrm{d}\mathbb{P}<\tfrac{\varepsilon}{2}$ . Sendo assim,

	$\displaystyle\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\|X_{n}\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$	$\displaystyle\leqslant\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\mathbb{E}[\|Z\|\big{\|}\mathcal{F}_{% n}]\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
		$\displaystyle=\int_{\{\|X_{n}\|>{k},\|Z\|\leqslant\beta\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P% }+\int_{\{\|X_{n}\|>{k},\|Z\|>\beta\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
		$\displaystyle\leqslant\beta\mathbb{P}(\|X_{n}\|\geqslant{k})+\int_{\{\|Z\|>\beta\}% }\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
		$\displaystyle\leqslant\frac{\beta\mathbb{E}\|X_{n}\|}{{k}}+\frac{\varepsilon}{2}% \leqslant\frac{\beta\mathbb{E}\|Z\|}{{k}}+\frac{\varepsilon}{2}\leqslant\varepsilon,$

onde na última desigualdade, tomamos ${k}>\tfrac{2\beta\mathbb{E}|Z|}{\varepsilon}$ . Isto mostra a integrabilidade uniforme de $(X_{n})_{n}$ . Portanto, pelo Teorema 12.39, $X_{n}=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{n}]\to X_{\infty}$ q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ .

Resta mostrar que $\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{\infty}]=X_{\infty}$ . Primeiro, podemos tomar $X_{\infty}=\lim_{n}X_{n}\cdot\mathds{1}_{\{(X_{n})_{n}\text{ converge}\}}$ , de forma que $X_{\infty}$ é $\mathcal{F}_{\infty}$ -mensurável pelo Lema 3.50. Observe que para todos $A\in\mathcal{F}_{n}$ e $m\geqslant n$ , pela definição de $X_{m}$ temos que

\int_{A}X_{m}\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Z\ \mathrm{d}\mathbb{P}.

Como $X_{m}\overset{\mathcal{L}^{1}}{\rightarrow}X_{\infty}$ , podemos tomar o limite na integral, obtendo

\int_{A}X_{\infty}\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\lim_{m}\int_{A}X_{m}\ \mathrm{d}% \mathbb{P}=\int_{A}Z\ \mathrm{d}\mathbb{P}\ \text{ para todo }A\in\cup_{n\in% \mathbb{N}}\mathcal{F}_{n}.

Lembrando que $Z$ e $X_{\infty}$ são integráveis, podemos definir para todo $A\in\mathcal{F}_{\infty}$ ,

\mu(A)=\int_{A}(Z^{+}+X_{\infty}^{-})\ \mathrm{d}\mathbb{P}\quad\text{ e }% \quad\nu(A)=\int_{A}(X_{\infty}^{+}+Z^{-})\ \mathrm{d}\mathbb{P},

obtendo duas medidas finitas $\mu$ e $\nu$ definidas em $(\Omega,\mathcal{F}_{\infty})$ , que coincidem na classe $\cup_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{F}_{n}$ . Como essa classe é um $\pi$ -sistema, pelo Teorema 3.37 (unicidade de medidas), as medidas coincidem na $\sigma$ -álgebra $\sigma(\cup_{n}\mathcal{F}_{n})=\mathcal{F}_{\infty}$ . Assim,

\int_{A}X_{\infty}\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Z\ \mathrm{d}\mathbb{P}\ % \text{ para todo }A\in\mathcal{F}_{\infty}.

Como $X_{\infty}$ é $\mathcal{F}_{\infty}$ -mensurável, segue que $X_{\infty}=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{\infty}]$ q.c. ∎

Se um martingale satisfaz $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ para algum $p>1$ , podemos combinar a Proposição 12.42 com o Teorema 12.39 para concluir que $X_{n}\to X_{\infty}$ q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ . Entretanto, nesse caso podemos concluir algo bem mais forte, conforme enunciado abaixo.

Teorema 12.46 (Convergência em $\mathcal{L}^{p}$ ).

Sejam $p>1$ e $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ um martingale, ou um submartingale não-negativo, e suponha que $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ . Então, existe uma variável aleatória $X_{\infty}$ , tal que $X_{n}\to X_{\infty}$ quase certamente e em $\mathcal{L}^{p}$ .

Demonstração.

Defina $Y=\sup_{n}|X_{n}|=\lim_{n}\max_{j=1,\dots,n}|X_{j}|$ . Usando o Teorema 12.21 e o Teorema da Convergência Monótona, temos $\mathbb{E}Y^{p}\leqslant(\tfrac{p}{p-1})^{p}\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ . Já sabemos que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X_{\infty}$ pelo parágrafo acima. Como $|X_{n}|\leqslant Y$ para todo $n$ , podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada em $\mathcal{L}^{p}$ , concluindo a prova. ∎

	$\displaystyle\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\|X_{n}\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$	$\displaystyle\leqslant\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\mathbb{E}[\|Z\|\big{\|}\mathcal{F}_{% n}]\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
		$\displaystyle=\int_{\{\|X_{n}\|>{k},\|Z\|\leqslant\beta\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P% }+\int_{\{\|X_{n}\|>{k},\|Z\|>\beta\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
		$\displaystyle\leqslant\beta\mathbb{P}(\|X_{n}\|\geqslant{k})+\int_{\{\|Z\|>\beta\}% }\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
		$\displaystyle\leqslant\frac{\beta\mathbb{E}\|X_{n}\|}{{k}}+\frac{\varepsilon}{2}% \leqslant\frac{\beta\mathbb{E}\|Z\|}{{k}}+\frac{\varepsilon}{2}\leqslant\varepsilon,$

12.5 Convergência de martingales em ℒp\mathcal{L}^{p}

Exemplo 12.35.

Definição 12.36 (Integrabilidade uniforme).

Teorema 12.37 (Teorema de Convergência de Vitali).

Demonstração.

Observação 12.38.

Teorema 12.39.

Demonstração.

Exemplo 12.40.

Exemplo 12.41.

Proposição 12.42.

Demonstração.

Proposição 12.43.

Demonstração.

Exemplo 12.44 (Processo de ramificação supercrítico).

Teorema 12.45.

Demonstração.

Teorema 12.46 (Convergência em ℒp\mathcal{L}^{p}).

Demonstração.

12.5 Convergência de martingales em $\mathcal{L}^{p}$

Teorema 12.46 (Convergência em $\mathcal{L}^{p}$ ).