12.1 Definições e exemplos

Em um espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, uma filtração é uma sequência de $\sigma$-álgebras $(\mathcal{F}_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ contidas em $\mathcal{F}$ tais que $\mathcal{F}_{n}\subseteq\mathcal{F}_{n+1}$ para todo $n\in\mathbb{N}_{0}$. Uma sequência crescente de $\sigma$-álgebras representa um experimento em que tem-se acesso a mais e mais informação à medida que passa o tempo, representado por $n$. Lembramos que a ideia de “informação” é representada pela classe de eventos cuja ocorrência é acessível a um determinado observador. Por exemplo, imagine que uma moeda será lançada muitas vezes, e acabamos de observar o resultado do primeiro lançamento. Neste caso, particionamos $\Omega$ em dois eventos, e nossa informação até este momento é codificada pela $\sigma$-álgebra formada pelos quatro eventos: cara, coroa, o evento certo, e o evento impossível. Após o lançamento da segunda moeda, devemos particionar $\Omega$ em quatro eventos, e a $\sigma$-álgebra que codifica a informação observada terá $2^{4}=16$ eventos. Após o lançamento da terceira moeda, a $\sigma$-álgebra terá $2^{2^{3}}$ eventos.

Um processo estocástico é uma família indexada de variáveis aleatórias, o índice pode representar uma posição no espaço ou, mais frequentemente, um instante de tempo. Dizemos que o processo $(Z_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ é adaptado à filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ se, para todo $n\in\mathbb{N}_{0}$, $Z_{n}$ é $\mathcal{F}_{n}$-mensurável.

Em muitos casos, vamos querer que $Z_{n+1}$ seja independente de $\mathcal{F}_{n}$, e será útil a seguinte definição. A filtração natural do processo $(Z_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ é a filtração dada por $\mathcal{F}_{n}=\sigma(Z_{0},Z_{1},\dots,Z_{n})$. Em palavras, no instante $n$ temos a informação dada por $Z_{0},Z_{1},\dots,Z_{n}$ e nada mais. Essa é a menor filtração à qual o processo $(Z_{n})_{n}$ é adaptado.

Todas as definições e enunciados deste capítulo pressupõem que há um espaço de probabilidade e uma filtração subjacentes, mesmo que não se lhes faça referência explícita. Em alguns exemplos pediremos explicitamente que a filtração seja aquela natural de algum processo, como forma de assegurar independência de certos eventos ocorridos no futuro.

Note que a definição acima pressupõe um espaço $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ e uma filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n}$ fixos, como dito logo antes. Quando for necessário especificar a filtração, diremos que $(M_{n})_{n}$ é um martingale com respeito à filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n}$.

Da equação (12.3) surge a interpretação de que um martingale reflete os ganhos obtidos em um jogo justo: a esperança condicional do capital após a próxima rodada, dada a informação obtida até o presente momento, é igual ao capital acumulado até agora.

No exemplo acima, assim como em várias passagens deste capítulo, usamos implicitamente a Observação 12.1.

Assim como podemos interpretar um martingale como um jogo justo, a definição abaixo nos diz o que seria o análogo de um jogo favorável ou desfavorável ao apostador.

Observe que o exemplo acima é um caso particular do jogo mencionado no início deste capítulo, onde o valor apostado é igual a um em todas as rodadas.

Usaremos inúmeras vezes que $\mathbb{E}M_{n}\geqslant\mathbb{E}M_{n-1}$ se $(M_{n})_{n}$ é um submartingale, $\mathbb{E}M_{n}\leqslant\mathbb{E}M_{n-1}$ se $(M_{n})_{n}$ é um supermartingale, e $\mathbb{E}M_{n}=\mathbb{E}M_{0}$ se $(M_{n})_{n}$ é um martingale. Para verificar que um processo adaptado $(M_{n})_{n}$ é um submartingale, basta verificar que $\mathbb{E}[M_{n+1}-M_{n}|\mathcal{F}_{n}]\geqslant 0$ q.c., para todo $n$.

Salientamos que quase todos os enunciados que falam de submartingales têm seu análogo para supermartingales e vice-versa.