13.2 Independência de $\sigma$ -álgebras

Nesta seção, o espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ está fixado e todas as $\sigma$ -álgebras mencionadas estarão contidas em $\mathcal{F}$ .

Dizemos que duas $\sigma$ -álgebras $\mathcal{F}_{1}$ e $\mathcal{F}_{2}$ são independentes se $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B)$ para todos $A\in\mathcal{F}_{1}$ e $B\in\mathcal{F}_{2}$ . Recordando-nos da Definição 11.47, uma variável aleatória $X$ é independente de uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ se, e somente se, $\sigma(X)$ é independente de $\mathcal{G}$ . Ademais, duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ são independentes se, e somente se, $\sigma(X)$ e $\sigma(Y)$ são independentes. Esse conceito pode ser estendido para uma família de $\sigma$ -álgebras.

Definição 13.6.

Uma família de $\sigma$ -álgebras $(\mathcal{F}_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ é independente se, para todo $k\in\mathbb{N}$ , todos $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in\Lambda$ distintos, e todos $A_{1}\in\mathcal{F}_{\alpha_{1}},\dots,A_{k}\in\mathcal{F}_{\alpha_{k}}$ ,

\mathbb{P}(A_{1}\cap\dots\cap A_{k})=\mathbb{P}(A_{1})\cdots\mathbb{P}(A_{k}).

Vale observar que uma família de eventos é independente (conforme definido no Capítulo 2) se, e somente se, a família das $\sigma$ -álgebras geradas respectivamente por cada um desses eventos é independente. Ademais, uma família de variáveis aleatórias é independente (conforme definido no Capítulo 4 se, e somente se, a família das $\sigma$ -álgebras geradas por essas variáveis aleatórias é independente. Portanto, independência de $\sigma$ -álgebras generaliza os conceitos de independência de eventos e de variáveis aleatórias.

A definição acima também é útil para classes de eventos que não são necessariamente $\sigma$ -álgebras. Dizemos que uma família de classes de eventos $(\mathcal{C}_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ é independente se satisfaz a condição análoga à da definição acima.

Lema 13.7.

Seja $(\mathcal{C}_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ uma família independente de classes de eventos. Suponha que $\mathcal{C}_{\alpha}$ seja um $\pi$ -sistema para todo $\alpha\in\Lambda$ . Defina $\mathcal{F}_{\alpha}=\sigma(\mathcal{C}_{\alpha})$ para todo $\alpha\in\Lambda$ . Então a família $(\mathcal{F}_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ é independente.

A prova será dada no Apêndice D.1.

Observação 13.8.

O lema acima pode falhar se não pedimos que as classes $\mathcal{C}_{\alpha}$ sejam $\pi$ -sistemas. Considere $\Omega=\{1,2,3,4\}$ , e $\mathbb{P}$ a medida de probabilidade uniforme. Então $\{1,2\}$ é independente de $\{1,3\}$ e de $\{1,4\}$ , mas não é independente de $\{1,3\}\cap\{1,4\}$ . Ou seja, a classe $\mathcal{C}_{1}=\{\{1,2\}\}$ é independente da classe $\mathcal{C}_{2}=\{\{1,3\},\{1,4\}\}$ mas não é independente da $\sigma$ -álgebra gerada por $\mathcal{C}_{2}$ (esse contra-exemplo é uma reedição do Exemplo 2.19). ∎

Proposição 13.9.

Seja $(\mathcal{F}_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ uma família independente de $\sigma$ -álgebras. Suponha que $\Lambda=\cup_{n\in\mathbb{N}}\Lambda_{n}$ e que essa união seja disjunta. Defina $\mathcal{G}_{n}=\sigma(\cup_{\alpha\in\Lambda_{n}}\mathcal{F}_{\alpha})$ para $n\in\mathbb{N}$ . Então $(\mathcal{G}_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ é uma família independente.

Demonstração.

Para cada $n\in\mathbb{N}$ , considere a classe $\mathcal{C}_{n}$ dos eventos da forma $A_{1}\cap\dots\cap A_{k}$ , onde $A_{j}\in\mathcal{F}_{\alpha_{j}}$ para todo $j=1,\dots,k$ , com $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in\Lambda_{n}$ distintos, para qualquer $k\in\mathbb{N}$ . Observe que $\mathcal{C}_{n}$ é um $\pi$ -sistema que gera $\mathcal{G}_{n}$ . Observe também que família $(\mathcal{C}_{n})_{n}$ é independente. Pelo lema acima, $(\mathcal{G}_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ é uma família independente. ∎

Na proposição acima, se $\Lambda_{n}=\emptyset$ , então $\mathcal{G}_{n}=\{\emptyset,\Omega\}$ é independente de qualquer classe de eventos.

A proposição acima tem as seguintes consequências, talvez óbvias.

Corolário 13.10.

Sejam $X_{1},\dots X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}$ variáveis aleatórias independentes. Então $\sigma(X_{1},\dots,X_{n})$ é independente de $\sigma(Y_{1},\dots,Y_{m})$ .

Corolário 13.11.

Seja $(X_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ uma família de variáveis aleatórias independentes. Suponha que $\Lambda=\Lambda_{1}\cup\Lambda_{2}$ e que a união seja disjunta. Então $\sigma((X_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda_{1}})$ e $\sigma((X_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda_{2}})$ são $\sigma$ -álgebras independentes.

Corolário 13.12.

Sejam $(Z_{j,k})_{(j,k)\in\mathbb{N}^{2}}$ variáveis aleatórias independentes e $g_{j}:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to\mathbb{R}$ funções mensuráveis. Defina $U_{j}=g_{j}((Z_{j,k})_{k\in\mathbb{N}})$ . Então a família $(U_{j})_{j}$ é independente.

13.2 Independência de σ\sigma-álgebras