13.4 Lei 0-1 de Hewitt-Savage

No Exemplo 13.15 foram exibidos alguns exemplos de eventos que não são caudais. Todavia, se a sequência $(X_{n})_{n}$ associada a tais eventos for i.i.d., tais eventos satisfarão a outra importante lei 0-1, a Lei 0-1 de Hewitt-Savage.

Dizemos que uma função $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ é uma permutação finita se $\pi$ é uma bijeção e $\pi(n)\neq n$ para no máximo finitos valores de $n\in\mathbb{N}$ . Dada uma sequência ${\boldsymbol{x}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , definimos a sequência permutada $\pi({\boldsymbol{x}})=(x_{\pi(n)})_{n}$ .

Definição 13.18 (Evento simétrico).

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e ${{\boldsymbol{X}}}=(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias. Dizemos que um conjunto $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ é simétrico se $\pi^{-1}(B)=B$ para toda permutação finita $\pi$ . Dizemos que um evento $A\in\mathcal{F}$ é simétrico com respeito à sequência ${{\boldsymbol{X}}}$ se $A=\{\omega:X(\omega)\in B\}$ para algum conjunto simétrico $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ .

Teorema 13.19 (Lei 0-1 de Hewitt-Savage).

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, e $A$ um evento simétrico com respeito à sequência $(X_{n})_{n}$ . Então $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$ .

Demonstração.

Novamente, a ideia é mostrar que $A$ é independente de si mesmo. De forma um pouco mais elaborada do que fizemos na Lei 0-1 de Kolmogorov, desta vez vamos considerar diferentes aproximações para $A$ que são independentes entre si.

Tome $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ simétrico tal que $A=\{\omega:{{\boldsymbol{X}}}(\omega)\in B\}$ . Vamos mostrar que $\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B)=0$ ou $1$ . Pelo Teorema 13.5, existem $C_{n}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ tais que

\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B\triangle B_{n})\to 0,

onde $B_{n}=\{{\boldsymbol{x}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}:(x_{1},\dots,x_{n})\in C_{n}\}$ .

Vamos agora definir outra aproximação independente desta. Para cada $n\in\mathbb{N}$ , seja $\pi_{n}:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ a permutação finita que troca de lugar os blocos $(1,\dots,n)$ e $(n+1,\dots,2n)$ , isto é,

\pi_{n}(j)=\begin{cases}j+n,&\text{ se }1\leqslant j\leqslant n,\\ j-n,&\text{ se }n+1\leqslant j\leqslant 2n,\\ j,\ &\text{ se }j>2n,\end{cases}

e defina

\tilde{B}_{n}=\pi_{n}^{-1}(B_{n})=\{{\boldsymbol{x}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}% :(x_{n+1},\dots,x_{2n})\in C_{n}\}.

Vejamos primeiro que $\tilde{B}_{n}$ aproxima $B$ . Como a sequência ${{\boldsymbol{X}}}$ é i.i.d., temos

\mathbb{P}_{{{\boldsymbol{X}}}}=\mathbb{P}_{\pi_{n}({{\boldsymbol{X}}})}

para cada $n\in\mathbb{N}$ . Sendo assim,

\mathbb{P}_{{{\boldsymbol{X}}}}(B\triangle B_{n})=\mathbb{P}_{\pi_{n}({{% \boldsymbol{X}}})}(B\triangle B_{n})=\mathbb{P}_{{{\boldsymbol{X}}}}(\pi_{n}^{% -1}(B)\triangle\pi_{n}^{-1}(B_{n}))=\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B\triangle% \tilde{B}_{n}).

A segunda igualdade é devida ao fato que $\pi_{n}^{-1}(B\triangle B_{n})=\pi_{n}^{-1}(B)\triangle\pi_{n}^{-1}(B_{n})$ , que é válida pois $\pi_{n}:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ é uma bijeção. Na última igualdade usamos que $B$ é simétrico. Logo,

\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B\triangle\tilde{B}_{n})=\mathbb{P}_{{{% \boldsymbol{X}}}}(B\triangle B_{n})\to 0.

Daí pode-se verificar que

\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B_{n}\cap\tilde{B}_{n})\to\mathbb{P}_{{% \boldsymbol{X}}}(B),\quad\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B_{n})\to\mathbb{P}_{{% \boldsymbol{X}}}(B)\quad\text{ e }\quad\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(\tilde{B}% _{n})\to\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B),

o que novamente deixamos como exercício sobre aproximações.

Por outro lado, como $(X_{1},\dots,X_{n})$ é independente de $(X_{n+1},\dots,X_{2n})$ , pelo Corolário 13.10 temos que $\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B_{n}\cap\tilde{B}_{n})=\mathbb{P}_{{\boldsymbol% {X}}}(B_{n})\cdot\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(\tilde{B}_{n})$ e, tomando o limite em $n$ , obtemos

\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B)=\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B)\cdot\mathbb{% P}_{{\boldsymbol{X}}}(B).

Portanto, $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$ , o que conclui esta demonstração. ∎

Corolário 13.20.

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. e $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Então, $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$ para todo evento $A$ caudal com respeito à sequência $(S_{n})_{n}$ .

Demonstração.

Em geral, o evento $A$ não é caudal com respeito à sequência $(X_{n})_{n}$ . Porém, observe que se $A$ é caudal com respeito à sequência $(S_{n})_{n}$ , então $A$ é um evento simétrico com respeito à sequência $(X_{n})_{n}$ . ∎

Exemplo 13.21 (De volta ao Exemplo 13.15).

São exemplos de eventos simétricos com respeito à sequência $(X_{n})_{n}$ :

(a)

$\{X_{1}+\dots+X_{n}\in B\ i.v.\}$ para todo $B\in\mathcal{B}$ ;
(b)

$\{\limsup_{n}X_{1}+\dots+X_{n}<C\}$ para todo $C\in\mathbb{R}$ .

Portanto, se a sequência $(X_{n})_{n}$ for i.i.d., vale a Lei 0-1 de Hewitt-Savage para os eventos acima. ∎

Contra-exemplo 13.22.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição $\mathbb{P}(X_{n}=0)=1-\mathbb{P}(X_{n}=1)=2^{-n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Observe que o evento $A=\{\lim_{n}(X_{1}\times\dots\times X_{n})=1\}$ é simétrico com respeito à sequência $(X_{n})_{n}$ . Porém, $\mathbb{P}(A)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-2^{-n})\in(0,1)$ . Assim vemos que hipótese de as variáveis $(X_{n})_{n}$ terem a mesma distribuição é crucial para a validade da Lei 0-1 de Hewitt-Savage, apesar de desnecessária para a Lei 0-1 de Kolmogorov. ∎