13.3 Lei 0-1 de Kolmogorov

Nesta seção vamos estudar uma importante classe de eventos, chamados de eventos caudais, e a famosa Lei 0-1 de Kolmogorov associada a tais eventos.

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e ${{\boldsymbol{X}}}=(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias. Definimos as seguintes $\sigma$ -álgebras contidas em $\mathcal{F}$ :

\mathcal{F}_{n}^{\infty}=\sigma((X_{j})_{j\geqslant n}),\quad\mathscr{X}=\cap_% {n}\mathcal{F}_{n}^{\infty}.

Em palavras, os eventos da $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}_{n+1}^{\infty}$ são aqueles cuja ocorrência, apesar de ser determinada por ${{\boldsymbol{X}}}$ , não depende dos valores das $n$ primeiras variáveis aleatórias $X_{1},\dots,X_{n}$ , enquanto os eventos $A\in\mathscr{X}$ são aqueles cuja ocorrência não depende das $k$ primeiras variáveis aleatórias $X_{1},\dots,X_{k}$ , qualquer que seja $k\in\mathbb{N}$ , isto é, $A$ não depende do conhecimento de nenhuma quantidade finita das variáveis aleatórias $(X_{k})_{k}$ , apenas do comportamento remoto desta sequência.

Definição 13.13.

Dizemos que um evento $A$ é caudal com respeito à sequência ${{\boldsymbol{X}}}$ se $A\in\mathscr{X}$ . Chamamos $\mathscr{X}$ de $\sigma$ -álgebra dos eventos caudais com respeito à sequência ${{\boldsymbol{X}}}$ , ou simplesmente $\sigma$ -álgebra caudal.

Exemplo 13.14.

São exemplos de eventos caudais com respeito a ${{\boldsymbol{X}}}$ :

(a)

$\{\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\text{ converge}\}$ ;
(b)

$\{X_{n}\in B\ i.v.\}$ para um $B\in\mathcal{B}$ dado;
(c)

$\{\limsup_{n}\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}<C\}$ para um $C\in\mathbb{R}$ dado;
(d)

$\{\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge}\}$ .

Mostraremos apenas o primeiro dos itens acima e deixamos os outros como exercício. Primeiramente, o evento está em $\mathcal{F}_{1}^{\infty}$ pelo Lema 3.50. Para todo $k\in\mathbb{N}$ , podemos escrever

\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}=\frac{X_{1}+\dots+X_{k}}{n}+\frac{X_{k+1}+\dots+X_% {n}}{n}.

Como $\frac{X_{1}+\dots+X_{k}}{n}\to 0$ quando $n\to\infty$ , temos que a convergência de $\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}$ é equivalente à convergência de $\frac{X_{k+1}+\dots+X_{n}}{n}$ , e este evento está em $\mathcal{F}_{k}^{\infty}$ . Como isso vale para todo $k$ , o evento está em $\cap_{k}\mathcal{F}_{k}^{\infty}$ , ou seja, $\{\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\text{ converge}\}$ é um evento caudal com respeito à sequência ${{\boldsymbol{X}}}$ . ∎

Exemplo 13.15.

Dados $B\in\mathcal{B}$ e $C\in\mathbb{R}$ , em geral os eventos abaixo não são caudais com respeito a ${{\boldsymbol{X}}}$ :

(a)

$\{X_{1}+\dots+X_{n}\in B\ i.v.\}$ ;
(b)

$\{\limsup_{n}X_{1}+\dots+X_{n}<C\}$ . ∎

A primeira das leis 0-1 que vamos estudar, conhecida como a Lei 0-1 de Kolmogorov, tem um enunciado bem simples. Se as variáveis aleatórias $(X_{n})_{n}$ são independentes, então todo evento caudal tem probabilidade 0 ou 1.

Teorema 13.16 (Lei 0-1 de Kolmogorov).

Se $(X_{n})_{n}$ é uma sequência de variáveis aleatórias independentes, então $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$ para todo $A\in\mathscr{X}$ .

Demonstração.

Seja $A\in\mathscr{X}$ . No espírito da Proposição 2.16, vamos mostrar que $A$ é independente de si mesmo. Para isso vamos considerar uma aproximação para $A$ que é independente de $A$ .

Como os eventos cilíndricos com respeito à sequência ${{\boldsymbol{X}}}$ formam uma álgebra, pelo Teorema 13.5, existem eventos $A_{n}\in\sigma(X_{1},\dots,X_{n})$ tais que

\mathbb{P}(A\triangle A_{n})\to 0

quando $n\to\infty$ . Daí pode-se verificar que

\mathbb{P}(A_{n})\to\mathbb{P}(A)\quad\text{ e }\quad\mathbb{P}(A\cap A_{n})% \to\mathbb{P}(A),

o que deixamos como um instrutivo exercício sobre aproximações (ao final deste capítulo).

Por outro lado, como $A\in\mathscr{X}$ , segue que $A\in\sigma(X_{n+1},X_{n+2},\dots)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Logo, pelo Corolário 13.11, $A$ é independente de $A_{n}$ , ou seja,

\mathbb{P}(A\cap A_{n})=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(A_{n}).

Tomando o limite em $n$ , obtemos

\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(A),

ou seja, $\mathbb{P}(A)=0\text{ ou }1$ . ∎

Corolário 13.17.

Se $Z$ é uma variável aleatória $\mathscr{X}$ -mensurável, então $Z$ é uma variável aleatória degenerada.

Demonstração.

Por hipótese, $F_{Z}(z)=\mathbb{P}(Z\leqslant z)=0$ ou $1$ . Tomando $C=\sup\{z\in\mathbb{R}:F_{Z}(z)=0\}$ , obtemos $\mathbb{P}(Z=C)=1$ q.c. ∎