13.5 Convergência de séries aleatórias

Seja (Xn)n(X_{n})_{n} uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Conforme vimos na seção anterior o evento {ω:∑n=1∞Xn⁢(ω)⁢ converge}\{\omega:\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}(\omega)\text{ converge}\} é caudal, logo pela Lei 0-1 de Kolmogorov, sua probabilidade é zero ou um. Isto é, ∑n=1∞Xn\sum_{n=1}^{\infty}X_{n} converge quase certamente ou diverge quase certamente. Nesta seção estudaremos critérios que nos permitem determinar qual dois casos acima ocorre quase certamente.

Exemplo 13.23.

Seja (Xn)n(X_{n})_{n} uma sequência de variáveis aleatórias independentes, com distribuição ℙ⁢(Xn=1)=1−ℙ⁢(Xn=0)=2−n\mathbb{P}(X_{n}=1)=1-\mathbb{P}(X_{n}=0)=2^{-n} para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}. Pelo Lema de Borel-Cantelli, ℙ⁢(Xn≠0⁢ i.v)=0\mathbb{P}(X_{n}\neq 0\text{ i.v})=0 e portanto ∑n=1∞Xn\sum_{n=1}^{\infty}X_{n} converge quase certamente. ∎

No exemplo acima, foi relativamente fácil concluir que a série converge quase certamente. Suponha agora que (Zn)n(Z_{n})_{n} é i.i.d. com distribuição ℙ⁢(Zn=1)=ℙ⁢(Zn=−1)=12\mathbb{P}(Z_{n}=1)=\mathbb{P}(Z_{n}=-1)=\frac{1}{2} e considere a série harmônica com sinal aleatório ∑n=1∞Znn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Z_{n}}{n}. Esta série converge ou diverge quase certamente? Não podemos proceder como no exemplo acima, e precisamos de critérios mais efetivos.

Inicialmente, estabeleçamos um critério para a convergência quase certa de uma sequência de variáveis aleatórias.

Lema 13.24.

Uma sequência (Xn)n∈ℕ(X_{n})_{n\in\mathbb{N}} de variáveis aleatórias converge quase certamente se, e somente se, limnℙ⁢(supk∈ℕ|Xn+k−Xn|>ε)=0\lim_{n}\mathbb{P}\left(\sup_{k\in\mathbb{N}}|X_{n+k}-X_{n}|>\varepsilon\right% )=0, para todo ε>0\varepsilon>0.

Demonstração.

Observamos que uma sequência (xn)n(x_{n})_{n} de números reais converge se, e somente se, limn(supk⩾nxk−infk⩾nxk)=0\lim_{n}(\sup_{k\geqslant n}x_{k}-\inf_{k\geqslant n}x_{k})=0. Logo, (Xn)n(X_{n})_{n} converge q.c. se, e somente se, supk⩾nXk−infk⩾nXk⁢→q.c.⁢0.\sup_{k\geqslant n}X_{k}-\inf_{k\geqslant n}X_{k}\overset{\mathrm{q.c.}}{% \rightarrow}0. Seja Zn=supk⩾nXk−infk⩾nXkZ_{n}=\sup_{k\geqslant n}X_{k}-\inf_{k\geqslant n}X_{k}. Como (Zn)n(Z_{n})_{n} é uma sequência monótona, segue das Proposições 7.25 e 7.32 que Zn⁢→q.c.⁢0Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0 se, e somente se, Zn⁢→ℙ⁢0Z_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0. Mas como supk∈ℕ|Xn+k−Xn|⩽supk⩾nXk−infk⩾nXk⩽2⁢supk∈ℕ|Xn+k−Xn|,\sup_{k\in\mathbb{N}}|X_{n+k}-X_{n}|\leqslant\sup_{k\geqslant n}X_{k}-\inf_{k% \geqslant n}X_{k}\leqslant 2\sup_{k\in\mathbb{N}}|X_{n+k}-X_{n}|, concluímos que Zn⁢→ℙ⁢0Z_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0 se, e somente se, supk∈ℕ|Xn+k−Xn|⁢→ℙ⁢0,\sup_{k\in\mathbb{N}}|X_{n+k}-X_{n}|\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0, o que prova o lema. ∎

A seguir provaremos dois lemas. O primeiro é uma interessante desigualdade envolvendo o segundo momento da soma de variáveis aleatórias, pois vai na direção oposta à de Tchebyshev; enquanto o segundo lema é uma versão mais forte da Desigualdade de Tchebyshev e é interessante por si só.

Lema 13.25.

Sejam c∈ℝc\in\mathbb{R} e (Xn)n(X_{n})_{n} uma sequência de variáveis aleatórias independentes tais que 𝔼⁢Xn=0\mathbb{E}X_{n}=0 e ℙ⁢(|Xn|⩽c)=1\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant c)=1 para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}. Então, para todo ε>0\varepsilon>0, vale

ℙ⁢(Sn2⩾ε⁢𝕍⁢Sn)⩾(1−ε)23+c2𝕍⁢Sn,\mathbb{P}(S_{n}^{2}\geqslant\varepsilon\,\mathbb{V}S_{n})\geqslant\frac{(1-% \varepsilon)^{2}}{3+\tfrac{c^{2}}{\mathbb{V}S_{n}}},

onde Sn=∑k=1nXkS_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}.

Demonstração.

Pela Desigualdade de Paley-Zygmund,

ℙ⁢(Sn2⩾ε⁢𝔼⁢Sn2)⩾(1−ε)2⁢(𝔼⁢Sn2)2𝔼⁢Sn4.\mathbb{P}(S_{n}^{2}\geqslant\varepsilon\,\mathbb{E}S_{n}^{2})\geqslant(1-% \varepsilon)^{2}\frac{(\mathbb{E}S_{n}^{2})^{2}}{\mathbb{E}S_{n}^{4}}.

Para estimar o quociente, expandimos como na demonstração do Teorema 8.5 e majoramos

𝔼⁢Sn4\displaystyle\mathbb{E}S_{n}^{4} =∑j=1n𝔼⁢Xj4+3⁢∑j=1n∑k=1n𝟙k≠j⁢𝔼⁢Xj2⋅𝔼⁢Xk2\displaystyle=\sum_{j=1}^{n}\mathbb{E}X_{j}^{4}+3\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}% \mathds{1}_{k\neq j}\mathbb{E}X_{j}^{2}\cdot\mathbb{E}X_{k}^{2}
⩽c2⁢∑j=1n𝔼⁢Xj2+3⁢(∑j=1n𝕍⁢Xj)2=(3+c2𝕍⁢Sn)⁢(𝕍⁢Sn)2,\displaystyle\leqslant c^{2}\sum_{j=1}^{n}\mathbb{E}X_{j}^{2}+3\Big{(}\sum_{j=% 1}^{n}\mathbb{V}X_{j}\Big{)}^{2}=(3+\tfrac{c^{2}}{\mathbb{V}S_{n}})(\mathbb{V}% S_{n})^{2},

o que conclui a prova. ∎

Lema 13.26 (Desigualdade Maximal de Kolmogorov).

Sejam X1,…,XnX_{1},\dots,X_{n} variáveis aleatórias independentes com média zero e segundo momento finito. Defina Sk=∑j=1kXjS_{k}=\sum_{j=1}^{k}X_{j}. Então, para todo ε>0\varepsilon>0,

ℙ⁢(max1⩽k⩽n⁡|Sk|⩾ε)⩽𝕍⁢Snε2.\mathbb{P}\Big{(}\max_{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant\varepsilon\Big% {)}\leqslant\frac{\mathbb{V}S_{n}}{\varepsilon^{2}}.
Demonstração.

Defina Ak={|S1|<ε,…,|Sk−1|<ε,|Sk|⩾ε}.A_{k}=\{|S_{1}|<\varepsilon,\dots,|S_{k-1}|<\varepsilon,|S_{k}|\geqslant% \varepsilon\}. Observe que ∑k𝟙Ak=𝟙{max1⩽k⩽n⁡|Sk|⩾ε}\sum_{k}\mathds{1}_{A_{k}}=\mathds{1}_{\{\max_{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|% \geqslant\varepsilon\}}. Expandindo (Sk+(Sn−Sk))2(S_{k}+(S_{n}-S_{k}))^{2},

𝔼⁢Sn2\displaystyle\mathbb{E}S_{n}^{2} ⩾∑k=1n𝔼⁢[Sn2⁢𝟙Ak]\displaystyle\textstyle\geqslant\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}[S_{n}^{2}\mathds{1}_{% A_{k}}]
=∑k=1n(𝔼⁢[Sk2⁢𝟙Ak]+2⋅𝔼⁢[Sk⁢𝟙Ak]⋅𝔼⁢[Sn−Sk]+𝔼⁢[(Sn−Sk)2⁢𝟙Ak])\displaystyle\textstyle=\sum_{k=1}^{n}(\mathbb{E}[S_{k}^{2}\mathds{1}_{A_{k}}]% +2\cdot\mathbb{E}[S_{k}\mathds{1}_{A_{k}}]\cdot\mathbb{E}[S_{n}-S_{k}]+\mathbb% {E}[(S_{n}-S_{k})^{2}\mathds{1}_{A_{k}}])
⩾∑k=1n𝔼⁢[ε2⁢𝟙Ak]=ε2⋅ℙ⁢(max1⩽k⩽n⁡|Sk|⩾ε),\displaystyle\textstyle\geqslant\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}[\varepsilon^{2}% \mathds{1}_{A_{k}}]=\varepsilon^{2}\cdot\mathbb{P}(\max_{1\leqslant k\leqslant n% }|S_{k}|\geqslant\varepsilon),

onde utilizamos que Sn−SkS_{n}-S_{k} tem média zero e é independente de Sk⁢𝟙AkS_{k}\mathds{1}_{A_{k}}. ∎

O lema acima também segue diretamente da Desigualdade de Doob-Kolmogorov, provada no Capítulo 12.

Teorema 13.27 (Teorema de Uma Série).

Seja (Xn)n∈ℕ(X_{n})_{n\in\mathbb{N}} uma sequência de variáveis aleatórias independentes com 𝔼⁢Xn=0\mathbb{E}X_{n}=0 para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}. Então

  1. (a)
    ​

    Se ∑n=1∞𝔼⁢Xn2<∞\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n}^{2}<\infty, então ℙ⁢(∑n=1∞Xn⁢ converge)=1\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1.

  2. (b)
    ​

    Se ℙ⁢(∑n=1∞Xn⁢ converge)=1\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1 e existe c>0c>0 tal que ℙ⁢(|Xn|⩽c)=1\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant c)=1 para todo nn, então ∑n=1∞𝔼⁢Xn2<∞\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n}^{2}<\infty.

Demonstração.

Queremos estudar a convergência de Sn=X1+⋯+XnS_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}.

Começamos pelo item (a). Pela Desigualdade Maximal de Kolmogorov,

ℙ⁢(supk∈ℕ|Sn+k−Sn|>ε)\displaystyle\mathbb{P}\Big{(}\sup_{k\in\mathbb{N}}|S_{n+k}-S_{n}|>\varepsilon% \Big{)} =limmℙ⁢(maxk⩽m⁡|Sn+k−Sn|>ε)\displaystyle=\lim_{m}\mathbb{P}\Big{(}\max_{k\leqslant m}|S_{n+k}-S_{n}|>% \varepsilon\Big{)}
⩽limm∑k=nn+m𝔼⁢Xk2ε2=∑k=n∞𝔼⁢Xk2ε2→0\displaystyle\leqslant\lim_{m}\frac{\sum_{k=n}^{n+m}\mathbb{E}X_{k}^{2}}{% \varepsilon^{2}}=\frac{\sum_{k=n}^{\infty}\mathbb{E}X_{k}^{2}}{\varepsilon^{2}% }\to 0

para todo ε>0\varepsilon>0. Pelo Lema 13.24, SnS_{n} converge quase certamente.

Passamos ao item (b). Suponha que 𝕍⁢Sn→+∞\mathbb{V}S_{n}\to+\infty e que existe c>0c>0 tal que |Xn|⩽c|X_{n}|\leqslant c q.c. para todo nn. Pelos Lema de Fatou e Lema 13.25,

ℙ⁢(Sn2⩾12⁢𝔼⁢Sn2⁢ i.v.)⩾lim supnℙ⁢(Sn2⩾12⁢𝔼⁢Sn2)⩾limn14⁢(3+c2𝕍⁢Sn)−1=112,\textstyle\mathbb{P}(S_{n}^{2}\geqslant\tfrac{1}{2}\mathbb{E}S_{n}^{2}\text{ i% .v.})\geqslant\limsup_{n}\mathbb{P}(S_{n}^{2}\geqslant\tfrac{1}{2}\mathbb{E}S_% {n}^{2})\geqslant\lim_{n}\frac{1}{4}\Big{(}3+\tfrac{c^{2}}{\mathbb{V}S_{n}}% \Big{)}^{-1}=\frac{1}{12},

donde concluímos que ℙ⁢(Sn⁢ diverge)>0\mathbb{P}(S_{n}\text{ diverge})>0. ∎

Exemplo 13.28 (pp-série aleatória).

Seja (Zn)n(Z_{n})_{n} uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição ℙ⁢(Zn=1)=ℙ⁢(Zn=−1)=12\mathbb{P}(Z_{n}=1)=\mathbb{P}(Z_{n}=-1)=\frac{1}{2} para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}. Considere a pp-série aleatória ∑n=1∞Znnp\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Z_{n}}{n^{p}} com p>0p>0. Como ℙ⁢(|Xn|⩽1)=1\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant 1)=1 e 𝔼⁢[Znnp]=0\mathbb{E}[\frac{Z_{n}}{n^{p}}]=0 para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}, segue do Teorema de Uma Série que ∑n=1∞Znnp\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Z_{n}}{n^{p}} converge quase certamente se, e somente se, ∑n=1∞1n2⁢p⁢ converge.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2p}}\text{ converge.} Portanto, ∑n=1∞Znnp\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Z_{n}}{n^{p}} converge quase certamente se p>12p>\frac{1}{2} e diverge quase certamente se 0<p⩽120<p\leqslant\frac{1}{2}. Em particular, a série harmônica com sinal aleatório, mencionada no início desta seção, converge quase certamente. ∎

O próximo teorema é um refinamento do anterior, que retira a hipótese de 𝔼⁢Xn=0\mathbb{E}X_{n}=0. Em troca, teremos que verificar a convergência de duas séries de números reais ao invés de uma.

Teorema 13.29 (Teorema das Duas Séries).

Seja (Xn)n∈ℕ(X_{n})_{n\in\mathbb{N}} uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Valem as seguintes proposições:

  1. (a)
    ​

    Se ∑n=1∞𝔼⁢Xn\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n} e ∑n=1∞𝕍⁢Xn\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X_{n} convergem, então ℙ⁢(∑n=1∞Xn⁢ converge)=1\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1.

  2. (b)
    ​

    Se ℙ⁢(∑n=1∞Xn⁢ converge)=1\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1 e existe c>0c>0 tal que ℙ⁢(|Xn|⩽c)=1\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant c)=1 para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}, então ∑n=1∞𝔼⁢Xn\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n} e ∑n=1∞𝕍⁢Xn\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X_{n} convergem.

Demonstração.

Começamos pelo item (a). Como ∑n=1∞𝕍⁢Xn=∑n=1∞𝔼⁢(Xn−𝔼⁢Xn)2\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}(X_{n}-\mathbb% {E}X_{n})^{2} converge, pelo Teorema de Uma Série, ∑n=1∞(Xn−𝔼⁢Xn)\sum_{n=1}^{\infty}(X_{n}-\mathbb{E}X_{n}) converge q.c. Por hipótese, ∑n=1∞𝔼⁢Xn\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n} também converge, logo ∑n=1∞Xn\sum_{n=1}^{\infty}X_{n} converge q.c.

Passamos ao item (b). Seja (Yn)n(Y_{n})_{n} uma sequência de variáveis aleatórias independentes entre si e independentes de (Xn)n(X_{n})_{n}, tais que Yn∼XnY_{n}\sim X_{n} para todo n∈ℕn\in\mathbb{N} (para construir tal sequência é suficiente tomar o produto de (Ω,ℱ,ℙ)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) consigo mesmo). Se ∑n=1∞Xn\sum_{n=1}^{\infty}X_{n} converge q.c., então ∑n=1∞Yn\sum_{n=1}^{\infty}Y_{n} converge q.c. e consequentemente, ∑n=1∞(Xn−Yn)\sum_{n=1}^{\infty}(X_{n}-Y_{n}) também converge quase certamente.

Por hipótese, ℙ⁢(|Xn|⩽c)=1\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant c)=1 para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}, logo ℙ⁢(|Xn−Yn|⩽2⁢c)=1\mathbb{P}(|X_{n}-Y_{n}|\leqslant 2c)=1. Como 𝔼⁢[Xn−Yn]=0\mathbb{E}[X_{n}-Y_{n}]=0, pelo item (b) do Teorema de Uma Série, ∑n=1∞𝔼⁢[Xn−Yn]2\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}[X_{n}-Y_{n}]^{2} converge. Por outro lado, como XnX_{n} e YnY_{n} são independentes,

𝔼⁢(Xn−Yn)2=𝕍⁢[Xn−Yn]=2⁢𝕍⁢Xn.\mathbb{E}(X_{n}-Y_{n})^{2}=\mathbb{V}[X_{n}-Y_{n}]=2\mathbb{V}X_{n}.

Logo, ∑n=1∞𝕍⁢Xn\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X_{n} converge e, utilizando o item (a) do Teorema de Uma Série, ∑n=1∞(Xn−𝔼⁢Xn)\sum_{n=1}^{\infty}(X_{n}-\mathbb{E}X_{n}) converge q.c. Como ∑n=1∞Xn\sum_{n=1}^{\infty}X_{n} converge q.c., concluímos que ∑n=1∞𝔼⁢Xn\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n} converge. ∎

O próximo teorema nos fornece uma condição equivalente à convergência quase certa de uma série de variáveis independentes. Em compensação, ganhamos uma terceira série de números reais para analisar.

Dada uma variável XX aleatória e c>0c>0, definimos a variável truncada

Xc⁢(ω)={X⁢(ω), se ⁢|X⁢(ω)|⩽c,0, se ⁢|X⁢(ω)|>c.X^{c}(\omega)=\begin{cases}X(\omega),&\text{ se }|X(\omega)|\leqslant c,\\ 0,&\text{ se }|X(\omega)|>c.\end{cases}
Teorema 13.30 (Teorema das Três Séries).

Sejam (Xn)n(X_{n})_{n} uma sequência de variáveis aleatórias independentes e (Xnc)n(X_{n}^{c})_{n} a sequência truncada em c>0c>0.

  1. (a)
    ​

    Se existe c>0c>0 tal que as três séries ∑n=1∞𝔼⁢Xnc,∑n=1∞𝕍⁢Xnc\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X^{c}_{n},\ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X^{c}_{n} e ∑n=1∞ℙ⁢(|Xn|>c)\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n}|>c) convergem, então ℙ⁢(∑n=1∞Xn⁢ converge)=1\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1.

  2. (b)
    ​

    Reciprocamente, se ℙ⁢(∑n=1∞Xn⁢ converge)=1\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1, então as três séries ∑n=1∞𝔼⁢Xnc,∑n=1∞𝕍⁢Xnc\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X^{c}_{n},\ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X^{c}_{n} e ∑n=1∞ℙ⁢(|Xn|>c)\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n}|>c) convergem para todo c>0c>0.

Demonstração.

Começamos pelo item (a). Pelo Teorema das Duas Séries, ∑n=1∞Xnc\sum_{n=1}^{\infty}X^{c}_{n} converge q.c. Por outro lado, pelo Lema de Borel-Cantelli,

ℙ⁢(Xn≠Xnc⁢i.v.)=ℙ⁢(|Xn|>c⁢i.v.)=0.\mathbb{P}(X_{n}\neq X_{n}^{c}\ \text{i.v.})=\mathbb{P}(|X_{n}|>c\ \text{i.v.}% )=0.

Isto é, quase certamente, XnX_{n} e XncX_{n}^{c} diferem para, no máximo, finitos valores do índice nn. Como ∑n=1∞Xnc\sum_{n=1}^{\infty}X^{c}_{n} converge quase certamente, segue que ∑n=1∞Xn\sum_{n=1}^{\infty}X_{n} também converge quase certamente.

Passamos ao item (b). Seja c>0c>0. Como ∑n=1∞Xn\sum_{n=1}^{\infty}X_{n} converge quase certamente, Xn⁢→q.c.⁢0X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0. Pela Proposição 7.16, ℙ⁢(|Xn|>c⁢i.v.)=0\mathbb{P}(|X_{n}|>c\ \text{i.v.})=0, logo ∑n=1∞Xnc\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}^{c} converge q.c. Logo, pelo Teorema das Duas Séries, ∑n=1∞𝔼⁢Xnc\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X^{c}_{n} e ∑n=1∞𝕍⁢Xnc\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X^{c}_{n} convergem. Ademais, como as variáveis (Xn)n(X_{n})_{n} são independentes, o Lema de Borel-Cantelli assegura que ∑n=1∞ℙ⁢(|Xn|>c)\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n}|>c) converge. ∎