13.6 Exercícios

Sejam $\{\mathcal{F}_{n}\}_{n}$ $\sigma$-álgebras em $\Omega$ tais que $\mathcal{F}_{k}\subseteq\mathcal{F}_{k+1}$ para todo $k$. Prove que $\mathcal{A}=\cup_{n}\mathcal{F}_{n}$ é uma álgebra. Prove que essa propriedade pode falhar sem a hipótese de que $\mathcal{F}_{k}\subseteq\mathcal{F}_{k+1}$.

Sejam $A,B\in\mathcal{F}$ eventos e sejam $(A_{n})_{n}$ e $(B_{n})_{n}$ sequências de eventos tais que $\mathbb{P}(A_{n}\triangle A)\to 0$ e $\mathbb{P}(B_{n}\triangle B)\to 0$. Prove que:

1. (a)
   ​

   $\mathbb{P}(A_{n})\to\mathbb{P}(A)$ e $\mathbb{P}(B_{n})\to\mathbb{P}(B)$.

2. (b)
   ​

   $\mathbb{P}(A_{n}\cap B_{n})\to\mathbb{P}(A\cap B)$.

3. (c)
   ​

   $\mathbb{P}(A\cap A_{n})\to\mathbb{P}(A)$.

4. (d)
   ​

   Se $A=B$, então $\mathbb{P}(A_{n}\triangle B_{n})\to 0$.

Prove que os eventos do Exemplo 13.14 são caudais com respeito à sequência $(X_{n})_{n}$.

Dado $0<\alpha<1$, dê um exemplo de uma sequência $(X_{n})_{n}$ de variáveis aleatórias independentes tais que $\mathbb{P}(X_{n}=X_{1}\ \text{i.v.})=\alpha$. Dê também um exemplo em que as variáveis sejam i.i.d.

Dê um exemplo de uma sequência de variáveis aleatórias $(X_{n})_{n}$ e um evento $A$, caudal com respeito à sequência $(X_{n})_{n}$, tais que $\mathbb{P}(A)\in(0,1)$.

Forneça uma nova prova da Lei 0-1 de Kolmogorov utilizando o Teorema 12.45 e o Corolário 13.11.

Prove que os eventos do Exemplo 13.15 são simétricos com respeito à sequência $(X_{n})_{n}$.

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias e $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Mostre que se $A$ é um evento caudal com respeito à sequência $(S_{n})_{n}$, então $A$ é um evento simétrico com respeito à sequência $(X_{n})_{n}$.

Seja $\mathcal{S}$ a classe de todos os eventos simétricos com respeito às variáveis aleatórias $(X_{n})_{n}$. A classe $\mathcal{S}$ é uma $\sigma$-álgebra? Justifique.

Sejam $B$, $B_{n}$ e $\tilde{B}_{n}$ tais que $\mathbb{P}(B\triangle B_{n})\to 0$ e $\mathbb{P}(B\triangle\tilde{B}_{n})\to 0$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $B\cup B_{n}\cup\tilde{B_{n}}\subseteq(B\cap B_{n}\cap\tilde{B_{n}})\cup(B\triangle B_{n})\cup(B\triangle\tilde{B_{n}})$.

2. (b)
   ​

   Mostre que $\mathbb{P}(B_{n}\cap\tilde{B}_{n})\to\mathbb{P}(B)\text{ e }\mathbb{P}(B_{n})\to\mathbb{P}(B).$

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Determine se $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}$ converge ou diverge quase certamente nos casos abaixo. Quando a resposta for converge quase certamente, determine o valor da soma se possível.

1. (a)
   ​

   $\mathbb{P}(X_{n}=2^{-n})=\mathbb{P}(X_{n}=0)=\frac{1}{2}$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

2. (b)
   ​

   $\mathbb{P}(X_{n}=1)=1-\mathbb{P}(X_{n}=0)=\frac{1}{n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

3. (c)
   ​

   $\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant\frac{1}{n^{2}})\geqslant 1-\frac{1}{n^{2}}$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

4. (d)
   ​

   $\mathbb{P}(X_{n}=\frac{1}{2^{n}})=\mathbb{P}(X_{n}=-\frac{1}{2^{n}})=\frac{1}{2}$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Seja $(Z_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes, com $\mathbb{E}Z_{n}=0$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}\big{[}\frac{Z_{n}^{2}}{1+|Z_{n}|}\big{]}$ converge se, e somente se,

   $$\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}\left[Z_{n}^{2}\mathds{1}_{\{|Z_{n}|\leqslant 1\}}+|Z_{n}|\mathds{1}_{\{|Z_{n}|>1\}}\right]\ \text{converge}.$$
2. (b)
   ​

   Mostre que, se $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}\big{[}\frac{Z_{n}^{2}}{1+|Z_{n}|}\big{]}$ converge, então $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}Z^{c}_{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}Z^{c}_{n}$ convergem quando truncadas em $c=1$.

3. (c)
   ​

   Utilize o Teorema das Três Séries para concluir que, se $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}\big{[}\frac{Z_{n}^{2}}{1+|Z_{n}|}\big{]}$ converge, então $\sum_{n=1}^{\infty}Z_{n}$ converge quase certamente.

Dê um exemplo de uma sequência $(X_{n})_{n}$ de variáveis aleatórias independentes e uma constante $c>0$ tais que $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X^{c}_{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X^{c}_{n}$ convirjam, e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n}|>c)$ divirja.

Dê um exemplo de uma sequência $(X_{n})_{n}$ de variáveis aleatórias independentes e uma constante $c>0$ tais que $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n}|>c)$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X^{c}_{n}$ convirjam, e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X^{c}_{n}$ divirja.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes com média zero. Suponha que existe $c>0$ tal que $\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant c)=1$ para todo $n$, e que $\mathbb{E}S_{n}^{2}\to+\infty$, onde $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}$. Mostre que $\limsup_{n}\frac{S_{n}^{2}}{\mathbb{E}S_{n}^{2}}\geqslant 1$ q.c.