13.1 Álgebras e espaços de sequências

Começamos pelo espaço de sequências infinitas. Denotamos o conjunto de todas as sequências de números reais por

\mathbb{R}^{\mathbb{N}}=\{{{\boldsymbol{x}}}=(x_{1},x_{2},x_{3},\dots):x_{n}% \in\mathbb{R}\text{ para todo }n\in\mathbb{N}\}.

Dizemos que um conjunto $A\subseteq\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ é um conjunto cilíndrico se

A=\{{{\boldsymbol{x}}}=(x_{n})_{n}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}:(x_{1},x_{2}\dots% ,x_{k})\in B\}

para algum $k\in\mathbb{N}$ e $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{k})$ .

Definição 13.1 (Conjuntos borelianos em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ).

Definimos a $\sigma$ -álgebra de Borel em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , denotada por $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ , como a $\sigma$ -álgebra gerada pela classe dos conjuntos cilíndricos.

Observe que a projeção de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ em $\mathbb{R}$ que leva ${{\boldsymbol{x}}}$ em sua $n$ -ésima coordenada $x_{n}$ é uma função mensurável em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , pois $\{{{\boldsymbol{x}}}:x_{n}\in B\}$ é um conjunto cilíndrico para todo $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Definição 13.2.

Dado um espaço amostral $\Omega$ e uma família de funções $(f_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ de $\Omega$ em $\mathbb{R}$ , dizemos que $A\subseteq\Omega$ é cilíndrico com respeito a $(f_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ se existem $k\in\mathbb{N}$ , $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in\Lambda$ e $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{k})$ tais que $A=\{\omega\in\Omega:(f_{\alpha_{1}}(\omega),\dots,f_{\alpha_{k}}(\omega))\in B\}$ . Definimos $\sigma\big{(}(f_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}\big{)}$ como a $\sigma$ -álgebra gerada pelos conjuntos cilíndricos com respeito a $(f_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ . A $\sigma$ -álgebra $\sigma\big{(}(f_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}\big{)}$ é a menor $\sigma$ -álgebra em $\Omega$ para a qual todas as $f_{\alpha}$ são mensuráveis.

Em geral, a classe dos conjuntos cilíndricos não forma uma $\sigma$ -álgebra. Por isso, consideramos uma estrutura mais simples.

Definição 13.3 (Álgebra).

Uma classe $\mathcal{A}$ de subconjuntos de $\Omega$ é chamada uma álgebra em $\Omega$ se

(1)

$\Omega\in\mathcal{A}$ ,
(2)

$A^{c}\in\mathcal{A}$ para todo $A\in\mathcal{A}$ ,
(3)

$A\cup B\in\mathcal{A}$ para todos $A,B\in\mathcal{A}$ .

É muito útil poder trabalhar com álgebras por pelo menos dois motivos: os elementos de uma álgebra costumam ser muito mais simples de descrever e estudar, e algumas classes importantes de conjuntos são álgebras mas não são $\sigma$ -álgebras. Por exemplo, a classe dos conjuntos cilíndricos com respeito a $(f_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ é uma álgebra mas não é uma $\sigma$ -álgebra, assim como a classe dos conjuntos cilíndricos de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .

Mas o que significa poder trabalhar com álgebras? Significa que conjuntos de uma $\sigma$ -álgebra podem ser aproximados, em um sentido bastante forte, por conjuntos de uma álgebra, como veremos a seguir.

Definição 13.4 (Diferença simétrica).

Dados dois conjuntos $A$ e $B$ , a sua diferença simétrica $A\triangle B$ é definida como $A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ .

Observe que a diferença simétrica satisfaz um análogo da desigualdade triangular: $A\triangle C\subseteq(A\triangle B)\cup(B\triangle C)$ , e também satisfaz $A^{c}\triangle B^{c}=A\triangle B$ e $(\cup_{n}A_{n})\triangle(\cup_{n}B_{n})\subseteq\cup_{n}(A_{n}\triangle B_{n})$ (verifique essas três propriedades!).

Teorema 13.5 (Aproximação por álgebras).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{F}$ uma álgebra. Então, dados quaisquer $B\in\sigma(\mathcal{A})$ e $\varepsilon>0$ , existe $A\in\mathcal{A}$ tal que $\mathbb{P}(A\triangle B)<\varepsilon.$

Demonstração.

Seja $\mathcal{C}$ a classe dos conjuntos que satisfazem à afirmação do teorema: $\mathcal{C}=\{B\in\mathcal{F}:\forall\varepsilon>0,\ \exists A\in\mathcal{A}% \text{ com }\mathbb{P}(A\triangle B)<\varepsilon\}.$ Observe que $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{C}$ , pois $\mathbb{P}(A\triangle A)=\mathbb{P}(\emptyset)=0$ . Logo, basta mostrar que $\mathcal{C}$ é uma $\sigma$ -álgebra. É imediato que $\emptyset\in\mathcal{C}$ , pois $\mathbb{P}(\emptyset\triangle\emptyset)=0$ . Se $C\in\mathcal{C}$ , então dado $\varepsilon>0$ , existe $A\in\mathcal{A}$ tal que $\mathbb{P}(A\triangle C)<\varepsilon$ ; como $A^{c}\triangle C^{c}=A\triangle C$ e $A^{c}\in\mathcal{A}$ , segue que $C^{c}\in\mathcal{C}$ . Para concluir que $\mathcal{C}$ é uma $\sigma$ -álgebra, falta mostrar que $\mathcal{C}$ é fechado por uniões enumeráveis. Sejam $C_{1},\dots,C_{n},\dots\in\mathcal{C}$ e $\varepsilon>0$ . Defina $C=\cup_{n=1}^{+\infty}C_{n}$ e tome $n\in\mathbb{N}$ tal que $\mathbb{P}\left(C\setminus(\cup_{k=1}^{n}C_{k})\right)<\frac{\varepsilon}{2}$ . Tome $A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\in\mathcal{A}$ tais que $\mathbb{P}(A_{k}\triangle C_{k})<\frac{\varepsilon}{2n}$ , para todo $k=1,\dots,n$ . Observando que

(\cup_{k=1}^{n}A_{k})\triangle(\cup_{k=1}^{+\infty}C_{k})\subseteq\left(\cup_{% k=1}^{n}(A_{k}\triangle C_{k})\right)\cup\left(C\setminus(\cup_{k=1}^{n}C_{k})% \right),

por subaditividade obtemos

\mathbb{P}\left((\cup_{k=1}^{n}A_{k})\triangle(\cup_{k=1}^{+\infty}C_{k})% \right)\leqslant\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k}\triangle C_{k})+\mathbb{P}\left% (C\setminus(\cup_{k=1}^{n}C_{k})\right)<\varepsilon.

Portanto, $C\in\mathcal{C}$ , o que completa a prova de que $\mathcal{C}$ é uma $\sigma$ -álgebra. ∎

O uso mais frequente do teorema acima é quando queremos aproximar um boreliano de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ por conjuntos cilíndricos.