Prefácio

Este livro foi produzido a partir de apostilas e notas manuscritas acumuladas pelos autores ao longo de quase duas décadas lecionando diversas disciplinas de Probabilidade, Medida e Integração, Processos Estocásticos e Teoria Ergódica, em níveis de graduação, mestrado e doutorado, no IMPA, UFMG, PUC-Rio, NYU-Shanghai, Warwick e USP.

O objetivo principal é servir como referência para um curso de Probabilidade em nível de pós-graduação, mas procuramos torná-lo o mais flexível e autocontido possível. Dependendo das seções a serem cobertas, este livro pode ser usado em um curso de início de doutorado, mestrado, ou mesmo no fim da graduação. Em um nível mais básico, o livro pode ser estudado cobrindo-se apenas as seções iniciais dos onze primeiros capítulos.

Os capítulos mais avançados cobrem as Leis 0-1 de Kolmogorov e de Hewitt-Savage, martingales a tempo discreto com teoremas envolvendo amostragem opcional e convergência, noções básicas de Teoria Ergódica e de Grandes Desvios. Alguns tópicos fundamentais não são abordados neste livro, notadamente: convergência de medidas em espaços métricos, cadeias de Markov e processos estocásticos em tempo contínuo.

Ao escrever o livro, os autores tentaram manter um certo nível de modularidade, de forma a permitir que diversas seções possam ser saltadas sem prejudicar a leitura das que vêm depois. Para planejar um curso, pode-se montar uma lista de seções a gosto, e depois percorrer a lista de trás para frente agregando-se os pré-requisitos indicados na Tabela 1.

Os pré-requisitos para a leitura em um nível mais básico são o cálculo de derivadas e integrais em ℝn\mathbb{R}^{n}, limites de sequências, convergência de séries, e limites laterais de funções. Há uma breve revisão desses conceitos no Apêndice A.1.

Para seguir algumas demonstrações e tópicos mais avançados, o leitor deve estar familiarizado com ideias de Análise Real, como conjuntos abertos, conjuntos compactos, conjuntos enumeráveis, supremo de conjuntos, lim sup\limsup e lim inf\liminf. Esses conceitos são listados de forma lacônica no Apêndice A.3.

Os conceitos de Teoria da Medida que servem para dar bases sólidas à Teoria da Probabilidade serão vistos gradualmente nas Seções 1.4, 3.6, 3.7, 5.5, 11.5 e 13.1. As demonstrações mais longas são vistas no Apêndice D.

Por inúmeros comentários, correções e sugestões, agradecemos a Maria Eulália Vares, Daniel Valesin, Pablo Groisman, Rodrigo Targino, Shivakumar Mahesh, Rangel Baldasso, Henrique Felix, Tertuliano Franco, e aos vários alunos de cursos ministrados pelos autores utilizando versões preliminares deste livro. Agradecemos especialmente a Célio Terra pela leitura minuciosa do texto e dos exercícios.


10 de março de 2025.

Tabela 1: Pré-requisitos do livro
1.1 - A.1
1.2 - 1.1
1.3 - 1.2
1.4 - 1.3, C.2
2.1 - 1.3
2.2 - 2.1
3.1 - 2.2
3.2 - 3.1
3.3 - 3.2
3.4 - 3.3
3.5 - 3.3
3.6 - 3.1, 1.4
3.7 - 3.6
4.1 - 3.3
4.2 - 4.1
4.3 - 4.2
4.4 - 4.2
4.5 - 4.2
5.1 - 4.2
5.2 - 5.1, C.1
5.3 - 5.2, C.2∗\mathclap{\ {}^{*}}
5.4 - 5.2, 3.4
5.5 - 5.3, 3.7
6.1 - 5.2
6.2 - 6.1
6.3 - 6.1
7.1 - 6.3
7.2 - 7.1
7.3 - 7.2, 5.3∗\mathclap{\ {}^{*}}
7.4 - 7.1, 5.3, C.2
8.1 - 7.1
8.2 - 7.2, 7.3∗\mathclap{\ {}^{*}}
8.3 - 8.2, 5.3, C.2∗\mathclap{\ {}^{*}}
9.1 - 8.1, 4.3∗\mathclap{\ {}^{*}}
9.2 - 3.2, A.2
9.3 - 9.1, 7.4∗\mathclap{\ {}^{*}}, A.2
9.4 - 9.1, 5.5, 7.4∗\mathclap{\ {}^{*}}, A.2
9.5 - 9.1, 7.4∗\mathclap{\ {}^{*}}
10.1 - 9.1, 5.3∗\mathclap{\ {}^{*}}
10.2 - 9.1, 5.3∗\mathclap{\ {}^{*}}, A.2
10.3 - 10.2, 7.4, 5.5∗\mathclap{\ {}^{*}}
10.4 - 10.3, 5.5
11.1 - 5.4, 6.3
11.2 - 11.1
11.3 - 11.2
11.4 - 5.5, 6.3
11.5 - 11.4
11.6 - 11.3, 11.4
12.1 - 11.4
12.2 - 12.1
12.3 - 12.2
12.4 - 12.2
12.5 - 12.4
12.6 - 12.1
13.1 - 11.4
13.2 - 13.1
13.3 - 13.2
13.4 - 13.3
13.5 - 13.4
14.1 - 13.1
14.2 - 14.1
14.3 - 14.2
14.4 - 14.3
14.5 - 14.3
15.1 - 5.5, 8.2, 10.1
15.2 - 15.1
15.3 - 15.2
A.1 - —
A.2 - A.1
A.3 - A.1
  i.0B - A.2
C.1 - A.1
C.2 - C.1, A.3
D.1 - 3.6
D.2 - D.1
D.3 - 3.7
D.4 - 5.5, D.1
D.5 - 11.5
D.6 - 11.5, D.1
D.7 - 5.5

“∗” indica que a seção listada não é imprescindível, tampouco seus pré-requisitos.