5.4 Esperança condicional dado um evento

Assim como a Seção 3.4, esta seção será necessária para o estudo da esperança condicional a ser desenvolvido no Capítulo 11 e, exceto por isso, pode ser omitida.

A informação sobre a ocorrência de um certo evento $A\in\mathcal{F}$ com $\mathbb{P}(A)>0$ leva à definição de uma nova medida $\mathbf{P}$ em $(\Omega,\mathcal{F})$ , dada pela relação $\mathbf{P}(B)=\mathbb{P}(B|A)$ , $B\in\mathcal{F}$ . A distribuição de qualquer variável aleatória $X$ também é afetada neste caso. Como vimos na Seção 3.4, $X$ passa a ter uma nova função de distribuição $F_{X|A}(\cdot)$ , uma nova lei $\mathbb{P}_{X|A}(\cdot)$ .

Nesta situação, $X$ também terá uma nova média $\mathbb{E}[X|A]$ , dada por

\mathbb{E}[X|A]=\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}(X>x|A)\ \mathrm{d}x-\int_{-\infty% }^{0}\mathbb{P}(X<x|A)\ \mathrm{d}x,

que pode ser calculada a partir de $F_{X|A}$ , $p_{X|A}$ ou $f_{X|A}$ conforme o caso.

Exemplo 5.50.

Seja $X$ a variável aleatória que representa o resultado do lançamento de um dado, isto é, $X\sim U_{d}\{1,2,3,4,5,6\}$ . Vamos calcular $\mathbb{E}[X|A]$ , onde $A$ é dado pelo evento “ $X$ é par”. Primeiro encontramos a função de probabilidade condicional:

p_{X|A}(x)=\mathbb{P}(X=x|A)=\frac{1}{3}\,\mathds{1}_{\{2,4,6\}}(x)

e em seguida a esperança

\mathbb{E}[X|A]=\sum_{x}x\cdot p_{X|A}(x)=4.\qed

Exemplo 5.51.

Sejam $X$ a variável aleatória e $A$ o evento definidos no Exemplo 3.30. Podemos calcular a esperança condicional de $X$ dado $A$ por

\displaystyle\mathbb{E}[X|A]

\displaystyle=\sum_{x}x\cdot p_{X|A}(x)=\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 2=% \frac{4}{3}.\qed

(5.52)

Exemplo 5.53.

Assim como fizemos no exemplo anterior, considerando agora $X$ e $A$ como definidos no Exemplo 3.31, podemos calcular esperança condicional como

\mathbb{E}[X|A]=\int_{0}^{+\infty}x\,f_{X|A}(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{4}.\qed

A proposição seguinte nos fornece uma definição equivalente de esperança condicional de uma variável aleatória dado um evento. Tal definição será muito útil conforme veremos no Capítulo 11.

Proposição 5.54.

Sejam $X$ uma variável aleatória e $A$ um evento tal que $\mathbb{P}(A)>0$ . Então podemos escrever

\mathbb{E}[X|A]=\frac{\mathbb{E}[X\cdot\mathds{1}_{A}]}{\mathbb{P}(A)}.

Demonstração.

Basta observar que

	$\displaystyle\mathbb{E}[X\|A]$	$\displaystyle=\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}(X>x\|A)\ \mathrm{d}x-\int_{-\infty}^% {0}\mathbb{P}(X<x\|A)\ \mathrm{d}x$
		$\displaystyle=\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathbb{P}(\{X>x\}\cap A)}{\mathbb{P}(A)% }\mathrm{d}x-\int_{-\infty}^{0}\frac{\mathbb{P}(\{X<x\}\cap A)}{\mathbb{P}(A)}% \mathrm{d}x$
		$\displaystyle=\frac{\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}(X\mathds{1}_{A}>x)\ \mathrm{d% }x\ -\ \int_{-\infty}^{0}\mathbb{P}(X\mathds{1}_{A}<x)\ \mathrm{d}x}{\mathbb{P% }(A)}$
		$\displaystyle=\frac{\mathbb{E}[X\cdot\mathds{1}_{A}]}{\mathbb{P}(A)}.\qed$

Em muitas situações, mesmo teóricas, é conveniente separar a distribuição de uma variável segundo a ocorrência ou não de um certo evento (ou, de forma mais geral, de uma sequência de eventos que particione o espaço amostral). Esse abaixo é um análogo da Lei da Probabilidade Total para a esperança condicional.

Proposição 5.55.

Sejam $X$ uma variável aleatória e $A_{1},A_{2},A_{3},...$ uma partição do espaço amostral. Então

\mathbb{E}X=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{n})\,\mathbb{E}[X|A_{n}].

Demonstração.

Basta escrever $X=\sum_{n=1}^{\infty}X\mathds{1}_{A_{n}}$ e desenvolver

\displaystyle\mathbb{E}X

\displaystyle=\mathbb{E}[\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}X\mathds{1}_{A_{n}}]=% \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}[X\mathds{1}_{A_{n}}]=\textstyle\sum_{n% =1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{n})\,\mathbb{E}[X|A_{n}],

usando o Teorema da Convergência Monótona e a proposição anterior. ∎

Exemplo 5.56.

No Exemplo 5.50, podemos calcular

\mathbb{E}X=\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{7}{2}.\qed