5.5 Integral de Lebesgue

Vamos construir a integral de uma função $f$ com respeito a uma medida $\mu$, denotada

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida. Dizemos que $f:\Omega\to\mathbb{R}$ é uma função simples se é mensurável e toma apenas finitos valores.

Se $f$ é uma função simples não-negativa, definimos sua integral por

O próximo passo é definir a integral de uma função $f:\Omega\to[0,+\infty]$ mensurável, o que fazemos aproximando-a por baixo por funções simples:

Note que para funções não-negativas simples, essa definição coincide com a anterior tomando-se $g=f$.

O operador é unitário por construção e é monótono por inclusão: quanto maior $f$, mais funções simples entram no supremo em (5.58). Falta provar a linearidade. Para isso, usaremos o Teorema da Convergência Monótona, um dos teoremas fulcrais da Teoria da Medida.

Como fizemos para a esperança, inúmeras propriedades da integral de Lebesgue serão demonstradas combinando-se o Teorema da Convergência Monótona com a aproximação por funções simples.

Agora estamos aptos a terminar a prova do Teorema 5.59.

Dizemos que uma propriedade vale para $\mu$-quase todo $\omega\in\Omega$, ou em $\mu$-quase toda parte, abreviado por $\mu$-q.t.p., se existe um conjunto $A\in\mathcal{F}$ tal que $\mu(A^{c})=0$ e tal que essa propriedade vale para todo $\omega\in A$. Caso $\mu$ esteja claro no contexto, podemos dizer simplesmente “q.t.p.” omitindo $\mu$.

Dada uma função mensurável $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$, denote sua parte positiva por $f^{+}$ e sua parte negativa por $f^{-}$. Definimos

caso uma das integrais seja finita, caso contrário dizemos que $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ não está definida. Quando ambas as integrais são finitas, dizemos que $f$ é integrável. Observe que, se $f$ é integrável, então $f$ é finita q.t.p.

A integral de Lebesgue tem a vantagem adicional de nos permitir estender a noção de esperança para variáveis aleatórias estendidas $X:\Omega\to[-\infty,+\infty]$, via a fórmula $\mathbb{E}X=\int_{\Omega}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}$.

Seja $f$ uma função mensurável de $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1})$ em $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2})$. Dada uma função mensurável $g:\Omega_{2}\to[-\infty,+\infty]$, podemos definir o seu pull-back em $\Omega_{1}$ dado pela função $f^{*}g=g\circ f$ em $\Omega_{1}$. Juntamente com $\sigma(f)$ e $f_{*}\mu$ definidos na Seção 3.7, obtemos o seguinte diagrama:

Em suma, a partir de uma função que leva pontos $\omega_{1}\in\Omega_{1}$ a pontos $\omega_{2}\in\Omega_{2}$, podemos puxar uma $\sigma$-álgebra em $\Omega_{2}$ de volta para uma $\sigma$-álgebra em $\Omega_{1}$, e empurrar uma medida em $\Omega_{1}$ adiante para uma medida em $\Omega_{2}$, e puxar um observável definido em $\Omega_{2}$ de volta para um observável definido em $\Omega_{1}$.

Quando consideramos uma variável aleatória $X$ em um espaço de probabilidade, aplicando o teorema acima com $g(x)=x^{+}$ e $g(x)=x^{-}$, obtemos

que é válido desde que um dos lados esteja definido.

Conforme discutido na Seção 5.3, em inúmeras situações queremos tomar um limite dentro da integral. Começamos discutindo alguns casos para ver o que poderia dar errado.

Pensemos a região abaixo do gráfico de uma função real não-negativa como tendo uma “área”, “volume” ou “massa”. Se a função é dada por $f(x)=n\cdot\mathds{1}_{(0,\frac{1}{n}]}(x)$, ou por $g(x)=\mathds{1}_{(n,n+1]}(x)$, essa massa é sempre igual a $1$ e, no entanto, desaparece quando tomamos o limite em $n$. Podemos dizer que a massa “escapou ao infinito”. No primeiro exemplo, escapou verticalmente e, no segundo, horizontalmente. Os três teoremas de convergência explicam o que pode acontecer com a massa no limite.

O Teorema da Convergência Monótona diz que nada de estranho pode acontecer com uma sequência crescente de funções, mais precisamente que não se pode ganhar massa. O próximo teorema nos diz que para uma sequência de funções mensuráveis não-negativas, até podemos perder massa no limite, mas nunca ganhar.

A possibilidade de desigualdade estrita no Lema de Fatou é ilustrada pelos exemplos $n\cdot\mathds{1}_{(0,\frac{1}{n}]}$ e $\mathds{1}_{(n,n+1]}$. Um exemplo extremo é $\mathds{1}_{[n,+\infty)}$. Nesses exemplos, a massa escapou para o infinito. Outra situação que leva à desigualdade estrita é quando a massa fica zanzando, como por exemplo a sequência $(f_{n})_{n}$ dada por $f_{n}=\mathds{1}_{(0,1]}$ para $n$ par e $f_{n}=\mathds{1}_{(1,2]}$ para $n$ ímpar.

Observe que o Lema de Fatou quase não tem hipóteses. Vimos algo análogo em (5.48), porém optamos por não dar-lhe nome porque, naquele contexto, vinha com a hipótese (desnecessária) de que $\liminf_{n}f_{n}$ fosse finito.

O Teorema da Convergência Dominada diz que, se os gráficos das funções da sequência $(f_{n})_{n}$ estão confinados em uma região de massa finita, então não pode haver perda ou ganho de massa no limite. Isso porque o gráfico de $f_{n}$ divide esta região de massa finita em duas partes e, caso houvesse perda de massa em uma das partes, necessariamente haveria ganho na outra.

Mencionamos brevemente uma importante aplicação do Teorema da Convergência Dominada, que permite derivar dentro da integral. O enunciado e prova são análogos aos do Teorema 5.49 e serão omitidos.

Estamos introduzindo uma nova definição de integral. Por certo, isso gera inquietudes mais que legítimas. Nas definições e teoremas envolvendo variáveis aleatórias absolutamente contínuas, podemos substituir a integral de Riemann pela de Lebesgue? Em outras palavras, esta generaliza aquela? Neste caso, teria esta alguma vantagem? E na direção oposta, teria aquela alguma vantagem sobre esta? Para a penúltima pergunta, basta mencionar os Teoremas da Convergência Monótona e da Convergência Dominada.

A recíproca é falsa. Uma função pode ser Lebesgue-integrável sem ser Riemann-integrável. Caso $f$ não seja limitada, não será Riemann-integrável mesmo que seja contínua em quase todo ponto.

Daqui em diante, usaremos a notação

para denotar a integral de $f$ com respeito à medida de Lebesgue no intervalo $[a,b]\subseteq\mathbb{R}$ ou no conjunto $A\in\mathcal{B}$, respectivamente.

O Teorema 5.71 considera apenas funções mensuráveis. Tecnicamente, uma função pode ser Riemann-integrável sem ser mensurável (com respeito à $\sigma$-álgebra de Borel). Entretanto, se $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ é Riemann-integrável, seguindo a prova desse teorema pode-se mostrar que existe uma função mensurável $g$ e um conjunto $N\subseteq[a,b]$ tais que $m(N)=0$ e $f=g$ em $[a,b]\setminus N$. As integrais de $f$ e $g$ coincidem em qualquer subintervalo de $[a,b]$.

Mencionamos brevemente a integral imprópria. Como a integral de Riemann é definida apenas para intervalos finitos, a teoria baseada nela trata as integrais em intervalos infinitos como um limite. Existem funções $f$ que não são Lebesgue-integráveis e para as quais o limite

existe e é finito. Ou seja, há funções para as quais a integral imprópria está definida mas integral de Lebesgue não está. Porém, a exclusão dessas funções torna a teoria de integração de Lebesgue muito mais robusta. Quase todos os teoremas deste capítulo deixam de valer se atribuímos significado de integral ao limite acima, incluindo a mudança de variável, regra da cadeia, cálculo da esperança, e teoremas de convergência. Se usássemos esse limite para calcular a esperança de uma variável aleatória, a Lei dos Grandes Números não seria válida. Mas isso não quer dizer que o limite acima não tenha importância. Ao contrário, ele é conhecido como integral de Dirichlet, tem um papel central em Análise Harmônica, e inclusive será usado na Seção 10.4.

Pode-se fazer discussão semelhante com respeito a séries condicionalmente convergentes. Observe que a soma de uma família de números estendidos não-negativos, definida em (C.1), coincide com a integral de Lebesgue da função $f(\alpha)=x_{\alpha}$ com respeito à medida de contagem em $\Lambda$. Dessa forma, a soma de uma família de números estendidos indexados por $\mathbb{N}$ é dada por

desde que uma das duas séries do lado direito convirja, e, neste caso,

Novamente, esta definição coincide com a integral de $f(k)=x_{k}$ com respeito à medida de contagem em $\mathbb{N}$. Caso ambas as séries divirjam, dizemos que $\sum_{k\in\mathbb{N}}x_{k}$ não está definida. Com essa definição, a soma $\sum_{k\in\mathbb{N}}(-1)^{k}\,\frac{1}{k}$ não está definida, da mesma forma que $\int_{\mathbb{R}}x^{-1}\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits x\,\mathrm{d}x$ não está definida. Note que há uma diferença entre “$\sum_{k\in\mathbb{N}}$” definida aqui e “$\sum_{k=1}^{\infty}$” definida no Apêndice A.1, pois a série harmônica alternada $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{1}{k}$ converge.

Nesta seção vamos explorar o conceito de densidade e como se aplica a variáveis aleatórias absolutamente contínuas.

A demonstração fica como exercício. Quando $\nu$ é definida a partir de $\mu$ desta maneira, costuma-se denotar $\nu=f\mu$ e $\mathrm{d}\nu=f\,\mathrm{d}\mu$.

Quando duas medidas $\mu$ e $\nu$ são relacionadas por (5.74), chamamos a função $f$ de derivada de Radon-Nikodým de $\nu$ com respeito a $\mu$, denotada por $\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}$, de forma que $\nu(A)=\int_{A}\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}(\omega)\mu(\mathrm{d}\omega)$. Neste caso, dizemos que a derivada $\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}$ existe. A proposição abaixo diz que a derivada de Radon-Nikodým é essencialmente única.

Pela Proposição 5.76, a densidade de uma variável aleatória absolutamente contínua é única no sentido de que qualquer outra é igual em quase todo ponto. Repare que na Seção 3.3 não demos uma definição geral de distribuição absolutamente contínua, pois nem sempre existe uma densidade Riemann-integrável. Por outro lado, tomando a integral em (5.74) como de Lebesgue, a definição acima é a mais geral possível, como veremos na Seção 11.5.

Recordemos que uma variável aleatória é discreta se existe uma função não-negativa $p_{X}$ tal que $\mathbb{P}_{X}(A)=\sum_{x}p_{X}(x)\delta_{x}(A)$ para todo $A\in\mathcal{B}$. Isso é o mesmo que $\frac{\mathrm{d}\mathbb{P}_{X}}{\mathrm{d}\nu}=p_{X}$, onde $\nu$ é a medida de contagem em $\mathbb{R}$. Mais geralmente, $X$ é mista com componentes discreta e absolutamente contínua, como definido na Seção 3.5, se $\mathbb{P}_{X}=\mu_{d}+\mu_{c}$, onde $\frac{\mathrm{d}\mu_{d}}{\mathrm{d}\nu}=p_{X}$ e $\frac{\mathrm{d}\mu_{c}}{\mathrm{d}m}=f_{X}$.