1.4 Espaços de medida

Esta seção pode ser omitida em uma primeira leitura. É pré-requisito para as Seções 5.5, 11.4, e portanto para os Capítulos 12–15. A leitura desta seção pressupõe familiaridade com os tópicos do Apêndice A.3 e usa conceitos desenvolvidos no Apêndice C.

1.4.1 $\sigma$ -álgebras e conjuntos borelianos

As ferramentas que veremos nas partes mais avançadas deste livro funcionam com uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}$ de eventos. Queremos que essa $\sigma$ -álgebra seja suficientemente grande de forma a conter os conjuntos que queremos estudar. Em inúmeras situações, para que a teoria funcione bem ou represente adequadamente os objetos estudados, vamos trabalhar com a menor $\sigma$ -álgebra que contém uma dada classe $\mathcal{E}$ , cuja existência e unicidade enunciamos agora.

Proposição 1.39 ( $\sigma$ -álgebra gerada por uma classe de subconjuntos).

Seja $\Omega$ um espaço amostral e $\mathcal{E}$ uma classe de subconjuntos de $\Omega$ . Então existe uma única $\sigma$ -álgebra, chamada a $\sigma$ -álgebra gerada por $\mathcal{E}$ , denotada por $\sigma(\mathcal{E})$ , que satisfaz às seguintes propriedades:

(1)

$\sigma(\mathcal{E})$ é uma $\sigma$ -álgebra,
(2)

$\sigma(\mathcal{E})\supseteq\mathcal{E}$ ,
(3)

se $\mathcal{F}\supseteq\mathcal{E}$ e $\mathcal{F}$ é uma $\sigma$ -álgebra, então $\mathcal{F}\supseteq\sigma(\mathcal{E})$ .

Daremos a prova no final deste capítulo, em forma de exercício guiado.

Exemplo 1.40.

Sejam $\Omega$ um espaço amostral, $A\subseteq\Omega$ e $\mathcal{E}=\{A\}$ . Afirmamos que a $\sigma$ -álgebra gerada por $\mathcal{E}$ é $\sigma(\mathcal{E})=\{\emptyset,\Omega,A,A^{c}\}$ . Com efeito, essa classe é uma $\sigma$ -álgebra, ela contém $\mathcal{E}$ , e qualquer $\sigma$ -álgebra que contenha $\mathcal{E}$ tem que contê-la. ∎

Exemplo 1.41.

Seja $\mathcal{E}=\{A_{1},\dots,A_{n}\}$ uma coleção de subconjuntos disjuntos do espaço amostral $\Omega$ , tais que $\cup_{k=1}^{n}A_{k}=\Omega$ . Então a $\sigma$ -álgebra gerada por $\mathcal{E}$ é $\mathcal{A}=\{\emptyset\}\cup\{A_{j_{1}}\cup\dots\cup A_{j_{m}}:j_{1},\dots,j_% {m}\in\{1,\dots,n\}\}$ . Com efeito, $\mathcal{A}$ é uma $\sigma$ -álgebra, $\mathcal{A}\supseteq\mathcal{E}$ , e qualquer $\sigma$ -álgebra que contenha $\mathcal{E}$ deve contê-la. ∎

A $\sigma$ -álgebra $\sigma(\mathcal{E})$ contém todos os conjuntos que podem ser obtidos como complementos e uniões enumeráveis dos conjuntos em $\mathcal{E}$ , e também os que podem ser obtidos como complemento e união enumerável destes últimos, e assim por diante. Isso é útil porque nos diz que todos os conjuntos que podemos construir a partir de $\mathcal{E}$ com uma sequência enumerável de operações estarão em $\sigma(\mathcal{E})$ . Entretanto, essa tentativa de construção quase explícita de $\sigma(\mathcal{E})$ é difícil de formalizar. Quando queremos descrever $\sigma(\mathcal{E})$ , é melhor trabalhar diretamente com as três propriedades que a caracterizam, como fizemos nos dois exemplos acima.

Quando o espaço amostral é $\mathbb{R}$ , a $\sigma$ -álgebra mais importante é a seguinte.

Definição 1.42 (Conjuntos borelianos na reta).

Para o espaço $\Omega=\mathbb{R}$ , a $\sigma$ -álgebra de Borel $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ é a $\sigma$ -álgebra gerada por conjuntos abertos de $\mathbb{R}$ . Quando estiver claro no contexto que $\Omega=\mathbb{R}$ , podemos escrever $\mathcal{B}$ ao invés de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ . Os conjuntos em $\mathcal{B}$ são chamados borelianos.

Qualquer conjunto “razoável” é um boreliano. Por exemplo, um conjunto pontual $\{x\}$ pode ser obtido como interseção de intervalos abertos $(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})$ , e um conjunto enumerável $\{x_{1},x_{1},\dots\}$ pode ser obtido união de conjuntos $\{x_{n}\}$ . Logo, qualquer conjunto enumerável, ou cujo complemento é enumerável, é boreliano. Intervalos $(a,b]$ também são borelianos pois $(a,b]=\cap_{n}(a,b+\frac{1}{n})$ . De fato, é bem trabalhoso construir um subconjunto de $\mathbb{R}$ que não seja boreliano. Mesmo assim, devemos ter em mente que a Teoria da Probabilidade está baseada em $\sigma$ -álgebras, e $\mathcal{B}$ é a $\sigma$ -álgebra mais importante em $\mathbb{R}$ .

Proposição 1.43.

A classe $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ também é a $\sigma$ -álgebra gerada pela classe dos intervalos da reta, e também é a $\sigma$ -álgebra gerada pelos intervalos semi-infinitos à esquerda e fechados à direita.

Demonstração.

Denotemos por $\mathcal{I}$ a classe de todos os intervalos da reta, por $\mathcal{O}$ a classe de todos os subconjuntos abertos da reta, e por $\mathcal{D}$ a classe de todos os intervalos semi-infinitos à esquerda e fechados à direita.

Vamos mostrar que $\sigma(\mathcal{D})\subseteq\sigma(\mathcal{O})\subseteq\sigma(\mathcal{I})% \subseteq\sigma(\mathcal{D})$ .

Seja $D\in\mathcal{D}$ . Então $D=(-\infty,b]$ para algum $b\in\mathbb{R}$ . Como $(b,+\infty)\in\mathcal{O}$ e $\sigma(\mathcal{O})$ é fechada por complementos, segue que $D\in\sigma(\mathcal{O})$ . Logo, $\mathcal{D}\subseteq\sigma(\mathcal{O})$ e, portanto, $\sigma(\mathcal{D})\subseteq\sigma(\mathcal{O})$ . Seja $A\in\mathcal{O}$ . Pelo Teorema A.9, $A=\cup_{n}I_{n}$ , onde $\{I_{n}\}_{n}\subseteq\mathcal{I}$ . Como $\sigma(\mathcal{I})$ é fechada por uniões enumeráveis, segue que $A\in\sigma(\mathcal{I})$ . Logo, $\mathcal{O}\subseteq\sigma(\mathcal{I})$ e, portanto, $\sigma(\mathcal{O})\subseteq\sigma(\mathcal{I})$ . Seja $I\in\mathcal{I}$ . O intervalo $I$ pode ser da forma $[a,b)$ , $(a,b]$ , $[a,b]$ , $[a,+\infty)$ , etc. Vamos considerar $I=[a,b)$ e deixar os outros sete casos como exercício. Observe que

[a,b)=(-\infty,b)\setminus(-\infty,a)=(\cup_{n}(-\infty,b-n^{-1}])\setminus(% \cup_{k}(-\infty,a-k^{-1}]).

Como todos esses intervalos $(-\infty,x]$ estão em $\mathcal{D}$ , e $\sigma(\mathcal{D})$ é fechada por uniões enumeráveis e diferenças, segue que $I\in\sigma(\mathcal{D})$ . Logo, $\mathcal{I}\subseteq\sigma(\mathcal{D})$ e, portanto, $\sigma(\mathcal{I})\subseteq\sigma(\mathcal{D})$ . Isso conclui a cadeia de inclusões e a prova da proposição. ∎

Dado $J\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ não-vazio, por exemplo $J=[0,1]$ , definimos $\mathcal{B}(J)=\{A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}):A\subseteq J\}$ . Observe que $\mathcal{B}(J)$ é uma $\sigma$ -álgebra no espaço amostral $J$ .

Dado $n\in\mathbb{N}$ , denotamos o conjunto das sequências de $n$ números reais por

\mathbb{R}^{n}=\{(x_{1},\dots,x_{n}):x_{k}\in\mathbb{R}\text{ para todo }k=1,% \dots,n\}.

Há uma $\sigma$ -álgebra natural associada ao espaço $\mathbb{R}^{n}$ .

Definição 1.44.

Definimos a $\sigma$ -álgebra de Borel $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ como a $\sigma$ -álgebra em $\mathbb{R}^{n}$ gerada pela classe dos subconjuntos abertos de $\mathbb{R}^{n}$ . Os conjuntos em $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ são chamados borelianos em $\mathbb{R}^{n}$ .

1.4.2 Medidas

Um espaço mensurável é um par $(\Omega,\mathcal{F})$ , onde $\Omega$ é um conjunto não-vazio e $\mathcal{F}$ é uma $\sigma$ -álgebra em $\Omega$ .

Definição 1.45 (Medidas e espaços de medida).

Seja $(\Omega,\mathcal{F})$ um dado espaço mensurável. Uma função $\mu:\mathcal{F}\to[0,+\infty]$ é chamada medida em $(\Omega,\mathcal{F})$ se

(1)

$\mu(\emptyset)=0$ ,
(2)

$\mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n})$ para toda sequência $(A_{n})_{n}$ de conjuntos em $\mathcal{F}$ disjuntos. Esta propriedade chama-se $\sigma$ -aditividade.

O trio $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ é chamado espaço de medida. Dizemos que $\mu$ é uma medida finita se $\mu(\Omega)<\infty$ . Dizemos que $\mu$ é uma medida $\sigma$ -finita se existem conjuntos $(A_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ em $\mathcal{F}$ tais que $\cup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\Omega$ e $\mu(A_{n})<\infty$ para todo $n$ .

Quando $\mu(\Omega)=1$ , a medida $\mu$ é uma medida de probabilidade, como definida na seção anterior. Vejamos alguns exemplos simples de medidas.

Exemplo 1.46 (Massa puntual de Dirac).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F})$ um espaço mensurável qualquer e $x\in\Omega$ . A função $\delta_{x}:\mathcal{F}\to\{0,1\}$ definida por

\displaystyle\delta_{x}(A)=\left\{\begin{array}[]{l}1\text{, \ se }x\in A\\ 0\text{, \ se }x\notin A\end{array}\right..

é uma medida de probabilidade em $(\Omega,\mathcal{F})$ . ∎

Exemplo 1.47 (Medida de contagem).

Seja $(\Omega,\mathcal{F})$ um espaço mensurável qualquer. A medida de contagem em $\Omega$ é definida como $\sum_{x\in\Omega}\delta_{x}$ . Observe que a medida de contagem é finita se, e somente se, $\Omega$ for um conjunto finito, e é $\sigma$ -finita se, e somente se, $\Omega$ for um conjunto enumerável. A medida de contagem em $\mathbb{R}$ não é $\sigma$ -finita. ∎

Proposição 1.48.

Se $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ é um espaço de medida e $A\in\mathcal{F}$ , então a função $\mu_{|_{A}}$ dada por $\mu_{|_{A}}(B)=\mu(A\cap B)$ também é uma medida em $(\Omega,\mathcal{F})$ .

Deixamos a prova como exercício.

Proposição 1.49 (Propriedades de uma medida).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida e $A_{1},A_{2},\dots\in\mathcal{F}$ . Então:

(1)

$\mu(\cup_{j=1}^{\infty}A_{j})\leqslant\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_{j})$ ,
(2)

Se $A_{n}\uparrow A$ , então $\mu(A_{n})\to\mu(A)$ .

Essas propriedades chamam-se subaditividade e continuidade por baixo.

A prova é idêntica àquela já dada para medidas de probabilidade.

Observação 1.50.

A “continuidade por cima” pode ser falsa caso $\mu(A_{j})$ seja infinita para todo $j$ . Por exemplo, se $\mu$ é a medida de contagem em $\mathbb{N}$ e $A_{n}=\{n,n+1,n+2,\dots\}$ , temos que $A_{n}\downarrow\emptyset$ porém $\mu(A_{n})\not\to\mu(\emptyset)$ , pois $\mu(\emptyset)=0$ e $\mu(A_{n})=\infty$ para todo $n$ . ∎

O teorema a seguir, cuja prova será dada no Apêndice D.2, nos garante a existência de uma importante medida em $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ que generaliza a noção de comprimento de intervalos.

Teorema 1.51.

Existe uma única medida $m$ em $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ tal que

m\big{(}(a,b]\big{)}=b-a

para todos $a<b\in\mathbb{R}$ . Essa medida $m$ é chamada medida de Lebesgue em $\mathbb{R}$ .

A medida de Lebesgue é $\sigma$ -finita, pois tomando $A_{n}=[-n,n]$ , temos que $m(A_{n})=2n<\infty$ para todo $n$ e $A_{n}\uparrow\mathbb{R}$ .