1.5 Exercícios

Considere o experimento resultante do lançamento de dois dados onde se observa o mínimo entre suas faces. Construa um modelo probabilístico associado.

Dica: Use como hipótese de indução em $k$ que a identidade vale para todo $n$.

Mostre, sem utilizar indução, o Teorema das Diagonais do Triângulo de Pascal: para todos $n$ e $k$ inteiros não-negativos, $\sum_{j=0}^{k}\tbinom{n+j}{j}=\tbinom{k+n+1}{k}$.

A soma da $n$-ésima diagonal inversa do Triângulo de Pascal é dada pela expressão $F_{n}=\sum_{k=0}^{n}\tbinom{n-k}{k}$. Calcule $F_{0},F_{1},F_{2},F_{3}$ e $F_{4}$. Conjecture, quem é a sequência $(F_{n})_{n}$? Prove sua conjectura.

Prove por indução o Teorema das Linhas e o Teorema Binomial.

No final da Seção 1.1.3, observamos que há 21 resultados possíveis no lançamento simultâneo de dois dados idênticos, correspondendo aos 21 pares não-ordenados de números entre 1 e 6. Um jogo de dominó para crianças, em que cada metade de peça pode ser pintada com uma de 7 cores do arco-íris, possui 28 peças, correspondendo aos 28 pares não-ordenados de cores do arco-íris. De forma mais geral, o número de pares não-ordenados de um conjunto com $n$ elementos é $\binom{n+1}{2}$. Prove este fato de quatro formas diferentes:

1. (a)
   ​

   Por indução em $n$ e usando propriedades do Triângulo de Pascal.

2. (b)
   ​

   Decompondo a coleção de pares não-ordenados em pares de elementos distintos e pares de elementos iguais.

3. (c)
   ​

   Descrevendo uma correspondência direta entre pares não-ordenados de $\{1,\dots,n\}$ e subconjuntos de $\{\star,1,\dots,n\}$ com dois elementos, de forma que o novo elemento $\star$ cumpra um papel especial.

4. (d)
   ​

   Descrevendo uma correspondência direta entre pares não-ordenados de $\{1,\dots,n\}$ e palavras compostas por $n-1$ símbolos “$|$” e dois símbolos “$\cdot$”, como por exemplo “$|{\cdot}||||{\cdot}$”.

Inspirando-se pelo último item do exercício anterior, mostre que o número de soluções inteiras não-negativas da equação $x_{1}+\dots+x_{n}=k$ é dado por $\binom{n-1+k}{k}$.

Oito clientes formam uma fila ao acaso, quatro deles possuem uma única nota de $\$10$ e os outros quatro com uma única nota de $\$20$ cada um. O ingresso custa $\$10$ e o bilheteiro começa a atender os clientes sem troco.

1. (a)
   ​

   Qual a probabilidade de o bilheteiro não ter problema de troco?

2. (b)
   ​

   Refaça o item $(a)$ supondo que sejam $2n$ clientes, $n$ clientes com notas de $\$10$ e $n$ com notas de $\$20$.

Sejam $\Omega$ o espaço dos caminhos simples de duração $2n$, conforme definido no Exemplo 1.32, e $\mathbb{P}$ a medida de probabilidade que atribui peso $2^{-2n}$ a cada caminho. O caminho resultante desse experimento é comumente chamado de passeio aleatório. Mostre que

Vamos mostrar que a probabilidade de um passeio aleatório ainda não ter retornado à origem depois de $2n$ passos é igual à probabilidade de estar na origem no tempo $2n$. Ou seja, vamos mostrar que

onde $\tau_{0}^{+}=\tau_{0}^{+}(s)=\min\{k\geqslant 1:s_{k}=0\}$ denota o primeiro instante de retorno à origem, com $\min(\emptyset)=+\infty$. Para $k\in\mathbb{N}$, mostre que:

1. (a)
   ​

   $\mathbb{P}(s_{1}=+1,\tau_{0}^{+}\leqslant 2n,s_{2n}=2k)=\mathbb{P}(s_{2n-1}=-2$.

2. (b)
   ​

   $\mathbb{P}(s_{1}=+1,s_{2n}=2k)=\mathbb{P}(s_{2n-1}=2k-1,s_{2n}=2k-2)$.

3. (c)
   ​

   $\mathbb{P}(s_{1}=+1,\tau_{0}^{+}>2n)=\mathbb{P}(s_{2n-1}=+1,s_{2n}=0)$.

4. (d)
   ​

   $\mathbb{P}(\tau_{0}^{+}>2n)=\mathbb{P}(s_{2n}=0)$.

Sejam $A$ e $B$ eventos quaisquer, mostre que:

1. (a)
   ​

   $\mathbb{P}(A\cap B)\geqslant 1-\mathbb{P}(A^{c})-\mathbb{P}(B^{c})$.

2. (b)
   ​

   $\mathbb{P}(A\cup B)\mathbb{P}(A\cap B)\leqslant\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$. Dê condições necessárias e suficientes para que valha a igualdade.

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade, $A$ e $B$ eventos quaisquer. Encontre uma expressão para a probabilidade de ocorrer exatamente um dos eventos $A$ ou $B$.

Sejam $\mathbb{P}_{1}$ e $\mathbb{P}_{2}$ medidas de probabilidade definidas no mesmo espaço $(\Omega,\mathcal{F})$. A função $\tilde{\mathbb{P}}(A)=\max\{\mathbb{P}_{1}(A),\mathbb{P}_{2}(A)\}$ é medida de probabilidade? Prove ou dê contra-exemplo.

Sejam $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$ eventos aleatórios. Prove que:

1. (a)
   ​

   $\mathbb{P}(A_{1}\cap\dots\cap A_{n})\geqslant 1-(\mathbb{P}(A_{1}^{c})+\dots+$.

2. (b)
   ​

   $\mathbb{P}(\cap_{n=1}^{\infty}A_{n})\geqslant 1-\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}($.

Suponha que $\mathbb{P}(A_{n})=1$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Prove que $\mathbb{P}(\cap_{n}A_{n})=1$.

Dada uma sequência de eventos $(A_{n})_{n}$, definimos os eventos

Mostre que, se $B=C$, então $\mathbb{P}(A_{n})\to\mathbb{P}(B)$.

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $(A_{n})_{n}$ e $(B_{n})_{n}$ sequências de eventos tais que $\mathbb{P}(A_{n})\to 1$ e $\mathbb{P}(B_{n})\to\alpha$. É sempre verdadeiro que $\mathbb{P}(A_{n}\setminus B_{n})\to 1-\alpha$? Prove ou dê contra-exemplo.

Sejam $\Omega$ um conjunto e $\mathcal{A}$ a classe de todos os subconjuntos que são enumeráveis ou cujo complementar é enumerável. Prove que $\mathcal{A}$ é uma $\sigma$-álgebra.

Dê um exemplo de um espaço $\Omega$ e $\sigma$-álgebras $\mathcal{F}_{1}$ e $\mathcal{F}_{2}$ em $\Omega$ tais que $\mathcal{F}_{1}\cup\mathcal{F}_{2}$ não é uma $\sigma$-álgebra em $\Omega$.

Neste exercício provaremos a Proposição 1.39.

1. (a)
   ​

   Sejam $J\neq\emptyset$ um conjunto qualquer de índices e $(\mathcal{F}_{j})_{j\in J}$ uma família de $\sigma$-álgebras em um mesmo espaço amostral $\Omega$. Mostre que $\cap_{j\in J}\mathcal{F}_{j}$ é uma $\sigma$-álgebra em $\Omega$.

2. (b)
   ​

   Sejam $\mathcal{E}$ uma classe qualquer de subconjuntos de $\Omega$ e $J$ o conjunto de todas as $\sigma$-álgebras em $\Omega$ que contêm $\mathcal{E}$. Justifique que $J\neq\emptyset$.

3. (c)
   ​

   Utilize os itens anteriores para provar a existência de uma $\sigma$-álgebra satisfazendo aos três itens da proposição.

4. (d)
   ​

   Conclua a prova da proposição mostrando a unicidade de $\sigma(\mathcal{E})$. Ou seja, mostre que, se $\mathcal{G}$ e $\mathcal{H}$ satisfazem aos três itens da proposição, então $\mathcal{G}=\mathcal{H}$.

Sejam $\Omega=\{1,2,3,4\}$ e $\mathcal{E}=\{\{1\},\{2\}\}$. Quem é $\sigma(\mathcal{E})$? Prove.

Seja $\mathcal{E}=\{\{x\}:x\in\Omega\}$ a classe dos subconjuntos unitários de $\Omega$. Quem é $\sigma(\mathcal{E})$? Prove.

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida. Prove que são equivalentes:

1. $(i)$
   ​

   A medida $\mu$ é $\sigma$-finita;

2. $(ii)$
   ​

   Existem $(A_{n})_{n}$ disjuntos tais que $\cup_{n}A_{n}=\Omega$ e $\mu(A_{n})<\infty$ para todo $n$;

3. $(iii)$
   ​

   Existem $(A_{n})_{n}$ tal que $A_{n}\uparrow\Omega$ e $\mu(A_{n})<\infty$ para todo $n$.

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, onde $\Omega$ é um conjunto qualquer não-enumerável, $\mathcal{F}=\{A\subseteq\Omega:A\text{ \'{e} enumer\'{a}vel ou }A^{c}\text{ \'$ e $\mathbb{P}(A)=0$, se $A$ for enumerável, ou $\mathbb{P}(A)=1$, se $A$ for não-enumerável. Mostre que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ é um espaço de probabilidade.

Sejam $\mathbb{P}_{1},\mathbb{P}_{2},\dots$ medidas de probabilidade em $(\Omega,\mathcal{F})$, e sejam $p_{1},p_{2},\dots\in[0,1]$ tais que $\sum_{n}p_{n}=1$. Prove que

é uma medida de probabilidade em $(\Omega,\mathcal{F})$.