1.1 Alguns modelos probabilísticos

Em alguns experimentos, há um número finito de resultados possíveis e estes são todos idênticos no sentido de que trocar a forma como objetos são etiquetados não afeta as chances de cada um deles. Havendo esse tipo de simetria, vale a hipótese de equiprobabilidade, isto é, todos os elementos $\omega\in\Omega$ têm a mesma chance de ocorrer. Neste caso, a probabilidade de um evento $A$ é simplesmente a razão entre o número de elementos de $A$ e o número de elementos do espaço amostral $\Omega$:

Foi exatamente isto que fizemos no Exemplo 1.1. Ou seja, quando há equiprobabilidade, a tarefa de calcular a probabilidade resume-se a um problema de contagem: quantos são os elementos de $A$ e de $\Omega$? Abordaremos a questão de contagem com mais profundidade na próxima seção.

Um contexto que vai além do caso equiprovável e que podemos tratar sem mais complicações técnicas, é quando o espaço amostral $\Omega$ é um conjunto enumerável.

Se $\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\dots\}$, então a cada possível resultado $\omega_{n}$ é associada uma probabilidade $p(\omega_{n})$ de forma que

Para um subconjunto $B\subseteq\Omega$ definimos

Uma agulha é lançada de modo aleatório para cima e cai sobre um piso que é cortado por um feixe de retas paralelas, todas elas espaçadas por uma mesma distância igual ao comprimento da agulha. Qual a probabilidade de a agulha cruzar uma das retas do piso?

Seja $\ell$ o comprimento da agulha. Inspecionando a Figura 1.3, podemos verificar que a agulha está perfeitamente localizada em relação às retas do piso se conhecermos as variáveis

e

Observe que $0\leqslant x\leqslant\tfrac{\ell}{2}$ e $0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}$, ou seja, o lançamento da agulha corresponde a um sorteio de um ponto no retângulo $\Omega=[0,\tfrac{\pi}{2}]\times[0,\tfrac{\ell}{2}]$. Recorrendo novamente à Figura 1.3, podemos verificar que a agulha cruza uma das retas do piso se, e somente se, é satisfeita a condição $x<\frac{\ell}{2}\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits\theta$. Sendo assim, nossa pergunta agora é quanto vale $\mathbb{P}(A)$, onde $A=\{(\theta,x)\in\Omega:x<\frac{\ell}{2}\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits\theta\}$. Assim como agimos intuitivamente no Exemplo 1.3, por uma questão de simetria (invariância por rotação e translação), a probabilidade do conjunto $A$ deve ser a razão entre as áreas dos conjuntos $A$ e $\Omega$:

Lançando a agulha muitas vezes, esperamos que a proporção de lançamentos em que a agulha intersecta as linhas do piso se aproxime de $\frac{2}{\pi}$. Este é, pois, um método probabilístico para calcular as casas decimais de $\pi$! Na verdade não é um método muito eficiente, mas impressiona pela audácia.

Observamos que, no exemplo acima, o espaço amostral $\Omega=[0,\tfrac{\pi}{2}]\times[0,\tfrac{\ell}{2}]$ não é enumerável. Por isso, precisamos de uma medida de probabilidade diferente da dos casos anteriores. Intuitivamente, dissemos que a probabilidade do evento $A$ era a razão entre as áreas de $A$ e $\Omega$. Mas quais são os conjuntos aos quais podemos atribuir área? Como se calcula a área nestes casos?

Neste mesmo problema, qual é a probabilidade de a agulha cair paralela às retas do piso? Ou seja, queremos saber quanto vale $\mathbb{P}(B_{0})$, onde $B_{0}=\{0\}\times[0,\tfrac{\ell}{2}]$. Como $B_{0}$ é um segmento de reta dentro do retângulo $\Omega$, a área de $B_{0}$ é zero, logo $\mathbb{P}(B_{0})=0$.

De modo análogo, o evento $B_{\alpha}=\{\alpha\}\times[0,\tfrac{\ell}{2}]$ em que a agulha forma um ângulo exatamente igual a $\alpha$ com o feixe de retas do piso, também tem a propriedade de que $\mathbb{P}(B_{\alpha})=0$, e isso vale para todo $\alpha\in[0,\tfrac{\pi}{2}]$. Em particular, $\mathbb{P}(\{\omega\})=0$ para todo $\omega\in\Omega$.

Acabamos de ver algo bastante curioso: há eventos de probabilidade zero que não são o evento impossível! Mais do que isso, cada ponto do espaço amostral tem probabilidade zero. Mas isso quer dizer que qualquer evento é composto por eventos menores, cada um com probabilidade zero, incluindo o evento $A$ estudado acima (a agulha cortar uma das retas do piso). Daí vemos que

pois $\mathbb{P}(A)=\frac{2}{\pi}\text{ e }\sum_{\omega\in A}\mathbb{P}(\{\omega\})=0$. Observe o contraste com (1.17). Quando um evento pode ser decomposto em uma coleção enumerável de partes menores, o uso de somatórios é adequado. Quando a decomposição não é enumerável, necessitamos modelos em que a passagem da parte ao todo se faz através de integração ao invés de soma.

Concluímos esta seção com uma discussão mais minuciosa a respeito da hipótese de equiprobabilidade.

Um dado pode ter suas faces etiquetadas com $\{1,2,3,4,5,6\}$ ou $\{2,3,4,5,6,1\}$. As chances de se observar a etiqueta “2” são as mesmas para ambos os casos, pois as faces do dado que seriam etiquetadas com “2” são idênticas e, uma vez que o dado tenha girado ao redor de seus eixos várias vezes, não há resquícios da posição inicial que possam fazer com que uma das faces tenha mais chances que as outras. Por outro lado, sair “2” no segundo caso é o mesmo que sair “1” no primeiro caso, e portanto a probabilidade de se observar a face “2” é a mesma que a de se observar a face “1”. Seguindo o mesmo argumento, a chance de sair “2” é a mesma que de sair “3” e assim por diante.

Certamente, há exemplos com finitos resultados possíveis em que a hipótese de equiprobabilidade não é válida. Considere o lançamento simultâneo de dois dados de mesma cor (mais precisamente, idênticos, se é que isso é possível) sobre o mesmo tabuleiro. Qual a probabilidade de que a soma dos valores exibidos em cada face seja $3$? Um erro sutil, que inclusive grandes matemáticos já cometeram no passado, é usar um modelo equiprovável sobre os $21$ pares não-ordenados possíveis. Neste caso, teríamos a mesma probabilidade de que a soma seja $2$ ou $3$, pois $2$ somente pode ser obtido de uma forma (com um par de “$1$”s) e $3$ também pode ser obtido apenas de uma forma (com um “$1$” e um “$2$”). A ideia de considerar os dados como sendo idênticos e definir um espaço amostral com apenas $21$ elementos, ao invés de ajudar, atrapalhou. Isso porque não há simetria (isto é, invariância pela forma como as faces são etiquetadas) que nos permita justificar que $\omega=\{1,1\}$ e $\omega=\{1,2\}$ tenham a mesma chance. Pelo contrário, podemos pensar que dois dados nunca são idênticos e, ainda que fossem, um deles vai cair mais à esquerda e, ainda que caiam perfeitamente alinhados, é possível escolher um dos dois dados no início e seguir sua trajetória de forma a diferenciá-lo do outro. Felizmente, mesmo que o observador insista na sua incapacidade de distinguir os dados, já sabemos que o modelo com $36$ resultados possíveis nos permitiu resolver o problema usando simetria. Portanto, se queremos muito modelar o experimento com um espaço amostral de $21$ elementos, a medida de probabilidade deve atribuir peso $\tfrac{1}{36}$ a cada um dos $6$ pares de números idênticos e $\tfrac{2}{36}$ a cada um dos $15$ pares de números diferentes, totalizando $\tfrac{36}{36}$, como esperado.³³ 3 Quem disse que dois dados podem somar $2$ ou $3$ com a mesma probabilidade foi ninguém menos que G. Leibniz (o co-inventor do Cálculo) em 1666. Claramente, Leibniz não tinha muita experiência prática lançando dados. Meio século antes, teve lugar uma versão um pouco mais complicada desse problema, o Problema do Grão-Duque da Toscana. Considere o lançamento de três dados, e observe que a soma $9$ pode ser obtida como $\{1,2,6\},\{1,3,5\},\{1,4,4\},\{2,2,5\}$, $\{2,3,4\}$ ou $\{3,3,3\}$, enquanto a soma $10$ pode ser obtida como $\{1,3,6\}$, $\{1,4,5\}$, $\{2,2,6\}$, $\{2,3,5\}$, $\{2,4,4\}$ ou $\{3,3,4\}$. Apesar de que tanto $9$ quanto $10$ podem ser obtidos a partir de seis listas diferentes, por que somas $10$ são mais frequentes que somas $9$? Indagado por seu patrono, Galileu responde de modo correto que essas seis listas não são equiprováveis. Analogamente ao lançamento de dois dados, a lista $\{3,3,3\}$ é menos provável que $\{3,3,4\}$, que por sua vez é menos provável que $\{2,3,5\}$. A escolha correta para a medida de probabilidade deve atribuir peso $1/216$ a cada uma das triplas com números idênticos, $3/216$ a cada tripla formada por dois números idênticos e outro distinto e $6/216$ a cada tripla de três números distintos. Portanto, a soma $9$ ocorre com probabilidade $25/216$, enquanto uma soma $10$ ocorre com probabilidade $27/216$. É muito curioso que o Grão-Duque tenha tido tanta experiência com lançamentos de dados a ponto de perceber empiricamente uma diferença relativa entre as probabilidades inferior a um décimo!