1.3 Formulação axiomática de Kolmogorov

Para fazer as operações mais básicas com eventos aleatórios, vamos pedir que nosso espaço de eventos tenha a seguinte estrutura.

Definição 1.33.

Dizemos que uma classe $\mathcal{F}$ de subconjuntos de $\Omega$ é uma $\sigma$ -álgebra se $\mathcal{F}$ satisfaz às seguintes propriedades:

(1)

$\Omega\in\mathcal{F}$ ;
(2)

Para todo $A\in\mathcal{F}$ , tem-se que $A^{c}\in\mathcal{F}$ ;
(3)

Para toda sequência $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq\mathcal{F}$ , vale $\left(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)\in\mathcal{F}$ .

Utilizaremos o termo classe para denotar um conjunto de subconjuntos de algum espaço amostral. As três propriedades dizem que o evento certo é um dos elementos de $\mathcal{F}$ , e que a classe $\mathcal{F}$ é fechada pelas operações de tomar o complementar e uniões enumeráveis. Estas propriedades nos garantem que $\emptyset\in\mathcal{F}$ , logo $\mathcal{F}$ é fechada também por uniões finitas. Além disso, $\mathcal{F}$ é fechada com respeito a interseções enumeráveis, pois da lei de De Morgan segue que $\cap_{n=1}^{\infty}A_{n}=\left(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}^{c}\right)^{c}$ , o que implica que $\mathcal{F}$ também é fechada pela operação de diferença entre conjuntos, pois $A\setminus B=A\cap B^{c}$ . Ou seja, trabalhar com uma $\sigma$ -álgebra é algo robusto o suficiente que nos permite fazer as operações elementares de conjuntos, uma quantidade enumerável de vezes, sem sair de $\mathcal{F}$ .⁵⁵ 5 Daqui surge uma pergunta mais que legítima: por que precisamos da definição de $\sigma$ -álgebra? Quer dizer, não poderíamos simplesmente tomar $\mathcal{P}(\Omega)$ como espaço de eventos e evitar tudo isso? De fato, é sim possível tomar $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ para modelos discretos, mas recordemo-nos de alguns exemplos vistos até aqui, mais precisamente os Exemplos 1.2 e 1.3, e o da agulha de Buffon. O problema nesses exemplos é que existem subconjuntos da reta ou do plano que são tão complicados que não é possível atribuir-lhes comprimento ou área. De forma mais geral, com $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ , não existe uma medida de probabilidade $\mathbb{P}$ , definida em todos os subconjuntos de $\mathbb{R}^{n}$ , com a propriedade de que $\mathbb{P}(\{{{\boldsymbol{x}}}\})=0$ para cada ponto ${{\boldsymbol{x}}}\in\mathbb{R}^{n}$ . Mais propriedades de $\sigma$ -álgebras serão discutidas na Seção 1.4.

Definição 1.34.

Seja $\Omega$ um espaço amostral e $\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra em $\Omega$ . Uma medida de probabilidade $\mathbb{P}$ , ou simplesmente probabilidade, é uma função $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to\mathbb{R}$ satisfazendo às seguintes propriedades:

(1)

$\mathbb{P}(A)\geqslant 0$ para todo $A\in\mathcal{F}$ .
(2)

$\mathbb{P}(\Omega)=1$ .
(3)

Se $(A_{n})_{n}$ são eventos disjuntos (isto é, $A_{j}\cap A_{k}=\emptyset$ para todos $j\neq k$ ), então $\mathbb{P}(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{n}).$

Esta última propriedade é chamada $\sigma$ -aditividade.

A partir das propriedades acima, podem-se demonstrar inúmeras outras. Listamos abaixo as mais comuns.

Teorema 1.35.

Sejam $\mathbb{P}$ uma medida de probabilidade, $A,B,A_{1},A_{2},\dots\in\mathcal{F}$ . Então:

(4)

$\mathbb{P}(\emptyset)=0$ .
(5)

$\mathbb{P}(A^{c})=1-\mathbb{P}(A)$ .
(6)

Se $A\subseteq B$ , então $\mathbb{P}(A)\leqslant\mathbb{P}(B)$ e $\mathbb{P}(B\setminus A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A)$ .
(7)

$0\leqslant\mathbb{P}(A)\leqslant 1$ .
(8)

$\mathbb{P}(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n})\leqslant\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{% n})$ .
(9)

$\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$ .

Demonstração.

Para provar (4), tome $A_{1}=\Omega$ e $A_{n}=\emptyset$ para $n=2,3,4,\dots$ . Se $\mathbb{P}(\emptyset)$ fosse estritamente positivo, a equação que define a Propriedade (3) daria $1$ no lado esquerdo e $+\infty$ no lado direito. Para provar (5), basta tomar $A_{1}=A$ , $A_{2}=A^{c}$ e $A_{j}=\emptyset$ para $j=3,4,\dots$ , então pelas Propriedades (3) e (4) segue que $1=\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}(A\cup A^{c}\cup\emptyset\cup\dots\cup\emptyset% )=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^{c})$ .

O item (6) é provado escrevendo $B=A\cup(B\setminus A)$ . Com efeito, segue de (3) que $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\setminus A)$ , logo $\mathbb{P}(B\setminus A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A)$ , e de (1) concluímos que $\mathbb{P}(B)\geqslant\mathbb{P}(A)$ . Usando essa última propriedade e observando que $\emptyset\subseteq A\subseteq\Omega$ , obtemos $0=\mathbb{P}(\emptyset)\leqslant\mathbb{P}(A)\leqslant\mathbb{P}(\Omega)=1$ , o que prova (7).

Para provar (8), defina $B_{1}=A_{1}$ e $B_{n}=A_{n}\setminus(\cup_{k=1}^{n-1}A_{k})$ para $n\geqslant 2$ . Observe que os conjuntos $B_{1},B_{2},\dots$ são disjuntos, $\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}=\cup_{n=1}^{\infty}B_{n}$ , e que $B_{n}\subseteq A_{n}$ para todo $n$ . Usando (3) e (6), obtemos $\mathbb{P}\left(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\mathbb{P}\left(\cup_{n=1}^{% \infty}B_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(B_{n})\leqslant\sum_{n=1}^{% \infty}\mathbb{P}(A_{n})$ . Para provar (9), usamos (3) para escrever $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\setminus A)$ e $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(B\setminus A)$ , donde $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$ . ∎

Uma medida de probabilidade $\mathbb{P}$ também tem a propriedade de ser contínua. Dada uma sequência $(A_{n})_{n}$ de eventos, denotamos por $A_{n}\uparrow A$ a propriedade de que $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq\cdots$ e $\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}=A$ . Analogamente, escrevemos $A_{n}\downarrow A$ para denotar que $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq\cdots$ e $\cap_{n=1}^{\infty}A_{n}=A$ .

Teorema 1.36 (Continuidade).

Se $A_{n}\uparrow A$ ou $A_{n}\downarrow A$ , então $\mathbb{P}(A_{n})\to\mathbb{P}(A)$ .

Demonstração.

Suponha que $A_{n}\uparrow A$ . Fixe $A_{0}=\emptyset$ e defina $B_{n}=A_{n}\setminus A_{n-1}$ para $n\in\mathbb{N}$ , de modo que $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}$ e a última união é disjunta. Assim,

	$\displaystyle\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)$	$\displaystyle=\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}\right)=\sum_{k=1}^{% \infty}\mathbb{P}(B_{k})$
		$\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{k}\setminus A_{k-1})=\lim_{n\to% \infty}\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k}\setminus A_{k-1})$
		$\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\Big{(}(\mathbb{P}(A_{k})-\mathbb% {P}(A_{k-1})\Big{)}=\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(A_{n}),$

provando o primeiro caso. Suponha agora que $A_{n}\downarrow A=\cap_{n=1}^{\infty}A_{n}$ . Observando que $A^{c}_{n}\uparrow\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}^{c}$ , pela parte já demonstrada, $\mathbb{P}(A_{n})=1-\mathbb{P}(A_{n}^{c})\to 1-\mathbb{P}(A^{c})=\mathbb{P}(A)$ . ∎

Finalmente introduzimos o conceito de espaço de probabilidade, que nada mais é que a justaposição das noções de espaço amostral, eventos aleatórios e medida de probabilidade.

Definição 1.37 (Espaço de probabilidade).

Um espaço de probabilidade é um trio $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , onde

(1)

$\Omega$ é um conjunto não-vazio;
(2)

$\mathcal{F}$ é uma $\sigma$ -álgebra de subconjuntos de $\Omega$ ;
(3)

$\mathbb{P}$ é uma probabilidade definida em $\mathcal{F}$ .

Exemplo 1.38.

Lançamento de uma moeda. Este espaço é pequeno o suficiente para que possamos construí-lo explicitamente. Como fizemos anteriormente, as duas faces da moeda serão representadas em $\Omega=\{0,1\}$ . A $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}$ é dada por $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)=\big{\{}\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\big{\}}$ . A medida de probabilidade $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to\mathbb{R}$ é dada por $\mathbb{P}(\emptyset)=0$ , $\mathbb{P}(\{0\})=\mathbb{P}(\{1\})=\frac{1}{2}$ , $\mathbb{P}(\{0,1\})=1$ . ∎