Capítulo 8 Lei dos Grandes Números

Um dos principais tópicos da Teoria da Probabilidade é o estudo da chamada Lei dos Grandes Números. Ela diz que a soma de muitas variáveis aleatórias independentes (ou não-correlacionadas, etc.) tende a estar próxima da sua esperança. Mais precisamente, a média observada $\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}$, que é aleatória, se aproxima da média teórica $\mathbb{E}[\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}]$, que é determinística.

Sua manifestação mais simples é na frequência relativa. Imagine que realizamos o mesmo experimento muitas vezes, sob as mesmas condições, e contamos quantos desses experimentos resultaram em sucesso e quantos resultaram em fracasso. Tomando $X_{n}=1$ para indicar sucesso na $n$-ésima tentativa em $X_{n}=0$ para indicar fracasso, a frequência relativa observada é dada justamente por $\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}$. Enquanto escreviam este preâmbulo, os autores simularam o lançamento de uma moeda honesta um milhão de vezes, e obtiveram coroa 499.947 vezes. Repetindo o mesmo procedimento, obtiveram coroa 499.508 vezes, depois 500.318 vezes, e depois 500.512 vezes. Como previsto pela Lei dos Grandes Números, a frequência relativa ficou sempre muito próxima da probabilidade de se obter coroa em cada lançamento, que é exatamente $\frac{1}{2}$. Intuitivamente, tendemos a associar probabilidade de sucesso a frequência relativa de sucessos, e essa associação já está quase naturalizada no nosso pensamento. Entretanto, no estudo da Teoria da Probabilidade como uma teoria axiomática, isso será um teorema e não uma definição. Se, por um lado, não definimos a probabilidade de se obter coroa no lançamento da moeda como sendo dada pela frequência relativa, por outro lado, é reconfortante que a teoria seja capaz de autojustificar-se ao estabelecer que tal frequência relativa deve se aproximar do valor teórico quando o número de realizações do experimento aumenta.

De forma mais geral, o resultado relevante de cada experimento não precisa ser $0$ ou $1$ para representar fracasso ou sucesso, de fato pode ser qualquer variável aleatória. Antes de escrever este parágrafo, os autores lançaram um dado dez vezes, e a soma dos valores obtidos foi de 38. Repetindo o mesmo procedimento, obtiveram 33, 28, 37 e por último 43. Não pareceu que esta soma estivesse muito bem concentrada próxima de algum valor determinístico. Entretanto, os autores depois simularam dez mil lançamentos do dado, e a soma dos resultados foi 35.082. Repetindo o mesmo procedimento, obtiveram como soma 34.769, depois 35.419, e depois 34.691. Como previsto pela Lei dos Grandes Números, quando o número de lançamentos foi grande, a média observada se aproximou da média teórica, dada por $\mathbb{E}X_{1}=\frac{7}{2}$.

Nas seções seguintes, vamos provar que vale a Lei dos Grandes Números sob diferentes hipóteses, com demonstrações que vão aumentando em nível de complexidade. Ademais, como visto no capítulo anterior, a noção de “aproximar-se” pode ter mais de um significado quando falamos de quantidades aleatórias, o que se traduz em distintas formulações da Lei dos Grandes Números. Estudaremos hipóteses sob as quais essa aproximação se dará em diferentes sentidos. Finalizamos com algumas aplicações na última seção.