8.5 Exercícios

Se, no jogo de roleta, apostamos $1$ ficha no número $27$, o nosso ganho esperado é de $-\tfrac{2}{38}$ fichas. O que diz a Lei dos Grandes Números sobre o ganho acumulado de um jogador que repete esta aposta indefinidamente? E se ele variar o número apostado?

Temos dois dados honestos, um cúbico numerado de $1$ a $6$ e um octaédrico numerado de $1$ a $8$. Um destes dados é escolhido aleatoriamente e lançado $n$ vezes.

1. (a)
   ​

   A Lei dos Grandes Números pode ser usada para prever a frequência relativa com que aparece o número $6$?

2. (b)
   ​

   Descreva um critério que permita inferir qual dado foi escolhido sabendo-se apenas a frequência relativa do número $6$.

3. (c)
   ​

   Encontre um valor de $n$ para o qual seja possível afirmar que a probabilidade de que o critério descrito no item anterior acerte seja de pelo menos $\frac{9}{10}$.

Exiba um exemplo de sequência de variáveis aleatórias ilustrando que a hipótese de variáveis não-correlacionadas não pode ser retirada na Lei Fraca de Tchebyshev.

Exiba um exemplo de sequência de variáveis aleatórias ilustrando que a hipótese de variâncias limitadas não pode ser retirada na Lei Fraca de Tchebyshev. Dica: Tente com variáveis normais.

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição normal padrão. Calcule quanto vale quase certamente o limite

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição $\mathcal{U}[0,1]$, calcule o limite quase certo da média geométrica

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes com $X_{n}\sim\mathcal{U}[0,n]$. Defina $Z_{n}=\mathds{1}_{\{X_{2n}>X_{2n+1}\}}$ e $S_{n}=Z_{1}+\dots+Z_{n}$.

1. (a)
   ​

   Calcule $\lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{n}$.

2. (b)
   ​

   A convergência acima vale quase certamente ou apenas em probabilidade? Justifique.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes com $\mathbb{P}(X_{n}=n^{2})=\frac{1}{n^{3}}=1-\mathbb{P}(X_{n}=0)$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Vale a Lei Fraca dos Grandes Números ou a Lei Forte?

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes com $\mathbb{P}(X_{n}=n^{2})=\frac{1}{n^{2}}=1-\mathbb{P}(X_{n}=0)$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Vale a Lei Fraca dos Grandes Números ou a Lei Forte?

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes com $\mathbb{P}(X_{n}=n)=\mathbb{P}(X_{n}=-n)=\frac{1}{2n\log n}$ e $\mathbb{P}(X_{n}=0)=1-\frac{1}{n\log n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Mostre que vale a Lei Fraca dos Grandes Números mas não vale a Lei Forte.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes duas a duas. Diga se vale a Lei Fraca dos Grandes Números ou a Lei Forte nos seguintes casos:

1. (a)
   ​

   $\mathbb{P}(X_{n}=n)=\mathbb{P}(X_{n}=-n)=\tfrac{1}{2}$.

2. (b)
   ​

   $\mathbb{P}(X_{n}=2^{n})=\mathbb{P}(X_{n}=-2^{n})=2^{-2n-1}$ e $\mathbb{P}(X_{n}=0)=1-2^{-2n}$.

3. (c)
   ​

   $\mathbb{P}(X_{n}=2^{n})=2^{-n}$ e $\mathbb{P}(X_{n}=0)=1-2^{-n}$.

4. (d)
   ​

   $\mathbb{P}(X_{n}=n^{2})=\mathbb{P}(X_{n}=-n^{2})=(n+1)^{-3}$ e $\mathbb{P}(X_{n}=0)=1-2(n+1)^{-3}$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. tais que $\mathbb{E}X_{1}=+\infty$. Mostre que $\frac{S_{n}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}+\infty$.

Seja $(X)_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias não-correlacionadas, tais que $\mathbb{E}X_{n}^{2}<C$ para algum $C>0$, para todo $n\in\mathbb{N}$. Vamos mostrar que

onde $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$, seguindo os passos abaixo.

1. (a)
   ​

   Mostre que, sem perda de generalidade, podemos supor que $\mathbb{E}X_{n}=0$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

2. (b)
   ​

   Mostre que $\frac{S_{m^{2}}}{m^{2}}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ quando $m\to\infty$.

3. (c)
   ​

   Dado $n\in\mathbb{N}$, seja $m$ o único número $m\in\mathbb{N}$ tal que $m^{2}\leqslant n<(m+1)^{2}$ e defina $r_{n}=m^{2}$. Mostre que $\frac{S_{r_{n}}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$.

4. (d)
   ​

   Mostre que

   $$\mathbb{E}\Big{(}\frac{S_{n}-S_{r_{n}}}{n}\Big{)}^{2}\leqslant\frac{2C}{n^{3/2}}+\frac{C}{n^{2}}.$$
5. (e)
   ​

   Mostre que $\frac{S_{n}-S_{r_{n}}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$.

6. (f)
   ​

   Conclua o exercício.

Seguindo os passos abaixo, mostre que, quase certamente, um número $X$ sorteado uniformemente no intervalo $[0,1]$ é normal na base $b$.

1. (a)
   ​

   Seja $(X_{n})_{n}$ a sequência dos dígitos de $X$ na base $b$, de forma que $(X_{n})_{n}$ é i.i.d. com distribuição uniforme discreta em $\{0,\dots,b-1\}$. Dada um par ordenado $(z_{1},z_{2})\in\{0,1,\dots,b-1\}^{2}$, defina a sequência de variáveis aleatórias $(Y_{n})_{n}$, onde $Y_{n}=\mathds{1}_{\{(X_{n},X_{n+1})=(z_{1},z_{2})\}}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Verifique que a sequência $(Y_{n})_{n}$ é identicamente distribuída, não é independente, mas a sequência $(Y_{2n-1})_{n}$ é independente, assim como a sequência $(Y_{2n})_{n}$.

2. (b)
   ​

   Mostre que

   $$\lim_{n}\frac{Y_{1}+Y_{3}+\dots+Y_{2n-1}}{n}=\lim_{n}\frac{Y_{2}+Y_{4}+\dots+Y_{2n}}{n}=\frac{1}{b^{2}},$$

   portanto

   $$\lim_{n}\frac{Y_{1}+Y_{2}+\dots+Y_{2n}}{2n}=\frac{1}{b^{2}}.$$
3. (c)
   ​

   Mostre que

   $$\left|\frac{Y_{1}+Y_{2}+\dots+Y_{2n}}{2n}-\frac{Y_{1}+Y_{2}+\dots+Y_{2n-1}}{2n-1}\right|\leqslant\frac{1}{2n-1}$$

   e conclua que todo par ordenado $(z_{1},z_{2})\in\{0,1,\dots,b-1\}^{2}$ aparece na expansão de $X$ na base $b$ com frequência relativa igual a $\frac{1}{b^{2}}$ quase certamente.

4. (d)
   ​

   Generalize os itens anteriores, considerando $l\geqslant 2$ inteiro e $l$-uplas ordenadas da forma $(z_{1},\dots,z_{l})\in\{0,1,\dots,b-1\}^{l}$, e conclua que $X$ é normal na base $b$ quase certamente.