11.5 Teorema de Radon-Nikodým

Esta seção é de natureza um pouco mais abstrata, onde mostraremos a existência da esperança condicional de uma variável aleatória dada uma $\sigma$ -álgebra. Para isto faremos uso de uma das mais importantes ferramentas da Teoria da Medida, e que desempenha um papel fundamental na Teoria da Probabilidade, o Teorema de Radon-Nikodým, que será enunciado aqui e demonstrado no Apêndice D.5.

Sejam $\mu$ um medida definida em $(\Omega,\mathcal{F})$ e $f:\Omega\to[0,+\infty]$ uma função mensurável. Vimos na Seção 5.5.5 que

\nu(A)=\int_{A}f\,\mathrm{d}\mu

define uma nova medida em $(\Omega,\mathcal{F})$ . Além disso, pela Proposição 5.67, $\nu(A)=0$ para todo $A\in\mathcal{F}$ tal que $\mu(A)=0$ .

A próxima definição será crucial no papel de comparar medidas.

Definição 11.54 (Medidas absolutamente contínuas).

Sejam $\nu$ e $\mu$ medidas definidas em um mesmo espaço mensurável $(\Omega,\mathcal{F})$ . Dizemos que a medida $\nu$ é absolutamente contínua com respeito à medida $\mu$ , o que denotamos por $\nu\ll\mu$ , se $\nu(A)=0$ para todo $A\in\mathcal{F}$ tal que $\mu(A)=0$ .

Gostaríamos de saber se a recíproca seria verdadeira, isto é, se $\nu\ll\mu$ , então a medida $\nu$ poderia ser expressa como a integral de Lebesgue de alguma função $f:\Omega\to[0,+\infty]$ mensurável?

O próximo teorema nos fornece a resposta. O Teorema de Radon-Nikodým nos diz quando uma medida $\nu$ pode ser expressa em termos de uma outra medida $\mu$ , ponderada por uma função, que denotaremos por $\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}$ e chamaremos de derivada de Radon-Nikodým de $\nu$ com respeito a $\mu$ , conforme introduzido na Seção 5.5.5.

Teorema 11.55 (Teorema de Radon-Nikodým).

Sejam $\nu$ e $\mu$ medidas $\sigma$ -finitas definidas em um mesmo espaço mensurável $(\Omega,\mathcal{F})$ . Então, $\nu\ll\mu$ se e somente se existe uma função mensurável $f:\Omega\to[0,+\infty)$ tal que

\nu(A)=\int_{A}f\,\mathrm{d}\mu,\ \forall A\in\mathcal{F}.

A prova será dada no Apêndice D.5.

Antes de falar de esperança condicional, vejamos como o Teorema de Radon-Nikodým justifica algumas afirmações feitas no Capítulo 3.

Na Seção 3.5, demos a entender que, se $X$ é uma variável aleatória que não tem densidade, então existe um conjunto $B\in\mathcal{B}$ tal que $m(B)=0$ e $\mathbb{P}(X\in B)>0$ . Naquele ponto não tínhamos as ferramentas para provar essa propriedade, mas agora vemos que isso decorre do Teorema de Radon-Nikodým. Com efeito, a inexistência de tal conjunto $B$ é equivalente a $\mathbb{P}_{X}\ll m$ , o que por sua vez é equivalente à existência de uma densidade $\frac{\mathrm{d}\mathbb{P}_{X}}{\mathrm{d}m}$ .

No final da Seção 3.4, dissemos que, dada uma variável $X$ com densidade $f_{X}$ , e dado um evento $A\in\mathcal{F}$ tal que $\mathbb{P}(A)>0$ , sempre existe a densidade condicional $f_{X|A}$ . Isso pode ser demonstrado usando-se o Teorema de Radon-Nikodým. Com efeito, se $X$ é absolutamente contínua, então para todo $B\in\mathcal{B}$ tal que $m(B)=0$ , temos $\mathbb{P}(X\in B|A)\leqslant\frac{\mathbb{P}(X\in B)}{\mathbb{P}(A)}=0$ , logo $X$ também será absolutamente contínua sob a medida $\mathbb{P}(\,\cdot\,|A)$ , o que implica a existência de $f_{X|A}$ tal que $\mathbb{P}(X\in B|A)=\int_{B}f_{X|A}\,\mathrm{d}x$ para todo $B\in\mathcal{B}$ .

Concluímos esta seção com a prova do Teorema 11.39.

Demonstração do Teorema 11.39.

Consideremos inicialmente o caso em que $X$ é não-negativa e integrável. Definimos a medida $\nu$ no espaço mensurável $(\Omega,\mathcal{G})$ como

\nu(A)=\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}\ \text{ para cada }A\in\mathcal{G}.

Como $\nu(\Omega)=\mathbb{E}X<\infty$ , temos que $\nu$ é $\sigma$ -finita. No espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{G},\mathbb{P})$ , temos que $\nu\ll\mathbb{P}$ (aqui cometemos um pequeno abuso de notação ao denotar também por $\mathbb{P}$ a restrição de $\mathbb{P}$ à $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ ). Pelo Teorema de Radon-Nikodým, a derivada $\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mathbb{P}}:\Omega\to[0,+\infty)$ é $\mathcal{G}$ -mensurável. Tome $Z=\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mathbb{P}}$ . Como $Z$ é $\mathcal{G}$ -mensurável e satisfaz (11.40), isso conclui a prova.

Supomos agora que $X$ seja integrável. Pelo caso anterior, existem variáveis aleatórias integráveis $\mathbb{E}[X^{+}|\mathcal{G}]$ e $\mathbb{E}[X^{-}|\mathcal{G}]$ tais que $\int_{A}\mathbb{E}[X^{\pm}|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}X^{\pm}% \,\mathrm{d}\mathbb{P}$ para todo $A\in\mathcal{G}$ . Definindo $Z=\mathbb{E}[X^{+}|\mathcal{G}]-\mathbb{E}[X^{-}|\mathcal{G}]$ , obtemos,

	$\displaystyle\int_{A}Z\,\mathrm{d}\mathbb{P}$	$\displaystyle=\int_{A}\mathbb{E}[X^{+}\|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}-\int% _{A}\mathbb{E}[X^{-}\|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}$
		$\displaystyle=\int_{A}X^{+}\,\mathrm{d}\mathbb{P}-\int_{A}X^{-}\,\mathrm{d}% \mathbb{P}=\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}$

para todo $A\in\mathcal{G}$ , o que está bem definido pois todas as variáveis aleatórias envolvidas são integráveis. Portanto $Z$ cumpre as duas condições do teorema.

Por último, supomos que $X$ seja não-negativa mas não necessariamente integrável. Tomamos uma sequência $0\leqslant X_{n}\uparrow X$ onde $X_{n}$ são variáveis aleatórias simples não-negativas. Pelo caso anterior, existe $\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]$ para todo $n$ . Como na demonstração do Teorema 11.49, $\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\uparrow Z$ para alguma variável aleatória estendida $Z$ que é $\mathcal{G}$ -mensurável e satisfaz $\int_{A}X\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Z\mathrm{d}\mathbb{P},$ para todo $A\in\mathcal{G}$ . Ou seja, $Z$ cumpre as duas condições do teorema, o que conclui esta demonstração. ∎