11.2 Função de probabilidade condicional

Consideramos agora o caso em que a partição é dada pelos valores assumidos por uma outra variável aleatória.

Definição 11.12 (Partição induzida por uma variável aleatória).

Seja $Y$ uma variável aleatória simples. Sejam $a_{1},\dots,a_{m}$ os distintos valores assumidos por $Y$ e $D_{j}=\{Y=a_{j}\}$ , de forma que $Y=\sum_{k=1}^{m}a_{k}\mathds{1}_{D_{k}}$ . Definimos a partição induzida por $Y$ como $\mathcal{D}_{Y}=\{D_{1},D_{2},\dots,D_{m}\}$ .

Observe que $Y$ sempre é $\mathcal{D}_{Y}$ -mensurável. Ademais, se $X=g(Y)$ para alguma função $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , então $X$ também é $\mathcal{D}_{Y}$ -mensurável. Reciprocamente, se $X$ é $\mathcal{D}_{Y}$ -mensurável, então $X=g(Y)$ para alguma $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .

Definição 11.13 (Esperança condicional dada uma variável aleatória).

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias simples. Definimos a esperança condicional de $X$ dado $Y$ como sendo a variável aleatória

\mathbb{E}[X|Y]=\mathbb{E}[X|\mathcal{D}_{Y}].

Ou seja, $\mathbb{E}[X|Y]$ assume o valor $\mathbb{E}[X|Y=y]$ no evento $\{Y=y\}$ .

Neste contexto, a Observação 11.9 nos diz que $\mathbb{E}[X|Y]$ é, dentre todas a variáveis aleatórias $Z$ que podem ser expressas como $Z=g(Y)$ para alguma $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , a que minimiza $\mathbb{E}(Z-X)^{2}$ .

Na prática, podemos calcular $\mathbb{E}[X|Y]$ da seguinte maneira. Primeiro definimos a função de probabilidade condicional de $X$ dado $Y$ como

p_{X|Y}(x|y)=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_{Y}(y)}

(11.14)

para todo $y$ tal que $p_{Y}(y)>0$ . Nos pontos $y$ tais que $p_{Y}(y)=0$ podemos definir $p_{X|Y}(x|y)=p_{X}(x)$ . Depois calculamos

\mathbb{E}[X|Y=y]=\sum_{x}x\cdot p_{X|Y}(x|y).

(11.15)

Exemplo 11.16.

Seja $(X,Y)$ um vetor aleatório com função de probabilidade conjunta dada por $p_{X,Y}(0,0)=\frac{2}{5}$ , $p_{X,Y}(0,1)=\frac{1}{5}$ , $p_{X,Y}(1,0)=\frac{1}{10}$ e $p_{X,Y}(1,1)=\frac{3}{10}$ . Então, a função de probabilidade marginal de $Y$ , $p_{Y}$ , é dada por

p_{Y}(0)=\frac{1}{2}\quad\text{ e }\quad p_{Y}(1)=\frac{1}{2},

o que por sua vez nos permite calcular a função de probabilidade condicional de $X$ dado $Y$ , $p_{X|Y}(x|y)$ , através de (11.14), obtendo

p_{X|Y}(0|0)=\frac{4}{5},\ p_{X|Y}(1|0)=\frac{1}{5},\ p_{X|Y}(0|1)=\frac{2}{5}% ,\ p_{X|Y}(1|1)=\frac{3}{5},

isto é,

p_{X|Y}(0|y)=\frac{4-2y}{5}\quad\text{ e }\quad p_{X|Y}(1|y)=\frac{1+2y}{5}.

Portanto, podemos calcular, via (11.15), que

\mathbb{E}[X|Y=y]=\frac{1+2y}{5},\ \text{ para }y=0\text{ ou }y=1,

logo $\mathbb{E}[X|Y]=\frac{1+2Y}{5}$ quase certamente. ∎

Exemplo 11.17.

Sejam $X\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n,p)$ e $Z\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(m,p)$ variáveis independentes e $Y=X+Z$ . Conforme visto no Exemplo 4.20, $Y\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n+m,p)$ , logo, $p_{Y}(y)=\binom{m+n}{y}p^{y}(1-p)^{m+n-y}$ . Assim,

	$\displaystyle p_{X\|Y}(x\|y)$	$\displaystyle=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_{Y}(y)}=\frac{p_{X,Z}(x,y-x)}{p_{Y}(y)}=% \frac{p_{X}(x)p_{Z}(y-x)}{p_{Y}(y)}$
		$\displaystyle=\frac{\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\binom{m}{y-x}p^{y-x}(1-p)^{m-% y+x}}{\binom{n+m}{y}p^{y}(1-p)^{n+m-y}}=\frac{\binom{n}{x}\binom{m}{y-x}}{% \binom{n+m}{y}},$

onde na terceira igualdade utilizamos o fato de $X$ e $Z$ serem independentes. Portanto, para todo $y=0,\dots,n+m$ ,

	$\displaystyle\mathbb{E}[X\|Y=y]$	$\displaystyle=\sum_{x}x\frac{\binom{n}{x}\binom{m}{y-x}}{\binom{n+m}{y}}=\frac% {n\sum_{x}\binom{n-1}{x-1}\binom{m}{y-x}}{\binom{n+m}{y}}$
		$\displaystyle=\frac{n\binom{n+m-1}{y-1}}{\binom{n+m}{y}}=\frac{ny}{n+m}.$

Logo, $\mathbb{E}[X|Y]=\frac{n}{m+n}Y$ quase certamente. ∎

Nos exemplos acima, $p_{X|Y}$ foi calculado a partir de $p_{X,Y}$ via (11.14). Isso é útil quando literalmente podemos observar $Y$ e queremos atualizar nossas expectativas com respeito à distribuição de $X$ . Há também o caso em que $p_{X|Y}$ , ao invés de calculado, é especificado ou deduzido por primeiros princípios, e serve para aplicar (11.15) entre outras ferramentas.

Exemplo 11.18.

Um jogador lança um dado, e $Y$ denota o número observado. Em seguida lança uma moeda honesta $Y$ vezes, e $X$ denota o número de coroas obtidas. Queremos calcular $\mathbb{E}[X|Y]$ e $\mathbb{E}X$ . Para cada $y=1,\dots,6$ e $x=0,\dots,y$ , temos $p_{X|Y}(x|y)=\binom{y}{x}2^{-y}$ . Calculamos então $\mathbb{E}[X|Y=y]=\sum_{x}x\cdot\binom{y}{x}2^{-y}=\frac{y}{2}$ . Portanto, $\mathbb{E}[X|Y]=\frac{Y}{2}$ e, tomando a esperança iterada, $\mathbb{E}X=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|Y]]=\mathbb{E}[\frac{Y}{2}]=\frac{7}{4}$ . ∎

A partir da função de probabilidade condicional de $X$ dado $Y$ , podemos também estudar a distribuição condicional de $X$ dado $Y$ , definida por

\mathbb{P}_{X|Y}(B|y)=\sum_{x\in B}p_{X|Y}(x|y)

(11.19)

para todo evento $B$ .

Exemplo 11.20.

Jogamos $n$ moedas honestas, as que exibem cara permanecem como estão e as que exibem coroa são novamente lançadas. Sejam $Y$ o número de coroas obtidas após a primeira rodada de lançamentos e $X$ o número de coroas restantes após a segunda rodada de lançamentos. Neste caso, $p_{X|Y}(x|y)=\binom{y}{x}2^{-y}$ . Sendo assim, a distribuição condicional $\mathbb{P}_{X|Y}(\cdot|y)$ corresponde à distribuição $\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(y,\frac{1}{2})$ . ∎

O comportamento conjunto de $X$ e $Y$ , ou de $X$ isoladamente, pode ser estudado a partir dessa distribuição condicional, calculando-se a média sobre $y$ . Mais precisamente,

\mathbb{P}(X\in B,Y\in C)=\sum_{y\in C}\mathbb{P}_{X|Y}(B|y)p_{Y}(y)

(11.21)

para quaisquer subconjuntos $B,C\subseteq\mathbb{R}$ .

Exemplo 11.22.

Sejam $X$ e $Y$ as variáveis aleatórias definidas no Exemplo 11.20. Observando que quase certamente as variáveis $X$ e $Y$ assumem valores no conjunto $\{0,\dots,n\}$ , podemos calcular a distribuição de $X$ utilizando (11.21), com $B=\{k\}$ e $C=\{0,\dots,n\}$ , isto é,

	$\displaystyle\mathbb{P}(X=k)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(X=k,Y\in\{0,\dots,n\})=\sum_{y=0}^{n}\mathbb{P}_{X\|Y}% (\{k\}\|y)p_{Y}(y)$
		$\displaystyle=\sum_{y=0}^{n}\tbinom{y}{k}2^{-y}\tbinom{n}{y}2^{-n}=2^{-n}\sum_% {y=0}^{n}\tbinom{n}{k}\tbinom{n-k}{n-y}2^{-y}$
		$\displaystyle=2^{-n}\tbinom{n}{k}\sum_{j=0}^{n}\tbinom{n-k}{j}2^{j-n}=4^{-n}% \tbinom{n}{k}\sum_{j=0}^{n-k}\tbinom{n-k}{j}2^{j}1^{n-k-j}$
		$\displaystyle=4^{-n}\tbinom{n}{k}(2+1)^{n-k}=\tbinom{n}{k}(\tfrac{1}{4})^{k}(% \tfrac{3}{4})^{n-k},$

onde utilizamos o Teorema Binomial. Portanto, $X\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n,\frac{1}{4})$ . ∎

A proposição abaixo diz que, se uma variável $Y$ não nos dá informação alguma acerca de outra variável $X$ , então a melhor aproximação para o valor de $X$ sabendo-se o valor de $Y$ nada mais é do que a própria esperança de $X$ , não importando o valor de $Y$ .

Proposição 11.23 (Variáveis independentes).

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias simples. Se $X$ e $Y$ são independentes, então $\mathbb{E}[X|Y]=\mathbb{E}X$ .

Demonstração.

Imediato pois

\mathbb{E}[X|Y=y]=\sum_{x}x\cdot p_{X|Y}(x|y)=\sum_{x}x\cdot p_{X}(x)=\mathbb{% E}X

para todo $y\in\mathbb{R}$ . ∎

Exemplo 11.24.

Sejam $X_{1},\dots,X_{m}$ variáveis com a mesma esperança, e $N$ uma variável aleatória assumindo valores em $\{1,\dots,m\}$ independente de $X_{1},\dots,X_{m}$ . Definimos

S_{N}=X_{1}+\dots+X_{N},

a soma dos $N$ primeiros termos da sequência. Ou seja, $S_{N}$ é a soma de uma quantidade aleatória de variáveis aleatórias. Mais formalmente, definimos $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$ , para todo $n$ , e então definimos $S_{N}=\sum_{k}S_{k}\,\mathds{1}_{\{N=k\}}$ . Vamos mostrar que

\mathbb{E}[S_{N}|N]=N\cdot\mathbb{E}X_{1},

e, portanto, pelo Teorema 11.5,

\mathbb{E}[S_{N}]=\mathbb{E}N\cdot\mathbb{E}X_{1},

isto é, o valor médio de uma soma aleatória é o valor médio do número de parcelas vezes o valor médio de cada parcela. Com efeito,

	$\displaystyle\mathbb{E}[S_{N}\|N]$	$\displaystyle=\sum_{k=1}^{m}\mathbb{E}[(X_{1}+\dots+X_{k})\mathds{1}_{\{N=k\}}% \|N]$
		$\displaystyle=\sum_{k=1}^{m}\mathds{1}_{\{N=k\}}\mathbb{E}[(X_{1}+\dots+X_{k})% \|N]$
		$\displaystyle=\sum_{k=1}^{m}\mathds{1}_{\{N=k\}}\sum_{j=1}^{k}\mathbb{E}[X_{j}% \|N]$
		$\displaystyle=\sum_{k=1}^{m}\mathds{1}_{\{N=k\}}\sum_{j=1}^{k}\mathbb{E}[X_{j}]$
		$\displaystyle=\mathbb{E}X_{1}\cdot\sum_{k=1}^{m}k\mathds{1}_{\{N=k\}}$
		$\displaystyle=N\cdot\mathbb{E}X_{1}.$

Na segunda igualdade usamos o Teorema 11.8. Na quarta, usamos que $X_{j}$ é independente de $N$ , donde podemos aplicar a Proposição 11.23. Na quinta, usamos o fato de as variáveis $(X_{j})_{j}$ terem a mesma esperança. ∎

	$\displaystyle\mathbb{E}[S_{N}\|N]$	$\displaystyle=\sum_{k=1}^{m}\mathbb{E}[(X_{1}+\dots+X_{k})\mathds{1}_{\{N=k\}}% \|N]$
		$\displaystyle=\sum_{k=1}^{m}\mathds{1}_{\{N=k\}}\mathbb{E}[(X_{1}+\dots+X_{k})% \|N]$
		$\displaystyle=\sum_{k=1}^{m}\mathds{1}_{\{N=k\}}\sum_{j=1}^{k}\mathbb{E}[X_{j}% \|N]$
		$\displaystyle=\sum_{k=1}^{m}\mathds{1}_{\{N=k\}}\sum_{j=1}^{k}\mathbb{E}[X_{j}]$
		$\displaystyle=\mathbb{E}X_{1}\cdot\sum_{k=1}^{m}k\mathds{1}_{\{N=k\}}$
		$\displaystyle=N\cdot\mathbb{E}X_{1}.$