D.5 Teorema de Radon-Nikodým

Podemos supor que $\lambda(D)<0$, pois caso contrário podemos tomar $A=\emptyset$. Vamos definir uma sequência decrescente $(A_{n})_{n}$ e verificar que $A=\cap_{n}A_{n}$ é o conjunto procurado. Definimos inicialmente $A_{0}=D$. Se $A_{n}$ já foi definido, tome $t_{n}=\sup\{\lambda(B):B\in\mathcal{F},B\subseteq A_{n}\}$ e note que $t_{n}\geqslant\lambda(\emptyset)=0$. Seja $\varepsilon_{n}=\min\{\frac{t_{n}}{2},1\}$ (precisamos do mínimo para assegurar-nos de que $\varepsilon_{n}<t_{n}$ no caso $t_{n}=+\infty$) e tome $B_{n}\in\mathcal{F}$ tal que $B_{n}\subseteq A_{n}$ e $\lambda(B_{n})\geqslant\varepsilon_{n}$. Defina $A_{n+1}=A_{n}\setminus B_{n}$ e $A=\cap_{n}A_{n}\subseteq D$.

Observando que $\cup_{n}B_{n}\subseteq D$ e que esta última união é disjunta,

Como preliminar, observamos que $\lambda$ não pode assumir ambos os valores $-\infty$ e $+\infty$. Com efeito, se $\lambda(A)=-\infty$ para algum $A\in\mathcal{F}$, segue que $\lambda(\Omega)=\lambda(A)+\lambda(A^{c})=-\infty$ e, analogamente, se $\lambda(B)=+\infty$ para algum $B\in\mathcal{F}$, então $\lambda(\Omega)=+\infty$. Portanto, podemos supor, sem perda de generalidade, que $\lambda(A)\neq-\infty$ para todo $A\in\mathcal{F}$ (caso contrário bastaria considerar $-\lambda$ ao invés de $\lambda$ e tomar $N^{c}$ no lugar de $N$).

Seja $\alpha=\inf\{\lambda(A):A\in\mathcal{F}\text{ \'{e} um conjunto negativo para }\lambda\}$ e note que $\alpha\leqslant\lambda(\emptyset)=0$. Tome uma sequência $(A_{n})_{n}$ de conjuntos negativos tal que $\lambda(A_{n})\to\alpha$, e defina $N=\cup_{n}A_{n}$. Como a união enumerável de conjuntos negativos é negativa (exercício!), segue que $N$ é um conjunto negativo.

Afirmamos que $\alpha=\lambda(N)$ e, em particular, $\alpha\neq-\infty$. Com efeito,

onde as desigualdades seguem da definição de $\alpha$ e da negatividade de $N$.

Vamos supor inicialmente que $\nu$ e $\mu$ sejam medidas finitas, e posteriormente extrapolar para o caso geral.

Para cada $a>0$, pelo Teorema de Decomposição de Hahn existe $N_{a}\in\mathcal{F}$ satisfazendo (D.16). Definimos $D_{0,1}=N_{1}$, $D_{1,2}=N_{2}\cap N_{1}^{c}$, $D_{2,3}=N_{3}\cap N_{1}^{c}\cap N_{2}^{c}$, e assim por diante. Observe que esses conjuntos são disjuntos e $\cup_{k}D_{k-1,k}=\cup_{k}N_{k}$. Defina $S=\Omega\setminus\cup_{k}N_{k}$.

Observamos que $S,D_{0,1},D_{1,2},D_{2,3},\dots$ formam uma partição de $\Omega$. Além disso, como $S\subseteq N_{k}^{c}$ temos por (D.16) que $\nu(S)\geqslant k\mu(S)$ e, como isso vale para todo $k$ e $\nu(S)<\infty$, temos $\mu(S)=0$. Como $\nu\ll\mu$, segue que $\nu(S)=0$. Como observação à parte, sem a hipótese de $\nu\ll\mu$, poderíamos decompor $\nu=\nu_{|_{S}}+\nu_{|_{S^{c}}}$ e encontrar a derivada de $\nu_{|_{S^{c}}}$ com respeito a $\mu$.

Nossa primeira aproximação para $f$ será dada por

De (D.16), obtemos, para todo $A\in\mathcal{F}$ e todo $j\in\mathbb{N}$,

e

Somando sobre $j$, temos

Vamos agora subdividir cada intervalo ao meio. Para cada $j\in\mathbb{N}_{0}$, definimos $D_{j,j+1/2}=D_{j,j+1}\cap N_{j+1/2}$ e $D_{j+1/2,j+1}=D_{j,j+1}\cap N_{j+1/2}^{c}$. Novamente, a família $(D_{j/2,(j+1)/2})_{j\in\mathbb{N}_{0}}$ forma uma partição de $\Omega\setminus S$. Definimos

Com essa definição, temos $f_{1}\geqslant f_{0}\geqslant 0$ e, de forma análoga à relação anterior,

Partindo novamente os intervalos ao meio, construímos $f_{2}\geqslant f_{1}$ tal que

e assim por diante obtemos $f_{k}\geqslant f_{k-1}$ tal que

Tomando $f=\lim_{k}f_{k}$, pelo Teorema da Convergência Monótona temos (D.15) pois $\mu(A)<\infty$, o que prova o teorema no caso de $\mu$ e $\nu$ finitas.