D.1 Teorema $\pi\text{-}\lambda$ de Dynkin

Nesta seção estudaremos o Teorema $\pi\text{-}\lambda$ de Dynkin e o usaremos para provar o Teorema 3.37 (unicidade de medidas) e o Lema 13.7.

Antes de introduzir os conceitos usados na sua prova, vejamos de onde eles surgem. Suponha que queiramos verificar se duas medidas finitas $\mu$ e $\nu$ em um espaço mensurável $(\Omega,\mathcal{F})$ coincidem em uma grande classe de conjuntos, como $\mathcal{F}$ . Suponha também que $\mu(\Omega)=\nu(\Omega)$ . Em quantos conjuntos $A$ precisamos testar que $\mu(A)=\nu(A)$ ? Testar todos $A\in\mathcal{F}$ seria demais. Havendo testado para uma sequência de conjuntos disjuntos $(A_{n})_{n}$ , a propriedade valerá para $(A_{n}^{c})_{n}$ e também para $\cup_{n}A_{n}$ , por propriedades básicas das medidas finitas. Entretanto, havendo testado para um par de conjuntos $A,B\in\mathcal{F}$ , não há garantia de que as duas medidas coincidam em $A\cap B$ . Queremos mostrar que a classe

\mathcal{D}=\{A\in\mathcal{F}:\mu(A)=\nu(A)\}

(D.1)

contém muitos conjuntos. Essa classe já tem uma estrutura proveniente da forma como medidas finitas tratam complementos e uniões disjuntas, que formalizamos com a seguinte definição.

Definição D.2 ( $\lambda$ -sistema).

Seja $\Omega$ um espaço amostral. Uma classe $\mathcal{D}$ de subconjuntos de $\Omega$ é um $\lambda$ -sistema de $\Omega$ , se $\mathcal{D}$ contém $\Omega$ e é fechada por complementos e uniões enumeráveis disjuntas,²⁶²⁶ 26 Salientamos que alguns livros usam uma definição diferente de $\lambda$ -sistema. É relativamente fácil verificar que as duas as definições são equivalentes. isto é,

(1)

$\Omega\in\mathcal{D}$ ,
(2)

Se $A\in\mathcal{D}$ , então $A^{c}\in\mathcal{D}$ ,
(3)

Se $\{A_{k}\}_{k=1}^{\infty}\subseteq\mathcal{D},\ A_{k}\cap A_{j}=\emptyset$ para todos $k\neq j$ , então $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{D}$ .

Formalizamos a discussão anterior em forma de proposição.

Proposição D.3.

Se $\mu$ e $\nu$ são medidas em um espaço mensurável $(\Omega,\mathcal{F})$ tais que $\mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty$ , então a classe $\mathcal{D}$ definida em (D.1) é um $\lambda$ -sistema.

Demonstração.

Seja $A\in\mathcal{D}$ . Temos $\mu(A^{c})=\mu(\Omega)-\mu(A)=\nu(\Omega)-\nu(A)=\nu(A^{c})$ , logo $A^{c}\in\mathcal{D}$ . Agora considere uma coleção enumerável $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\mathcal{D}$ de conjuntos disjuntos. Então $\mu(\cup_{n}A_{n})=\sum_{n}\mu(A_{n})=\sum_{n}\nu(A_{n})=\nu(\cup_{n}A_{n})$ , logo $\cup_{n}A_{n}\in\mathcal{D}$ . ∎

Agora observamos que, à estrutura da classe definida em (D.1) lhe falta um aspecto: ser fechada por interseções. Essa é a razão da definição de $\pi$ -sistemas dada na Seção 3.6.

Lema D.4.

Um $\lambda$ -sistema fechado por interseções é uma $\sigma$ -álgebra.

Demonstração.

Seja $\mathcal{F}$ um $\lambda$ -sistema fechado por interseções. Como $\mathcal{F}$ é não-vazio e fechado por complementos, basta mostrar que é fechado por uniões enumeráveis. Seja $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\mathcal{F}$ . Defina $B_{1}=A_{1}$ e $B_{n}=A_{1}^{c}\cap\dots\cap A_{n-1}^{c}\cap A_{n}$ para todo $n\geqslant 2$ . Observe que $B_{n}\in\mathcal{F}$ para todo $n$ , pois $\mathcal{F}$ é fechado por interseções e complemento, e que $\cup_{n}A_{n}=\cup_{n}B_{n}$ , sendo esta última uma união disjunta. Como $\mathcal{F}$ é fechado por uniões enumeráveis disjuntas, $\cup_{n}A_{n}=\cup_{n}B_{n}\in\mathcal{F}$ . Isso conclui a prova. ∎

Os conceitos de $\pi$ -sistemas e $\lambda$ -sistemas são úteis quando, por um lado, a classe $\mathcal{D}$ (grande e complicada) de conjuntos satisfazendo determinada propriedade formam naturalmente um $\lambda$ -sistema e, por outro lado, podemos encontrar uma subclasse $\mathcal{C}$ (menor e mais simples) que forma um $\pi$ -sistema e gera a $\sigma$ -álgebra desejada. Este é o caso do Teorema 3.37 (unicidade de medidas). Para aplicar esses conceitos, usamos uma poderosa ferramenta.

Teorema D.5 (Teorema $\pi\text{-}\lambda$ de Dynkin).

Seja $\Omega$ um espaço amostral. Suponha que $\mathcal{C}$ é um $\pi$ -sistema de subconjuntos de $\Omega$ e $\mathcal{D}$ é um $\lambda$ -sistema em $\Omega$ . Se $\mathcal{D}$ contém $\mathcal{C}$ , então $\mathcal{D}$ contém $\sigma(\mathcal{C})$ .

Demonstração.

Definimos $\mathcal{G}$ como o menor $\lambda$ -sistema²⁷²⁷ 27 Isso é definido da mesma forma que a menor $\sigma$ -álgebra que contém uma dada classe. que contém o $\pi$ -sistema $\mathcal{C}$ , e vamos mostrar que $\mathcal{G}$ também é um $\pi$ -sistema.

A ideia principal é considerar, para cada $B\in\mathcal{G}$ , a classe

\mathcal{F}_{B}=\{A\in\mathcal{G}:A\cap B\in\mathcal{G}\}.

Podemos ver que $\mathcal{F}_{B}$ é um $\lambda$ -sistema usando $A^{c}\cap B=((A\cap B)\cup B^{c})^{c}$ .

Agora, seja $B\in\mathcal{C}$ . Como $\mathcal{C}$ é um $\pi$ -sistema, $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}_{B}$ . Mas $\mathcal{G}$ é o menor $\lambda$ -sistema que contém $\mathcal{C}$ , logo $\mathcal{F}_{B}=\mathcal{G}$ .

Finalmente, seja $D\in\mathcal{G}$ . Dado $B\in\mathcal{C}$ , temos $D\in\mathcal{F}_{B}$ , o que é equivalente a $B\in\mathcal{F}_{D}$ . Portanto, $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}_{D}$ . Mas $\mathcal{G}$ é o menor $\lambda$ -sistema que contém $\mathcal{C}$ , donde $\mathcal{F}_{D}=\mathcal{G}$ . Como isso vale para todo $D\in\mathcal{G}$ , concluímos que $\mathcal{G}$ é um $\pi$ -sistema. Pelo Lema D.4, $\mathcal{G}$ é uma $\sigma$ -álgebra, logo $\mathcal{C}\subseteq\sigma(\mathcal{C})\subseteq\mathcal{G}\subseteq\mathcal{D}$ , provando o teorema. ∎

Demonstração do Teorema 3.37 (unicidade de medidas).

Suponha momentaneamente que $\mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty$ . Defina a classe $\mathcal{D}$ como em (D.1). Pela Proposição D.3, $\mathcal{D}$ é um $\lambda$ -sistema. Pelo Teorema $\pi\text{-}\lambda$ , $\sigma(\mathcal{C})\subseteq\mathcal{D}$ , o que quer dizer precisamente que $\mu=\nu$ em $\sigma(\mathcal{C})$ , como queríamos demonstrar.

Agora abandonamos a suposição inicial, e supomos apenas que $\mu(A_{n})=\nu(A_{n})<\infty$ para alguma sequência $A_{n}\uparrow\Omega$ de conjuntos em $\mathcal{C}$ , tal como enunciado. Para cada $n\in\mathbb{N}$ , defina as medidas $\mu_{n}$ e $\nu_{n}$ por $\mu_{n}(A)=\mu(A\cap A_{n})$ e $\nu_{n}(A)=\nu(A\cap A_{n})$ . Com essa definição, $\mu_{n}(\Omega)=\mu(A_{n})=\nu(A_{n})=\nu_{n}(\Omega)<\infty$ . Repare que, para cada $C\in\mathcal{C}$ , temos $C\cap A_{n}\in\mathcal{C}$ porque $\mathcal{C}$ é um $\pi$ -sistema. Logo, $\mu_{n}(C)=\mu(C\cap A_{n})=\nu(C\cap A_{n})=\nu_{n}(C)$ para todo $C\in\mathcal{C}$ .

Portanto, para cada $n$ , as medidas $\mu_{n}$ e $\nu_{n}$ estão no caso anterior e, para todo $A\in\sigma(\mathcal{C})$ , temos $\mu_{n}(A)=\nu_{n}(A)$ . Usando continuidade por baixo de $\mu$ e $\nu$ , temos

\mu(A)=\lim_{n}\mu(A\cap A_{n})=\lim_{n}\mu_{n}(A)=\lim_{n}\nu_{n}(A)=\lim_{n}% \nu(A\cap A_{n})=\nu(A),

o que conclui a prova. ∎

Demonstraçãodo Lema 13.7.

Sem perda de generalidade, podemos supor que $\Omega\in\mathcal{C}_{\alpha}$ para todo $\alpha\in\Lambda$ . Consideramos inicialmente o caso em que $\Lambda=\{1,\dots,n\}$ para algum $n\in\mathbb{N}$ . Fixe $B_{2}\in\mathcal{C}_{2},\dots,\mathcal{C}_{n}\in\mathcal{C}_{n}$ . Defina

\mathcal{D}=\{A\in\mathcal{F}_{1}:\mathbb{P}(A\cap B_{2}\cap\dots\cap B_{n})=% \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B_{2})\cdots\mathbb{P}(B_{n})\}.

Observe que $\mathcal{D}$ é um $\lambda$ -sistema (exercício!). Como, por hipótese, $\mathcal{C}_{1}\subseteq\mathcal{D}$ , pelo Teorema $\pi$ - $\lambda$ , concluímos que $\mathcal{D}=\mathcal{F}_{1}$ . Ou seja, $\mathbb{P}(A\cap B_{2}\cap\dots\cap B_{n})=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B_{2})% \cdots\mathbb{P}(B_{n})$ para todo $A\in\mathcal{F}_{1}$ . Como $B_{2}\in\mathcal{C}_{2},\dots,\mathcal{C}_{n}\in\mathcal{C}_{n}$ são arbitrários, segue que $\mathcal{F}_{1},\mathcal{C}_{2},\dots,\mathcal{C}_{n}$ são classes independentes. Por um argumento idêntico, $\mathcal{F}_{1},\mathcal{F}_{2},\mathcal{C}_{3},\dots,\mathcal{C}_{n}$ são classes independentes. Aplicando o mesmo argumento $n$ vezes, concluímos que $\mathcal{F}_{1}\dots,\mathcal{F}_{n}$ são classes independentes.

Consideramos agora o caso geral. Sejam $k\in\mathbb{N}$ , $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in\Lambda$ distintos, e $A_{1}\in\mathcal{F}_{\alpha_{1}},\dots,A_{k}\in\mathcal{F}_{\alpha_{k}}$ . Como $\mathcal{C}_{\alpha_{1}},\dots,\mathcal{C}_{\alpha_{k}}$ são independentes por hipótese, pelo caso anterior $\mathcal{F}_{\alpha_{1}},\dots,\mathcal{F}_{\alpha_{k}}$ são independentes, logo $\mathbb{P}(A_{1},\dots,A_{k})=\mathbb{P}(A_{1})\cdots\mathbb{P}(A_{k})$ , provando o lema. ∎

D.1 Teorema π⁢-⁢λ\pi\text{-}\lambda de Dynkin

Definição D.2 (λ\lambda-sistema).

Proposição D.3.

Demonstração.

Lema D.4.

Demonstração.

Teorema D.5 (Teorema π⁢-⁢λ\pi\text{-}\lambda de Dynkin).

Demonstração.

Demonstração do Teorema 3.37 (unicidade de medidas).

Demonstraçãodo Lema 13.7.

D.1 Teorema $\pi\text{-}\lambda$ de Dynkin

Definição D.2 ( $\lambda$ -sistema).

Teorema D.5 (Teorema $\pi\text{-}\lambda$ de Dynkin).