D.6 Distribuição condicional regular

Nesta seção vamos provar os Teoremas 11.58 e 11.59.

Para isso, vamos construir uma função $F_{X|Y}$ mensurável em ambas as variáveis e tal que

F_{X,Y}(x,y)=\int_{-\infty}^{y}F_{X|Y}(x|y)\,\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y)

para todos $x,y\in\mathbb{R}$ . Começamos estudando uma função $G:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ que terá determinadas propriedades em “quase todos” os pontos $x$ e $y$ , depois usar $G$ para construir $F_{X|Y}$ , e finalmente usar $F_{X|Y}$ para construir $\mathbb{P}_{X|Y}$ .

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias definidas em um mesmo espaço de probabilidade.

Lema D.19.

Para todo $x\in\mathbb{R}$ , existe uma função mensurável $G(x\,|\,\cdot\,):\mathbb{R}\to[0,1]$ , tal que

\mathbb{P}(X\leqslant x,Y\in C)=\int_{C}G(x|y)\,\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y)

para todo $C\in\mathcal{B}$ .

Demonstração.

Seja $x\in\mathbb{R}$ fixo. Defina

\nu(C)=\mathbb{P}(X\leqslant x,Y\in C),\qquad\mu(C)=\mathbb{P}(Y\in C)

para todo $C\in\mathcal{B}$ . Como $\nu\ll\mu$ , pelo Teorema de Radon-Nikodým, existe uma função mensurável $G(x|\,\cdot\,):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , tal que

\mathbb{P}(X\leqslant x,Y\in C)=\int_{C}G(x,y)\,\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y)% \quad\text{para todo $C\in\mathcal{B}$}.

Como essa integral nunca é negativa, $G(x,y)\geqslant 0$ para $\mathbb{P}_{Y}$ -quase todo $y\in\mathbb{R}$ . Como $\mathbb{P}(X>x,Y\in C)=\int_{C}[1-G(x,y)]\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y)$ nunca é negativo, segue que $G(x,y)\leqslant 1$ para $\mathbb{P}_{Y}$ -quase todo $y\in\mathbb{R}$ . Modificando $G(x,y)$ em um conjunto de medida $\mathbb{P}_{Y}$ nula, podemos supor que $G(x,y)\in[0,1]$ para todo $y\in\mathbb{R}$ . ∎

Para construir $F_{X|Y}$ a partir de $G$ , usaremos o fato de que $\mathbb{Q}$ é enumerável e denso em $\mathbb{R}$ , e que uniões enumeráveis de conjuntos de medida nula têm medida nula.

Lema D.20.

Existe uma função $F_{X|Y}(\cdot|\cdot):\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ com as seguintes propriedades:

(1)

$F_{X|Y}(\,\cdot\,|y)$ é uma função de distribuição para todo $y\in\mathbb{R}$ fixo,
(2)

$F_{X|Y}(q|\,\cdot\,)$ é uma função mensurável para todo $q\in\mathbb{Q}$ fixo,
(3)

$F_{X,Y}(q,y)=\int_{-\infty}^{y}F_{X|Y}(q|s)\,\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}s)$ para todos $q\in\mathbb{Q}$ e $y\in\mathbb{R}$ .

Demonstração.

Para cada $q\in\mathbb{Q}$ , seja $G(q|\cdot)$ a função dada pelo Lema D.19. Agora, para cada par de racionais $r<q$ , seja

A_{1,r,q}=\{y\in\mathbb{R}:G(r\,|\,y)\leqslant G(q\,|\,y)\}\in\mathcal{B}.

Definindo $A_{1}=\cap_{r,q}A_{1,r,q}$ , temos que $\mathbb{P}_{Y}(A_{1})=1$ , pois $\mathbb{P}_{Y}(A_{1,r,q})=1$ para todos r < q. Com efeito, $\int_{C}[G(q|y)-G(r|y)]\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y)=\mathbb{P}(r<X\leqslant q,Y% \in C)\geqslant 0$ para todo $C\in\mathcal{B}$ , donde concluímos que o integrando é não-negativo para $\mathbb{P}_{Y}$ -quase todo $y\in\mathbb{R}$ .

Em seguida, para cada $q\in\mathbb{Q}$ , definimos

A_{2,q}=\{y\in A_{1}:G(q+\tfrac{1}{n}\,|\,y)\to G(q\,|\,y)\}\in\mathcal{B}.

Observe que

\int_{\mathbb{R}}G(q+\tfrac{1}{n}|y)\,\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y)=\mathbb{P}(X% \leqslant q+\tfrac{1}{n})\to\mathbb{P}(X\leqslant q)=\int_{\mathbb{R}}G(q|y)\,% \mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y),

logo, pelo Teorema da Convergência Dominada,

\int_{\mathbb{R}}[{\lim}_{n}G(q+\tfrac{1}{n}|y)]\,\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y)=% \int_{\mathbb{R}}G(q|y)\,\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y),

e, como o integrando do lado direito é cotado superiormente pelo integrando do lado esquerdo, eles têm que ser iguais para $\mathbb{P}_{Y}$ -quase todo $y$ , ou seja, $\mathbb{P}(A_{2,q})=1$ . Novamente, tomamos $A_{2}=\cap_{q\in\mathbb{Q}}A_{2,q}$ e definimos agora

A=\{y\in A_{2}:\lim_{k\to+\infty}G(k\,|\,y)=1,\lim_{k\to-\infty}G(k\,|\,y)=0\}% \in\mathcal{B}

e, pelo mesmo argumento utilizado para $A_{2,q}$ , pode-se mostrar que $\mathbb{P}_{Y}(A)=1$ .

Finalmente definimos, para $y\in A$ e $x\in\mathbb{R}$

F_{X|Y}(x|y)=\inf\{G(q|y):q\in\mathbb{Q},q>x\}.

Para $y\in A^{c}$ , definimos $F_{X|Y}(x|y)=F_{X}(x)$ .

Observe que, pela definição de $G$ e $F_{X|Y}$ , a função $F_{X|Y}(\,\cdot\,|y)$ é uma função de distribuição para todo $y\in\mathbb{R}$ , como afirmado. Agora seja $x\in\mathbb{Q}$ fixo. Observe que $F_{X|Y}(x|y)=G(x|y)\mathds{1}_{A}(y)+F_{X}(x)\mathds{1}_{A^{c}}(y)$ e, pelo Lema D.19, isso define uma função mensurável de $y$ . Ademais, como $\mathbb{P}_{Y}(A)=1$ , o item (3) também segue diretamente do Lema D.19. ∎

Na demonstração acima, a função $F_{X|Y}$ foi obtida através do Lema D.19, que não diz como calculá-la. Ressaltamos que a função definida por (11.57) também satisfaz a essas três propriedades, porém a demonstração desse fato exige ferramentas de Teoria da Medida que vão muito além do escopo deste livro (ver Teorema 6.66 em [GM09]).

Demonstração do Teorema 11.58.

Seja $F_{X|Y}$ como dada pelo Lema D.20.

Preliminarmente, afirmamos que, para todo $q\in\mathbb{Q}$ , vale

\mathbb{P}(X\leqslant q,Y\in C)=\int_{C}F_{X|Y}(q|s)\,\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d% }s)\quad\text{ para todo }C\in\mathcal{B}.

(D.21)

Com efeito, ambos os lados determinam medidas de probabilidade em $C$ e, pelo item (3) do Lema D.20, essas medidas coincidem na classe $\{(-\infty,y]\}_{y\in\mathbb{R}}$ , que forma um $\pi$ -sistema e contém $\{(-\infty,n]\}_{n}$ , cuja união é $\mathbb{R}$ , logo, pelo Teorema 3.37 (unicidade de medidas), elas coincidem para todo $C\in\mathcal{B}$ .

Para cada $y\in\mathbb{R}$ , definimos $\mathbb{P}_{X|Y}(\cdot\,|\,y)$ como a medida de probabilidade em $\mathbb{R}$ correspondente à função de distribuição $F_{X|Y}(\cdot\,|\,y)$ . Seja $\mathcal{D}$ a classe de conjuntos $B\in\mathcal{B}$ tais que $\mathbb{P}_{X|Y}(B\,|\,y)$ é uma função mensurável de $y$ e tais que

\mathbb{P}(X\in B,Y\in C)=\int_{C}\mathbb{P}_{X|Y}(B\,|\,y)\,\mathbb{P}_{Y}(% \mathrm{d}y)\quad\text{para todo $C\in\mathcal{B}$}.

(D.22)

Observe que $\mathcal{D}$ é um $\lambda$ -sistema (exercício!). Seja $\mathcal{C}$ a classe dos conjuntos da forma $B=(-\infty,q]$ com $q\in\mathbb{Q}$ . Para $B\in\mathcal{C}$ , $\mathbb{P}_{X|Y}(B\,|\,y)$ é uma função mensurável de $y$ pelo item (2) do Lema D.20; ademais, (D.22) se reduz a (D.21). Ou seja, $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{D}$ . Como $\mathcal{C}$ é um $\pi$ -sistema e $\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}$ , segue do Teorema $\pi\text{-}\lambda$ que $\mathcal{D}=\mathcal{B}$ , o que prova o Teorema 11.58. ∎

Demonstração do Teorema 11.59.

A ideia da prova é estudar a classe das funções $g$ para as quais vale o enunciado do teorema. Consideramos inicialmente $g(x,y)=\mathds{1}_{A}(x,y)$ para $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})$ . Seja $\mathcal{D}$ a classe dos conjuntos $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})$ para os quais a integral interna em (11.60), com $\mathds{1}_{A}$ no lugar de $g$ , fornece uma função mensurável de $y$ e vale a igualdade (11.60). Observe que $\mathcal{D}$ é um $\lambda$ -sistema (exercício!). Seja $\mathcal{C}=\{B\times C:B,C\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ . Pela Definição 11.56, temos que, para todos $B,C\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

\int_{\mathbb{R}}\mathds{1}_{B\times C}(x,y)\,\mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|y)=% \mathds{1}_{C}(y)\mathbb{P}_{X|Y}(B|y),

que é uma função mensurável de $y$ e cuja integral com respeito a $\mathbb{P}_{Y}$ é igual a $\mathbb{E}[\mathds{1}_{B\times C}(X,Y)]$ . Ou seja, $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{D}$ . Como $\mathcal{C}$ é um $\pi$ -sistema e $\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})$ , segue do Teorema $\pi\text{-}\lambda$ que $\mathcal{D}=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})$ . Isso prova o teorema para funções mensuráveis $g$ que apenas assumem valores $0$ e $1$ . Por linearidade, vale o teorema para funções simples não-negativas. Finalmente, seja $g:\mathbb{R}^{2}\to[0,+\infty]$ uma função mensurável. Tome $0\leqslant g_{n}\uparrow g$ , onde as funções $g_{n}$ são simples. Pelo Teorema da Convergência Monótona, $\int_{\mathbb{R}}g(x,y)\,\mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|y)=\lim_{n}\int_{\mathbb% {R}}g_{n}(x,y)\,\mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|y)$ e, como limite de funções mensuráveis é mensurável, segue que a integral interna em (11.60) fornece uma função mensurável de $y$ . Como

\mathbb{E}[g_{n}(X,Y)]=\int_{\mathbb{R}}\Big{(}\int_{\mathbb{R}}g_{n}(x,y)\,% \mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|y)\Big{)}\mathbb{P}_{Y}(\mathrm{d}y)

para todo $n$ , pelo Teorema da Convergência Monótona, vale a igualdade em (11.60). Isso conclui prova do Teorema 11.59. ∎