D.7 Desigualdades de Hölder e de Minkowski

Nesta seção vamos enunciar e provar as Desigualdades de Hölder e Minkowski. Começamos pela Desigualdade de Young, que será usada na prova. Salientamos que nesta seção estamos no contexto de espaços de medida que não são necessariamente espaços de probabilidade.

Dado um espaço de medida (Ω,ℱ,μ)(\Omega,\mathcal{F},\mu), uma função mensurável f:Ω→[−∞,+∞]f:\Omega\to[-\infty,+\infty] e p⩾1p\geqslant 1, definimos

‖f‖p=(∫Ω|f|p⁢dμ)1/p\|f\|_{p}=\Big{(}\int_{\Omega}|f|^{p}\,\mathrm{d}\mu\Big{)}^{1/p}

caso a integral seja finita, e ‖f‖p=+∞\|f\|_{p}=+\infty caso contrário. Definimos ℒp\mathcal{L}^{p} como o conjunto das funções mensuráveis f:Ω→[−∞,+∞]f:\Omega\to[-\infty,+\infty] tais que ‖f‖p<∞\|f\|_{p}<\infty. No caso p=1p=1, vale a desigualdade triangular pois

‖f+g‖1=∫Ω|f+g|⁢dμ⩽∫Ω(|f|+|g|)⁢dμ=‖f‖1+‖g‖1.\|f+g\|_{1}=\int_{\Omega}|f+g|\,\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{\Omega}\big{(}|f|+% |g|\big{)}\,\mathrm{d}\mu=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.

Daqui em diante vamos supor que p>1p>1.

Seja p>1p>1 fixo. Tome q>1q>1 tal que

1p+1q=1.\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.

Dessa identidade, seguem: p−1=1q−1p-1=\frac{1}{q-1} e (p−1)⁢q=p(p-1)q=p.

Teorema D.23 (Desigualdade de Young).

Para a,b⩾0a,b\geqslant 0,

a⁢b⩽app+bqq.\displaystyle ab\leqslant\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}.
Demonstração.

Considere a curva s=rp−1s=r^{p-1}, ou seja, r=sq−1r=s^{q-1}, no quadrante {(r,s)∈[0,∞)2}\{(r,s)\in[0,\infty)^{2}\}. A Desigualdade de Young segue de

app+bqq=∫0arp−1⁢dr+∫0bsq−1⁢ds⩾a⁢b,\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}=\int_{0}^{a}r^{p-1}\mathrm{d}r+\int_{0}^{b}s^{% q-1}\mathrm{d}s\geqslant ab,

que vale porque as integrais acima correspondem a áreas de regiões cuja união contém o retângulo [0,a]×[0,b][0,a]\times[0,b]. ∎

Teorema D.24 (Desigualdade de Hölder).

Dados um espaço de medida (Ω,ℱ,μ)(\Omega,\mathcal{F},\mu) e funções mensuráveis ff e g:Ω→[−∞,+∞]g:\Omega\to[-\infty,+\infty], vale

∫Ω|f⁢g|⁢dμ⩽‖f‖p⋅‖g‖q.\int_{\Omega}|fg|\,\mathrm{d}\mu\leqslant\|f\|_{p}\cdot\|g\|_{q}.
Demonstração.

Podemos supor que ‖f‖p>0\|f\|_{p}>0 e ‖g‖q>0\|g\|_{q}>0, caso contrário f⋅g=0f\cdot g=0 q.t.p. e a desigualdade vale trivialmente. Também podemos supor que ‖f‖p<∞\|f\|_{p}<\infty e ‖g‖q<∞\|g\|_{q}<\infty, caso contrário ‖f‖p⋅‖g‖q=+∞\|f\|_{p}\cdot\|g\|_{q}=+\infty, e a desigualdade vale trivialmente. Dividindo ff por ‖f‖p\|f\|_{p} e gg por ‖g‖q\|g\|_{q}, podemos supor que ‖f‖p=1\|f\|_{p}=1 e ‖g‖q=1\|g\|_{q}=1. Aplicando a desigualdade de Young,

∫Ω|f⁢g|⁢dμ⩽∫Ω(|f|pp+|g|qq)⁢dμ=1p+1q=1=‖f‖p⁢‖g‖q,\int_{\Omega}|fg|\,\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{\Omega}\Big{(}\frac{|f|^{p}}{p}% +\frac{|g|^{q}}{q}\Big{)}\,\mathrm{d}\mu=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1=\|f\|_{p}\|% g\|_{q},

o que prova a Desigualdade de Hölder. ∎

Teorema D.25 (Desigualdade de Minkowski).

Dados um espaço de medida (Ω,ℱ,μ)(\Omega,\mathcal{F},\mu) e funções f,g∈ℒpf,g\in\mathcal{L}^{p}, f+gf+g está definida q.t.p. e

‖f+g‖p⩽‖f‖p+‖g‖p.\|f+g\|_{p}\leqslant\|f\|_{p}+\|g\|_{p}.
Demonstração.

Observe que ff e gg são finitas q.t.p., donde f+gf+g está definida q.t.p. Ademais, |f+g|p⩽|2⁢f|p+|2⁢g|p|f+g|^{p}\leqslant|2f|^{p}+|2g|^{p}, logo ‖f+g‖p<∞\|f+g\|_{p}<\infty. Podemos supor também que ‖f+g‖p>0\|f+g\|_{p}>0, caso contrário a desigualdade vale trivialmente. Desenvolvendo as integrais e usando a Desigualdade de Hölder,

∫Ω|f+g|p⁢dμ\displaystyle\int_{\Omega}|f+g|^{p}\,\mathrm{d}\mu =∫Ω|f+g|⋅|f+g|p−1⁢dμ\displaystyle=\int_{\Omega}|f+g|\cdot|f+g|^{p-1}\,\mathrm{d}\mu
⩽∫Ω|f|⋅|f+g|p−1⁢dμ+∫Ω|g|⋅|f+g|p−1⁢dμ\displaystyle\leqslant\int_{\Omega}|f|\cdot|f+g|^{p-1}\,\mathrm{d}\mu+\int_{% \Omega}|g|\cdot|f+g|^{p-1}\,\mathrm{d}\mu
⩽(‖f‖p+‖g‖p)⁢(∫Ω(|f+g|p−1)q⁢dμ)1q\displaystyle\leqslant\big{(}\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\big{)}\Big{(}\int_{\Omega}(|f% +g|^{p-1})^{q}\,\mathrm{d}\mu\Big{)}^{\frac{1}{q}}
=(‖f‖p+‖g‖p)⁢(∫Ω|f+g|p⁢dμ)1−1p\displaystyle=\big{(}\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\big{)}\Big{(}\int_{\Omega}|f+g|^{p}\,% \mathrm{d}\mu\Big{)}^{1-\frac{1}{p}}
=‖f‖p+‖g‖p‖f+g‖p⁢∫Ω|f+g|p⁢dμ\displaystyle=\frac{\|f\|_{p}+\|g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}}\,\int_{\Omega}|f+g|^{p}% \,\mathrm{d}\mu

e, simplificando, obtemos a Desigualdade de Minkowski. ∎