10.4 Fórmula de inversão

A prova do Teorema de Unicidade que demos na seção anterior é muito instrutiva. Ela está baseada no fato de que, se duas distribuições são indistinguíveis quando testadas em funções trigonométricas, então elas são as mesmas.

Entretanto, aquela prova não é auto-contida pois usa a versão trigonométrica do Teorema de Weierstrass. Daremos nesta seção uma prova auto-contida, que terá seus pontos altos como transformada de Fourier inversa e cálculo da integral de Dirichlet sem utilizar Análise Complexa.

Enunciamos e provamos agora a fórmula de inversão, que tem o Teorema de Unicidade como corolário. Se bem que nem o enunciado nem as técnicas de prova serão usadas no restante desse livro, sua leitura envolve um uso mais engenhoso da integral de Lebesgue, o que pode causar certa satisfação.

Teorema 10.45 (Fórmula de inversão).

Sejam $X$ uma variável aleatória e $a<b$ dois pontos de continuidade de $F_{X}$ . Então

F_{X}(b)-F_{X}(a)=\lim_{c\to+\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{a}^{b}\int_{-c}^{+c}e^% {-ixt}\varphi_{X}(t)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x.

Informalmente, se $X$ tem densidade suave e com cauda leve,

\displaystyle\varphi_{X}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f_{X}(x)\,\mathrm{d}x

cuja transformada de Fourier inversa¹⁷¹⁷ 17 A transformada de Fourier inversa não será usada neste livro, é mencionada apenas para explicar de onde veio a fórmula de inversão. Em Análise, o sinal de menos no expoente aparece na transformada e não na sua inversa, e usa-se $\sqrt{2\pi}$ em ambas ao invés de $2\pi$ na inversa. é dada por

f_{X}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixt}\varphi_{X}(t)\,\mathrm% {d}t.

Integrando em $[a,b]$ obtemos

F_{X}(b)-F_{X}(a)=\int_{a}^{b}f_{X}(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2\pi}\int_{a}^{b}% \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixt}\varphi_{X}(t)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x,

explicando a fórmula de inversão. Havendo motivado a fórmula, passemos à demonstração, sem supor suavidade de nenhum tipo.

Demonstração.

Sejam $-\infty<a<b<\infty$ . Para cada $c>0$ , definimos

A_{c}=\frac{1}{2\pi}\int_{a}^{b}\int_{-c}^{+c}e^{-ixt}\varphi_{X}(t)\,\mathrm{% d}t\,\mathrm{d}x.

Usando o Teorema de Fubini para inverter as integrais,

A_{c}=\frac{1}{2\pi}\mathbb{E}\Big{[}\int_{-c}^{+c}\int_{a}^{b}e^{-ixt}e^{itX}% \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t\Big{]},

que se justifica porque $\int_{a}^{b}\int_{-c}^{c}|e^{-itx}e^{itX}|\mathrm{d}t\mathrm{d}x=2c(b-a)<\infty$ .

A partir da expressão acima, definimos

\displaystyle g_{c}(z)=\int_{-c}^{+c}\int_{a}^{b}e^{-ixt}e^{itz}\,\mathrm{d}x% \,\mathrm{d}t.

Integrando, expandindo, usando que o cosseno é par e substituindo, obtemos

\displaystyle g_{c}(z)=\int_{-c(z-a)}^{+c(z-a)}\frac{\mathop{\mathrm{sen}}% \nolimits v}{v}\,\mathrm{d}v-\int_{-c(z-b)}^{+c(z-b)}\frac{\mathop{\mathrm{sen% }}\nolimits v}{v}\,\mathrm{d}v.

Observe que a função $h(r,s)=\int_{r}^{s}\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits v}{v}\,\mathrm{d}v$ é limitada e tende a algum número positivo $\lambda>0$ quando $s\to+\infty$ e $r\to-\infty$ . Mais abaixo vamos descobrir o valor desse limite $\lambda$ .

De volta às funções $g_{c}$ , separando em casos, obtemos

\lim_{c\to+\infty}g_{c}(z)=2\lambda\Big{[}\mathds{1}_{(a,b)}(z)+\tfrac{1}{2}% \mathds{1}_{\{a,b\}}(z)\Big{]}.

Como $g_{c}$ é limitada, pelo Teorema da Convergência Dominada,

\lim_{c\to+\infty}A_{c}=\lim_{c\to+\infty}\tfrac{1}{2\pi}\mathbb{E}[g_{c}(X)]=% \tfrac{\lambda}{\pi}\mathbb{P}(a<X<b)+\tfrac{1}{2}\tfrac{\lambda}{\pi}\mathbb{% P}(X\in\{a,b\}).

Repare que o enunciado do teorema é para pontos $a$ e $b$ onde $F_{X}$ é contínua. Usando o fato de que $\int_{-c}^{+c}\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits v}{v}\mathrm{d}v\to\pi$ , isso completa a prova do teorema.

Provaremos agora que $\lambda=\pi$ , isto é, $\int_{-c}^{+c}\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits v}{v}\mathrm{d}v\to\pi$ . Esta integral, condicionalmente convergente, é conhecida como integral de Dirichlet.

Consideramos o caso $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ , que, convenientemente, tem como função característica um múltiplo da sua densidade. Pela fórmula de inversão,

	$\displaystyle\tfrac{\lambda}{\pi}\big{[}F_{X}(b)-F_{X}(a)\big{]}$	$\displaystyle=\lim_{c\to+\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{a}^{b}\int_{-c}^{+c}e^{-% ixt}\varphi_{X}(t)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x.$
		$\displaystyle=\lim_{c\to+\infty}\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Big{(}\int_{% -c}^{+c}e^{-itx}\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{d}t\Big{)}\,\mathrm{% d}x$
		$\displaystyle=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Big{(}\int_{-\infty}^{+\infty}% e^{-itx}\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{d}t\Big{)}\,\mathrm{d}x$
		$\displaystyle=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,\mathrm{d}x$
		$\displaystyle=F_{X}(b)-F_{X}(a),$

donde concluímos que $\lambda=\pi$ . Nas igualdades acima usamos o Teorema da Convergência Dominada (a densidade é integrável e $|e^{-itx}|=1$ ), e o valor da integral correspondente à função característica da normal.

Essa prova de que $\int_{-c}^{+c}\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits v}{v}\mathrm{d}v\to\pi$ ilustra a técnica de aceitar um resultado parcial com constante indeterminada e descobrir a constante após aplicar o argumento a um caso concreto. Outra prova de $\int_{-c}^{+c}\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits v}{v}\mathrm{d}v\to\pi$ , que tampouco usa Análise Complexa, consiste em escrever

	$\displaystyle\int_{0}^{+c}\tfrac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits v}{v}\mathrm{d}v$	$\displaystyle=\int_{0}^{+c}\int_{0}^{+\infty}e^{-xv}\mathop{\mathrm{sen}}% \nolimits v\,\mathrm{d}x\mathrm{d}v=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+c}e^{-xv}% \mathop{\mathrm{sen}}\nolimits v\,\mathrm{d}v\mathrm{d}x$
		$\displaystyle=\int_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-cx}(\cos c+x\mathop{\mathrm{sen}}% \nolimits c)}{1+x^{2}}\mathrm{d}x\to\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}\mathrm% {d}x=\frac{\pi}{2}$

quando $c\to+\infty$ . Comutar as integrais é justificado pelo Teorema de Fubini, pois $\int_{0}^{c}|\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits v}{v}|\mathrm{d}v\leqslant 1% +[\log c]^{+}<\infty$ , enquanto o limite é justificado pelo Teorema da Convergência Dominada pois o numerador é dominado por $1+1+e^{-1}$ para todo $x\geqslant 0$ e $c\geqslant 1$ .

Assim completamos a prova de que $\int_{-c}^{+c}\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits v}{v}\mathrm{d}v\to\pi$ e, com isso, provamos a fórmula de inversão. ∎