C.2 Supremo e limite superior

A cada subconjunto $A\subseteq[-\infty,+\infty]$ podemos associar um elemento $\sup(A)\in[-\infty,+\infty]$, chamado supremo de $A$, dado pela menor cota superior possível para $A$. De modo análogo definimos o ínfimo de $A$, denotado por $\inf(A)$, como a maior das cotas inferiores de $A$ (observe que $+\infty$ e $-\infty$ são sempre cotas superior e inferior, respectivamente, para qualquer $A\subseteq[-\infty,+\infty]$). Com essas definições, temos por exemplo que $\sup(\mathbb{N})=+\infty$, $\inf(\mathbb{N})=1$, $\sup(\emptyset)=-\infty$, $\inf(\emptyset)=+\infty$ e $\sup(\mathbb{R})=\sup([-\infty,+\infty])=+\infty$. Se $A\subseteq B\subseteq[-\infty,+\infty]$, então $\sup(A)\leqslant\sup(B)$ e $\inf(A)\geqslant\inf(B)$.

Dada uma sequência $(x_{n})_{n}$ de elementos de $[-\infty,+\infty]$, podemos sempre definir seu limite superior e seu limite inferior, denotados por $\limsup_{n}x_{n}$ e $\liminf_{n}x_{n}$, como

Sempre vale $\liminf_{n}x_{n}\leqslant\limsup_{n}x_{n}$ e, quando há igualdade, dizemos que a sequência tem um limite dado por

Quando os números da sequência são todos reais, essa definição de $\lim_{n}x_{n}$ coincide com a definição dada no Apêndice A.1.

Uma propriedade útil é que $\limsup_{n}(x_{n}+y_{n})\leqslant\limsup_{n}x_{n}+\limsup_{n}y_{n}$ desde que as somas não resultem em $\infty-\infty$. Ademais, se $x_{n}\leqslant y_{n}$ para todo $n$, vale $\limsup_{n}x_{n}\leqslant\limsup_{n}y_{n}$ e $\liminf_{n}x_{n}\leqslant\liminf_{n}y_{n}$. Além disso, $\liminf_{n}(-x_{n})=-\limsup_{n}x_{n}$.

O uso de $\sup$ e $\limsup$ é muito robusto porque nem todo conjunto tem um elemento maximal, e nem toda sequência tem um limite, mas todo conjunto tem um supremo e toda sequência tem um limite superior. Uma técnica poderosa para mostrar que $x_{n}\to L$ é a seguinte. Verificamos que, para qualquer $\varepsilon>0$ dado, $\limsup_{n}x_{n}\leqslant L+\varepsilon$ e $\liminf_{n}x_{n}\geqslant L-\varepsilon$, donde concluímos que, sendo $\varepsilon$ arbitrário, $\limsup_{n}x_{n}=\liminf_{n}x_{n}=L$. A grande vantagem é que podemos estimar o limite superior comparando com outras sequências que sim têm limite, mesmo sem saber a priori que a sequência $(x_{n})_{n}$ o tem.

Somas de números em $[0,+\infty]$ estão sempre bem definidas, através de uma fórmula bem simples. Se $\Lambda$ denota um conjunto de índices e $x_{\alpha}\in[0,+\infty]$ para todo $\alpha\in\Lambda$, definimos

Apesar de que o conjunto $\Lambda$ pode ser um conjunto não-enumerável, observamos que a soma acima poderá ser finita somente se, no máximo, uma quantidade enumerável dos termos forem positivos (exercício). Observe que, neste caso, $\sum_{n\in\mathbb{N}}x_{n}$ estende a definição de $\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}$ dada no Apêndice A.1, ao permitir que $x_{n}$ tome valor $+\infty$.

Observamos que $\sum_{\alpha\in\Lambda}(x_{\alpha}+y_{\alpha})=\sum_{\alpha\in\Lambda}x_{\alpha}+\sum_{\alpha\in\Lambda}y_{\alpha}$ como consequência da definição acima (deixamos os detalhes como exercício). Em particular, se $x_{\alpha}\geqslant y_{\alpha}\geqslant 0$ para todo $\alpha$, temos $\sum_{\alpha\in\Lambda}x_{\alpha}\geqslant\sum_{\alpha\in\Lambda}y_{\alpha}\geqslant 0$.