A.1 Cálculo

Dada uma sequência $(x_{n})_{n}$ de números reais e $L\in\mathbb{R}$, dizemos que $x_{n}\to L$ quando $n\to\infty$, também denotado por $\lim_{n\to\infty}x_{n}=L$ se, para todos $L^{\prime}<L$ e $L^{\prime\prime}>L$ existe $n_{0}$ tal que $L^{\prime}\leqslant x_{n}\leqslant L^{\prime\prime}$ para todo $n\geqslant n_{0}$. Se for óbvio que o índice em questão é $n$ e o ponto é $\infty$, podemos escrever apenas $x_{n}\to L$ omitindo o “quando $n\to\infty$”. Também podemos omitir o “$\infty$”, escrevendo apenas $\lim_{n}x_{n}=L.$ De forma similar, dizemos que $x_{n}\to+\infty$ se, para todo $L^{\prime}<\infty$, existe $n_{0}$ tal que $x_{n}\geqslant L^{\prime}$ para todo $n\geqslant n_{0}$. A definição de $x_{n}\to-\infty$ é análoga com $L^{\prime\prime}>-\infty$. Se não for o caso que $x_{n}\to L$, escrevemos $x_{n}\not\to L$. Dizemos que $(x_{n})_{n}$ converge se $\lim_{n}x_{n}$ existe e é finito. Caso contrário, ou seja, se $\lim_{n}x_{n}$ não existe ou é $\pm\infty$, dizemos que a sequência $(x_{n})_{n}$ diverge.

Escrevemos $x_{n}\uparrow a$ ou $x_{n}\downarrow a$ para indicar que $(x_{n})_{n}$ é não-decrescente, ou não-crescente, e $x_{n}\to a$. De forma análoga, escrevemos $x_{n}\uparrow+\infty$ ou $x_{n}\downarrow-\infty$ para limites infinitos. Salientamos que toda sequência monótona tem um limite, possivelmente infinito.

O limite satisfaz às seguintes propriedades. Se $x_{n}\to a\in\mathbb{R}$ e $y_{n}\to b\in\mathbb{R}$, então $x_{n}+cy_{n}\to a+bc$ para todo $c\in\mathbb{R}$. Se $a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$ para todo $n$, $a_{n}\to L$ e $c_{n}\to L$, então $b_{n}\to L$, onde $L$ pode ser um número real ou $\pm\infty$. Usando-se bisseção e essas propriedades, pode-se provar o seguinte.

Dada uma sequência $(x_{n})_{n}$ de números reais, definimos a série

como o limite das somas parciais, caso exista. Se ademais o limite for finito, diremos que a série converge. Caso contrário, dizemos que a série diverge. Observe que a soma de números não-negativos sempre está bem definida, podendo ser finita ou infinita.

Se $\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}$ converge, então $x_{n}\to 0$ e $\sum_{k=n}^{\infty}x_{k}\to 0$.

A série geométrica $\sum_{n=1}^{\infty}q^{n}$ converge se $-1<q<1$, e neste caso ela converge para $q/(1-q)$. A chamada $p$-série, dada por $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-p}$, converge se, e somente se, $p>1$. Veremos a justificativa mais adiante. O caso particular com $p=1$ se chama série harmônica, dada por $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$, que diverge.

Dizemos que os termos $x_{n}$ são somáveis, e que a respectiva série é absolutamente convergente, se $\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|<\infty$. Nesse caso, $\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}$ também converge. Se $|x_{n}|\leqslant y_{n}\,\forall n$ e $\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}<\infty$, então os $x_{n}$ são somáveis.

Uma série é chamada série alternada se os sinais dos termos são alternados entre positivo e negativo. Se, ademais, $|x_{n}|\downarrow 0$, então a série alternada $\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}$ converge.

Se uma série é convergente mas não é absolutamente convergente, dizemos que ela é condicionalmente convergente. Um exemplo é a chamada série harmônica alternada, dada por $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$; essa série converge pelo parágrafo anterior, e ela é condicionalmente convergente pois $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-1}=+\infty$.

Sejam $f:I\to\mathbb{R}$, onde $I\subseteq R$ é um intervalo aberto, e $a\in I$. Dizemos que $\lim_{x\to a}f(x)=L$ se, para toda sequência $(x_{n})_{n}$ em $I$ tal que $x_{n}\neq a$ para todo $n$ e $x_{n}\to a$, vale $f(x_{n})\to L$. Dizemos que $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L$ ou $f(a+)=L$ se para toda sequência $(x_{n})_{n}$ em $I$ tal que $x_{n}>a$ para todo $n$ e $x_{n}\to a$, vale $f(x_{n})\to L$. Definição análoga vale para $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=f(a-)=L$.

De maneira similar, dizemos que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ se $f(x_{n})\to L$ para qualquer sequência $(x_{n})_{n}$ tal que $x_{n}\uparrow+\infty$, e tomamos definição análoga para $\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$.

Dizemos que $f$ é contínua em $a$ se $f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$. Dizemos que $f$ é contínua à direita em $a\in\mathbb{R}$ se $f(a)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)$, análogo para continuidade à esquerda. Dizemos que $f$ é contínua se $f$ é contínua em todo ponto de $I$. Dizemos que $f$ é contínua por partes se, em cada intervalo finito, $f$ tem no máximo uma quantidade finita de pontos onde é descontínua e, nos pontos onde $f$ é descontínua, $f$ tem ambos os limites laterais definidos e finitos. Dizemos que $f$ é uma função-degrau se $f$ é contínua por partes e, em todo intervalo finito, $f$ assume apenas finitos valores.

Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ e $L\in\mathbb{R}$. Dizemos que a integral de Riemann de $f$ em $[a,b]$ é igual a $L$, o que denotamos por

se, para todos $L^{\prime}<L$ e $L^{\prime\prime}>L$, existe $\varepsilon>0$ tal que, para todo $k\in\mathbb{N}$, para todos $x_{0}<x_{1}<\dots<x_{k}$ com $x_{0}=a$, $x_{k}=b$ e $x_{j}-x_{j-1}<\varepsilon$ para cada $j=1,\dots,k$, vale que

O somatório na expressão acima é chamado soma de Riemann. Dizemos que $f$ é Riemann-integrável se existe $L\in\mathbb{R}$ tal que $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=L$.

Seja $f:\mathbb{R}\to[0,+\infty)$ uma função não-negativa. Definimos as integrais impróprias

Dizemos que a integral imprópria é convergente se o limite correspondente existe e é finito.

As integrais impróprias podem ajudar a determinar se as respectivas séries são convergentes e vice-versa. Se $f:[1,+\infty)\to[0,+\infty)$ é não-crescente e definimos $a_{n}=f(n)$, então a série $\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}$ converge se, e somente se, a integral $\int_{1}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ converge. Como $\int_{1}^{+\infty}x^{-p}\mathrm{d}x$ converge se, e somente se, $p>1$, justificamos o critério de convergência da $p$-série $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-p}$ enunciado anteriormente.

Seja $f:\mathbb{R}^{n}\to[0,+\infty)$ uma função não-negativa. Dizemos que $f$ é Riemann-integrável se, para qualquer escolha de $-\infty<a_{j}<b_{j}<\infty$, a integral iterada

está definida, é finita, e não depende da ordem de integração.