A.2 Expansão de Taylor

Nem todo curso de Cálculo inclui a expansão de Taylor. Faremos aqui uma breve exposição para preencher esta lacuna. Polinômios de Taylor serão usados em algumas passagens dos Capítulos 9 e 10 e no Apêndice B.

Teorema A.6 (Expansão de Taylor).

Sejam $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ e $z\in(a,b)$ . Se $f$ for $k$ vezes derivável no ponto $z$ , então

f(z+h)=f(z)+f^{\prime}(z)h+\tfrac{1}{2}f^{\prime\prime}(z)h^{2}+\dots+\tfrac{1% }{k!}f^{(k)}(z)h^{k}+r(h),

para todo $h$ tal que $z+h\in(a,b)$ , onde a função resto $r$ é tal que

\frac{r(h)}{h^{k}}\to 0

quando $h\to 0$ . Se $f^{(k+1)}$ existe e é contínua em $(a,b)$ , então

r(h)=\tfrac{f^{(k+1)}(x)}{(k+1)!}h^{k+1}

para algum $x$ entre $z$ e $z+h$ .

Para lembrar-se da fórmula, basta ignorar o resto e impor que o valor da função e das $k$ primeiras derivadas de ambos lados da equação coincidam no ponto $h=0$ . A última fórmula se chama resto de Lagrange.

Demonstração.

Veja que

r(h)=f(z+h)-\Big{[}f(z)+f^{\prime}(z)\cdot h+\tfrac{1}{2}f^{\prime\prime}(z)h^% {2}+\dots+\tfrac{1}{k!}f^{(k)}(z)h^{k}\Big{]}

satisfaz

r(0)=r^{\prime}(0)=r^{\prime\prime}(0)=\dots=r^{(k)}(0)=0.

(A.7)

Aplicando a regra de L’Hôpital $k-1$ vezes, obtemos

\lim_{h\to 0}\frac{r(h)}{h^{k}}=\frac{1}{k!}\lim_{h\to 0}\frac{r^{(k-1)}(h)}{h% }=\frac{1}{k!}r^{(k)}(0)=0,

provando a primeira parte. Para a segunda parte, consideramos o caso $h>0$ , pois $h<0$ é idêntico e $h=0$ é trivial. Sejam $M^{\prime}$ e $M$ o mínimo e o máximo de $r^{(k+1)}$ em $[0,h]$ . Pelo Teorema do Valor Extremo, $M^{\prime}$ e $M$ são atingidos por $r^{(k+1)}$ em pontos de $[0,h]$ . Usando (A.7) e integrando $k+1$ vezes, pela cota $M^{\prime}\leqslant r^{(k+1)}(s)\leqslant M$ obtemos $M^{\prime}\leqslant\frac{(k+1)!}{h^{k+1}}r(h)\leqslant M$ . Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $t\in[0,h]$ tal que $h^{(k+1)}(t)=\frac{(k+1)!}{h^{k+1}}r(h)$ . Como $f^{(k+1)}(z+t)=h^{(k+1)}(t)$ , isso conclui a prova. ∎