4.4 Método do jacobiano

Seja ${\boldsymbol{X}}$ um vetor aleatório com densidade conjunta $f_{{\boldsymbol{X}}}$ e que assume valores em um domínio $G_{0}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ . Suponha que estamos interessados em estudar o vetor aleatório ${\boldsymbol{Y}}$ dado por uma transformação ${\boldsymbol{Y}}={\boldsymbol{g}}({\boldsymbol{X}})$ . Vamos considerar o caso em que ${{\boldsymbol{g}}:G_{0}\to G},\,G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ , é bijetiva e diferenciável, com inversa ${\boldsymbol{g}}^{-1}={\boldsymbol{h}}:G\to G_{0}$ também diferenciável. Escrevemos a transformação inversa como ${\boldsymbol{X}}={\boldsymbol{h}}({\boldsymbol{Y}})$ e definimos os jacobianos:

J_{{\boldsymbol{h}}}({\boldsymbol{y}})=\det\left(\frac{\partial\smash{{% \boldsymbol{x}}}}{\partial\smash{{\boldsymbol{y}}}}\right)=\det\left[\begin{% array}[]{ccc}\frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}}&\cdots&\frac{\partial x_{1}% }{\partial y_{n}}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{1}}&\cdots&\frac{\partial x_{n}}{\partial y_% {n}}\end{array}\right]

J_{{\boldsymbol{g}}}({\boldsymbol{x}})=\det\left(\frac{\partial\smash{{% \boldsymbol{y}}}}{\partial\smash{{\boldsymbol{x}}}}\right)=\det\left[\begin{% array}[]{ccc}\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}}&\cdots&\frac{\partial y_{1}% }{\partial x_{n}}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial y_{n}}{\partial x_{1}}&\cdots&\frac{\partial y_{n}}{\partial x_% {n}}\end{array}\right].

Do Cálculo em várias variáveis, sabemos que o jacobiano satisfaz à seguinte identidade:

J_{{\boldsymbol{h}}}({\boldsymbol{y}})=\frac{1}{J_{{\boldsymbol{g}}}({% \boldsymbol{x}})}.

Proposição 4.24 (Método do jacobiano).

Sejam $G_{0},G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ , ${\boldsymbol{g}}:G_{0}\to G$ uma bijeção e ${\boldsymbol{h}}={\boldsymbol{g}}^{-1}$ , e suponha que ${\boldsymbol{g}}$ e ${\boldsymbol{h}}$ sejam diferenciáveis. Se ${\boldsymbol{X}}$ é um vetor aleatório absolutamente contínuo com densidade $f_{{\boldsymbol{X}}}$ assumindo valores em $G_{0}$ , e ${\boldsymbol{Y}}={\boldsymbol{g}}({\boldsymbol{X}})$ , então uma densidade $f_{{\boldsymbol{Y}}}$ pode ser obtida a partir de $f_{{\boldsymbol{X}}}$ pela relação

f_{{\boldsymbol{Y}}}({\boldsymbol{y}})=\big{|}J_{{\boldsymbol{h}}}({% \boldsymbol{y}})\big{|}\cdot f_{{\boldsymbol{X}}}\big{(}{\boldsymbol{h}}({% \boldsymbol{y}})\big{)}=\frac{1}{|J_{{\boldsymbol{g}}}({\boldsymbol{h}}({% \boldsymbol{y}}))|}\;f_{{\boldsymbol{X}}}\big{(}{\boldsymbol{h}}({\boldsymbol{% y}})\big{)}.

Ideia da prova.

Do cálculo de várias variáveis, sabemos que se o jacobiano for não-nulo para todo $y\in G$ , vale a fórmula de mudança de variáveis

\underset{A}{\int}f({\boldsymbol{x}})\,\mathrm{d}^{n}{\boldsymbol{x}}=% \underset{g(A)}{\int}f({\boldsymbol{h}}({\boldsymbol{y}}))\,|J_{{\boldsymbol{h% }}}({\boldsymbol{y}})|\,\mathrm{d}^{n}{\boldsymbol{y}}

para qualquer $f$ integrável em $A$ , onde $A\subseteq G_{0}$ . Como $\mathbb{P}({\boldsymbol{Y}}\in{\boldsymbol{g}}(A))$ é dada por $\mathbb{P}({\boldsymbol{X}}\in A)$ , e esta última é dada pelo lado esquerdo da expressão acima com $f=f_{{\boldsymbol{X}}}$ , o integrando do lado direito é uma densidade de ${{\boldsymbol{Y}}}$ . ∎

Exemplo 4.25.

Considere o vetor aleatório ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},X_{2})$ com densidade

f_{{\boldsymbol{X}}}(x_{1},x_{2})=\begin{cases}4x_{1}x_{2},&x_{1},x_{2}\in[0,1% ],\\ 0,&\text{caso contr\'{a}rio},\end{cases}

e o vetor ${\boldsymbol{Y}}$ dado por $Y_{1}=X_{1}/X_{2}$ e $Y_{2}=X_{1}X_{2}$ . Escrevendo ${\boldsymbol{y}}={\boldsymbol{g}}({\boldsymbol{x}})=(x_{1}/x_{2},x_{1}x_{2})$ ,

\frac{\partial\smash{{\boldsymbol{y}}}}{\partial\smash{{\boldsymbol{x}}}}=% \left[\begin{array}[]{cc}1/x_{2}&-x_{1}/x_{2}^{2}\\ x_{2}&x_{1}\end{array}\right]

e $J_{{\boldsymbol{g}}}({\boldsymbol{x}})=2x_{1}/x_{2}$ . Obtendo ${\boldsymbol{x}}$ em função de ${\boldsymbol{y}}$ , temos que $x_{1}=\sqrt{y_{1}y_{2}}$ , $x_{2}=\sqrt{y_{2}/y_{1}}$ e os valores possíveis de ${\boldsymbol{y}}$ são

G=\left\{(y_{1},y_{2}):0<y_{2}<y_{1},0<y_{2}<\textstyle\frac{1}{y_{1}}\right\}.

Agora,

J_{{\boldsymbol{g}}}({\boldsymbol{h}}({\boldsymbol{y}}))=\frac{2\,\sqrt{y_{1}y% _{2}\mathclap{\phantom{\big{|}}}}}{\sqrt{y_{2}/y_{1}}}=2y_{1}

f_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{h}}({\boldsymbol{y}}))=4\sqrt{y_{1}y_{2}% \mathclap{\phantom{\big{|}}}}\sqrt{y_{2}/y_{1}}=4y_{2}.

Portanto,

f_{{\boldsymbol{Y}}}({\boldsymbol{y}})=\frac{1}{|J_{{\boldsymbol{g}}}({% \boldsymbol{x}})|}\;f_{{\boldsymbol{X}}}\big{(}{\boldsymbol{h}}({\boldsymbol{y% }})\big{)}=\begin{cases}2y_{2}/y_{1},&0<y_{2}<1,y_{2}<y_{1}<1/y_{2},\\ 0,&\text{caso contr\'{a}rio}.\end{cases}\qed

Exemplo 4.26.

Se $X$ e $Y$ são independentes e distribuídas como $\mathcal{N}(0,1)$ , então $X+Y$ e $X-Y$ são independentes e ambas distribuídas como $\mathcal{N}(0,2)$ .

Com efeito, definindo ${\boldsymbol{Z}}=(X,Y)$ e ${\boldsymbol{W}}=(X+Y,X-Y)$ , temos que ${\boldsymbol{W}}={\boldsymbol{g}}({\boldsymbol{Z}})$ , onde ${\boldsymbol{g}}(x,y)=(x+y,x-y)$ . Logo,

\frac{\partial\smash{{\boldsymbol{w}}}}{\partial\smash{{\boldsymbol{z}}}}=% \left[\begin{array}[]{rr}1&1\\ 1&-1\end{array}\right],

donde $J_{{\boldsymbol{g}}}({\boldsymbol{z}})=-2$ . Escrevendo ${\boldsymbol{z}}$ como função de ${\boldsymbol{w}}$ , obtemos $x=\frac{w_{1}+w_{2}}{2}$ e $y=\frac{w_{1}-w_{2}}{2}$ . Ainda,

f_{{\boldsymbol{Z}}}({\boldsymbol{z}})=f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)=\frac{1}{% \sqrt{2\pi}}\,e^{\frac{-x^{2}}{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{\frac{-y^{2}}% {2}},

logo

	$\displaystyle f_{{\boldsymbol{Z}}}({\boldsymbol{h}}({\boldsymbol{w}}))=$	$\displaystyle\frac{1}{2\pi}\,e^{\frac{-\left(\frac{w_{1}+w_{2}}{2}\right)^{2}}% {2}}\,e^{\frac{-\left(\frac{w_{1}-w_{2}}{2}\right)^{2}}{2}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\ \frac{e^{-\frac{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+2w_{1}w_{2}+w_{1}^{2}+w_{2}% ^{2}-2w_{1}w_{2}}{8}}}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\,e^{\frac{-w_{1}^{2}}{4}}\,e^{% \frac{-w_{2}^{2}}{4}}$

e, substituindo,

f_{{\boldsymbol{W}}}({\boldsymbol{w}})=\frac{1}{|J_{{\boldsymbol{g}}}({% \boldsymbol{h}}({\boldsymbol{w}}))|}\,f_{{\boldsymbol{Z}}}({\boldsymbol{h}}({% \boldsymbol{w}}))=\frac{1}{4\pi}\,e^{\frac{-w_{1}^{2}}{4}}\,e^{\frac{-w_{2}^{2% }}{4}}=f_{\mathcal{N}(0,2)}(w_{1})f_{\mathcal{N}(0,2)}(w_{2}).

Portanto, $W_{1}$ e $W_{2}$ são independentes e com distribuição $\mathcal{N}(0,2)$ . ∎