4.5 Sequência de variáveis independentes

No capítulo anterior, mostramos a existência de uma distribuição uniforme (Teorema 3.16) e que a partir desta distribuição uniforme podemos mostrar a existência de uma variável aleatória com qualquer função de distribuição, $F$ , pré-especificada (Teorema 3.17).

Aqui daremos um passo adiante nessa direção. Mostraremos que a partir de uma variável com distribuição uniforme, podemos construir uma sequência de variáveis independentes e cada uma com uma distribuição especificada, que pode ou não ser a mesma para cada variável desta sequência.

Lema 4.27.

O conjunto $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ é enumerável.

Demonstração.

A função $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ dada por $f(j,k)=2^{j-1}\cdot(2k-1)$ é uma bijeção pois todo número natural pode ser fatorado de forma única como uma potência de dois vezes um número ímpar. ∎

Dado $x\in[0,1)$ , consideremos a sequência de dígitos $(x_{n})_{n}$ de sua expansão binária $x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_{n}}{2^{n}}$ , com $x_{n}\in\{0,1\}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Caso haja duas expansões distintas, uma terminada com infinitos zeros e outra com infinitos uns, consideremos apenas a primeira.

Lema 4.28.

Seja $U$ uma variável aleatória com distribuição uniforme em $[0,1)$ e defina $(X_{n})_{n}$ , tomando valores em $\{0,1\}$ , a sequência de dígitos na expansão binária de $U$ . Então as variáveis $(X_{n})_{n}$ são i.i.d. com distribuição uniforme no conjunto $\{0,1\}$ .

Demonstração.

Com efeito, basta observar que $X_{1}=x_{1},\dots,X_{n}=x_{n}$ se, e somente se, $0\leqslant U-(\tfrac{x_{1}}{2}+\tfrac{x_{2}}{2^{2}}+\dots+\tfrac{x_{n}}{2^{n}}% )<2^{-n}$ , donde $\mathbb{P}(X_{1}=x_{1},\dots,X_{n}=x_{n})=\frac{1}{2^{n}}$ , para todos $n\in\mathbb{N}$ e $x_{1},\dots,x_{n}\in\{0,1\}$ . Logo, a independência segue da Proposição 4.15. ∎

O próximo lema é uma espécie de recíproca do lema anterior.

Lema 4.29.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição uniforme no conjunto $\{0,1\}$ e defina $U=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{X_{n}}{2^{n}}$ . Então $U$ é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo $[0,1)$ .

Demonstração.

Que $U$ é uma variável aleatória segue direto do Lema 3.50. Sejam $n\in\mathbb{N}$ e $k\in\{0,\dots,2^{n}-1\}$ . Escreva $k=\sum_{j=1}^{n}2^{n-j}x_{j}$ com $x_{j}\in\{0,1\}$ para todo $j$ , isto é, $(x_{1},\dots,x_{n})$ é a expansão binária de $k$ . Observe que

\mathbb{P}(\tfrac{k}{2^{n}}\leqslant U<\tfrac{k+1}{2^{n}})=\mathbb{P}\big{(}(X% _{1},\dots,X_{n})=(x_{1},\dots,x_{n})\big{)}=\tfrac{1}{2^{n}},

pois os eventos acima diferem apenas nos casos $\{X_{j}=0\text{ para todo }j>n\}$ ou $\{X_{j}=1\text{ para todo }j>n\}$ , que têm probabilidade zero. Somando sobre $k=0,\dots,m-1$ , obtemos

\mathbb{P}(U<\tfrac{m}{2^{n}})=\tfrac{m}{2^{n}}

para todo $m=0,\dots,2^{n}$ . Finalmente, dado $u\in[0,1)$ e $n\in\mathbb{N}$ , existe $m$ tal que $\tfrac{m}{2^{n}}\leqslant u<\tfrac{m+1}{2^{n}}$ , de forma que

u-\tfrac{1}{2^{n}}\leqslant\tfrac{m}{2^{n}}=\mathbb{P}(U<\tfrac{m}{2^{n}})% \leqslant\mathbb{P}(U\leqslant u)\leqslant\mathbb{P}(U<\tfrac{m+1}{2^{n}})=% \tfrac{m+1}{2^{n}}\leqslant u+\tfrac{1}{2^{n}}.

Como isso vale para todo $n$ , temos $\mathbb{P}(U\leqslant u)=u$ , portanto $U\sim\mathcal{U}[0,1]$ . ∎

Agora, estamos aptos a provar o principal objetivo desta seção.

Teorema 4.30 (Existência de uma sequência independente).

Seja $(F_{n})_{n}$ uma sequência de funções de distribuição. Então, existem um espaço de probabilidade e uma sequência de variáveis aleatórias independentes, $(X_{n})_{n}$ , de modo que $X_{n}$ tenha função de distribuição $F_{n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ .

Demonstração.

Pelo Teorema 3.16, existe um espaço de probabilidade onde podemos definir uma variável aleatória $U$ com distribuição uniforme em $[0,1)$ . Definimos $(Y_{n})_{n}$ como sendo a sequência de dígitos na expansão binária de $U$ . Pelo Lema 4.28, as variáveis $(Y_{n})_{n}$ são i.i.d. com distribuição uniforme no conjunto $\{0,1\}$ . Seja $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ uma bijeção, o que é garantido pelo Lema 4.27. Definimos a sequência de sequências $((Z_{j,k})_{k\in\mathbb{N}})_{j\in\mathbb{N}}$ por $Z_{j,k}=Y_{f(j,k)}$ . Observe que $((Z_{j,k})_{k\in\mathbb{N}})_{j\in\mathbb{N}}$ continua sendo formada por variáveis i.i.d. com distribuição uniforme no conjunto $\{0,1\}$ .

Para cada $j\in\mathbb{N}$ fixo, usamos a sequência $(Z_{j,k})_{k}$ para definir $U_{j}=\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}{Z_{j,k}}$ . Pelo Lema 4.29, $U_{j}$ tem distribuição uniforme em $[0,1)$ . Além disso, como cada variável da sequência $(U_{j})_{j}$ depende de subconjuntos disjuntos de variáveis da sequência $(Y_{n})_{n}$ , concluímos que as variáveis $(U_{j})_{j}$ são independentes,⁷⁷ 7 Esta conclusão bastante intuitiva se deve a uma generalização da Observação 4.13, que será justificada de forma mais rigorosa pelo Corolário 13.12. logo, i.i.d. com distribuição uniforme em $[0,1)$ .

Finalmente, tomamos $X_{j}=F_{j}^{-1}(U_{j})$ para todo $j$ . Como a família $(U_{j})_{j}$ é independente, a família $(X_{j})_{j}$ também será independente. Ademais, $X_{j}\sim F_{j}$ para todo $j$ , veja a demonstração do Teorema 3.17. Isso conclui a prova. ∎