3.1 Variáveis aleatórias

A $\sigma$-álgebra de Borel na reta $\mathbb{R}$, denotada por $\mathcal{B}$, é a menor $\sigma$-álgebra que contém todos os intervalos da reta (veja a Seção 1.4.1 para mais detalhes). Os conjuntos $B\subseteq\mathbb{R}$ tais que $B\in\mathcal{B}$ são chamados borelianos. Na prática, essa classe contém todos os subconjuntos de $\mathbb{R}$ que nos interessam.

Dado um espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ e uma variável aleatória $X$, definimos o espaço de probabilidade induzido por $X$ como $(\mathbb{R},\mathcal{B},\mathbb{P}_{X})$, onde

Ou seja, o espaço amostral é o conjunto dos números reais, os eventos aleatórios são os conjuntos borelianos, e a medida de probabilidade é aquela induzida por $X$. A medida de probabilidade $\mathbb{P}_{X}$ em $\mathbb{R}$ induzida por $X$ é chamada de lei da variável aleatória $X$ ou distribuição de $X$. Na Seção 3.7, mostraremos que $\mathbb{P}_{X}$ está realmente definida para todo $B\in\mathcal{B}$.

A importância teórica e conceitual do espaço de probabilidade induzido por uma variável aleatória $X$, bem como sua distribuição $\mathbb{P}_{X}$, é que ele permite descrever o comportamento estatístico de $X$ abstraindo-se todos os detalhes do espaço de probabilidade original. Mais precisamente, toda pergunta formulada apenas em termos de $X$ pode ser respondida com $\mathbb{P}_{X}$ ao invés de $\mathbb{P}$.

Assim como a ideia de lei de uma variável, o conceito que definiremos agora é uma outra maneira equivalente de descrever a estrutura probabilística da variável aleatória.

A função de distribuição, também conhecida como função de distribuição acumulada, determina a lei da variável aleatória. Veremos a demostração deste fato na Seção 3.6, mas gostaríamos de enunciá-lo precisamente agora.

Por isso a função de distribuição é uma característica fundamental da variável aleatória. Caso $F_{X}=F_{Y}$ (e portanto $\mathbb{P}_{X}=\mathbb{P}_{Y}$), escrevemos $X\sim Y$.

Variáveis aleatórias diferentes podem ter a mesma função de distribuição. Por exemplo, se $X$ a variável aleatória definida no Exemplo 3.1 e definimos $Y=7-X$, então, $X\neq Y$ enquanto $F_{X}(t)=F_{Y}(t)$ para todo $t\in\mathbb{R}$.

Dada uma sequência $(x_{n})_{n}$ de números reais, denotamos por $x_{n}\uparrow x$ a propriedade de que $x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant x_{3}\leqslant\cdots$ e $x_{n}\to x$. Analogamente, escrevemos $x_{n}\downarrow x$ para denotar que $x_{1}\geqslant x_{2}\geqslant x_{3}\geqslant\cdots$ e $x_{n}\to x$.

Ao final desta seção, mostraremos que, dada uma função $F$ com as três propriedades dadas pela proposição acima, sempre existe uma variável aleatória cuja função de distribuição é $F$. Diremos que uma dada $F$ com essas propriedades é uma função de distribuição.

De forma geral, uma função de distribuição é qualquer função $F(\cdot)$ satisfazendo às três propriedades acima. Ao final desta seção, mostraremos que dada uma função de distribuição $F$, sempre existe uma variável aleatória cuja função de distribuição é $F$.

Segue da definição de função de distribuição que $\mathbb{P}(X>a)=1-F_{X}(a)$ e $\mathbb{P}(a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$, para todos $a<b\in\mathbb{R}$. A proposição abaixo nos diz como obter a distribuição em outros tipos de intervalos. Denotamos $F_{X}(a-)=\lim_{z\to a^{-}}F_{X}(z)$.

Imagine que estamos implementando um algoritmo usando uma certa linguagem de programação e queremos simular uma variável aleatória $X$ com uma dada função de distribuição $F$. Em geral, as linguagens de programação são capazes de gerar uma variável aleatória $U$ distribuída “uniformemente” no intervalo $(0,1)$. Veremos na Seção 3.3 o que quer dizer estar distribuída uniformemente em $(0,1)$, mas por enquanto basta saber que $\mathbb{P}(U\leqslant u)=u$ para $u\in[0,1]$. A partir de uma variável $U$ com essa distribuição, é possível obter uma variável $X$ com função de distribuição $F$?

Caso o valor de $U$ seja, por exemplo, $0{,}272106341...$, queremos atribuir a $X$ o valor $x$ que ocupa, dentre os possíveis valores assumidos por $X$, a “posição” correspondente a $0{,}272106341...$ numa escala entre $0$ e $1$. Mais precisamente, buscamos o valor $x$ tal que $\mathbb{P}(X<x)\leqslant 0{,}272106341...$ e $\mathbb{P}(X>x)\leqslant 0{,}727893658...$. Observe que, ao buscar tal valor de $x$, estamos tentando inverter a função de distribuição de $X$.

A função quantil de uma variável aleatória é a inversa da sua função de distribuição, no seguinte sentido. Dada uma função de distribuição $F$, definimos

ou seja, $F^{-1}(u)$ é o ponto $x$ mais à esquerda a partir do qual o gráfico de $F$ fica acima da altura $u$. Caso $F$ seja como o da Figura 3.2, $F^{-1}(u)$ nada mais é do que a pré-imagem de $u$. Porém, no exemplo da função $F$ da Figura 3.1, os valores $u=\frac{1}{4}$ e $u=\frac{3}{4}$ têm todo um intervalo como pré-imagem, e qualquer outro $0<u<1$ tem pré-imagem vazia. Para $u=\frac{1}{4}$ e $u=\frac{3}{4}$, tomamos o ponto mais à esquerda do intervalo e, para os demais pontos, completamos o gráfico de $F$ com segmentos verticais para definir a inversa. A definição de $F^{-1}$ é ilustrada na Figura 3.3.

Mencionamos aqui algumas propriedades da função quantil que podem ser observadas visualmente, e cuja prova será omitida. Para todo $x\in\mathbb{R}$, temos $F^{-1}(F(x))\leqslant x$, valendo a igualdade se $F$ é estritamente crescente num intervalo aberto contendo $x$. Para todo $0<u<1$, temos $F(F^{-1}(u))\geqslant u$, valendo a igualdade se $F$ é contínua num intervalo aberto contendo $F^{-1}(u)$.

A propriedade que vamos usar é que, dados $x\in\mathbb{R}$ e $0<u<1$,

Essa propriedade segue da definição de $F^{-1}$ e do fato de $F$ ser não-decrescente e contínua à direita.

A discussão acima culmina com a demonstração formal da existência de variáveis aleatórias com quaisquer distribuições. No mesmo espírito do parágrafo inicial acima, o ponto de partida é a existência de uma variável aleatória uniforme, o que enunciaremos agora.

A demonstração exige ferramentas avançadas e será dada na Seção 3.6.