3.2 Variáveis aleatórias discretas

Dizemos que uma variável aleatória $X$ , sua função de distribuição $F_{X}$ e sua lei $\mathbb{P}_{X}$ são discretas se existe um conjunto enumerável $A=\{x_{1},x_{2},x_{3},\dots\}\subseteq\mathbb{R}$ tal que $\mathbb{P}(X\in A)=1.$

Definimos a função de probabilidade de uma variável aleatória $X$ como

p_{X}(x)=\mathbb{P}(X=x).

O tratamento de variáveis aleatórias discretas é feito em termos de somatórios com a função de probabilidade. Por exemplo, a lei de uma variável aleatória discreta é dada por

\displaystyle\mathbb{P}_{X}(B)

\displaystyle=\sum_{x\in B}p_{X}(x)\quad\forall B\in\mathcal{B}

e sua função de distribuição é dada por

F_{X}(t)=\sum_{x\leqslant t}p_{X}(x)\quad\forall t\in\mathbb{R}.

Com efeito, esta última equação é um caso particular da anterior tomando-se $B=(-\infty,t]$ , e para justificar aquela usamos $\sigma$ -aditividade da medida de probabilidade $\mathbb{P}$ :

\mathbb{P}_{X}(B)=\mathbb{P}_{X}(B\cap A)=\mathbb{P}(\bigcup_{\mathclap{x\in B% \cap A}}\{X=x_{k}\})=\sum_{\mathclap{x\in B\cap A}}\mathbb{P}(X=x)=\sum_{x\in B% }p_{X}(x).

A primeira e última igualdades valem pois $\mathbb{P}_{X}(A^{c})=0$ e $p_{X}(x)=0$ para todo $x\not\in A$ .

A função de distribuição de uma variável aleatória discreta tipicamente se parece à da Figura 3.1, sendo constante por partes e dando um saltos de tamanho $p_{X}(t)$ em cada ponto $t\in\mathbb{R}$ com $p_{X}(t)>0$ . Como

p_{X}(t)=F_{X}(t)-F_{X}(t-),

a função de distribuição determina a função de probabilidade de uma variável aleatória, e pela equação anterior vale a recíproca. Portanto, para determinar o comportamento estatístico de uma variável aleatória discreta, é equivalente especificar $p_{X}$ , $F_{X}$ , ou $\mathbb{P}_{X}$ . A primeira normalmente é mais simples.

De forma geral, uma função de probabilidade é qualquer função $p(\cdot)$ satisfazendo

\displaystyle p(x)\geqslant 0\,\ \forall x\in\mathbb{R},\quad\sum_{x\in\mathbb% {R}}p(x)=1.

Dada uma função de probabilidade $p(\cdot)$ , existe um espaço de probabilidade onde está definida uma variável aleatória discreta cuja função de probabilidade é $p(\cdot)$ . Por certo, basta tomar $\Omega=\mathbb{R}$ , $\mathcal{F}=\mathcal{B}$ e $\mathbb{P}(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)$ e $X(\omega)=\omega$ .

Finalizamos esta seção com alguns exemplos conhecidos de variáveis aleatórias discretas.

Distribuição uniforme discreta

Seja $I=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{k}\}$ um conjunto finito, dizemos que $X$ tem distribuição uniforme discreta (ou equiprovável) em $I$ , quando sua função de probabilidade for constante em $I$ , isto é

p_{X}(x_{j})=\frac{1}{k},\quad\text{para todo }j=1,2,\dots,k.

Distribuição de Bernoulli

Dado $p\in[0,1]$ , dizemos que $X:\Omega\to\mathbb{R}$ é uma variável de Bernoulli com parâmetro $p$ , o que denotamos $X\sim\mathop{\mathrm{Bernoulli}}\nolimits(p)$ , se $p_{X}(1)=p$ e $p_{X}(0)=1-p$ .

Chamamos de ensaios de Bernoulli à realização sucessiva e independente de um mesmo experimento, sendo que cada realização resulta em “sucesso” com probabilidade $p$ e “fracasso” com probabilidade $1-p$ , e dizemos que $p$ é o parâmetro desses ensaios. O caso mais simples é quando realizamos apenas um ensaio, e tomamos $X$ como sendo a indicadora do evento de sucesso nessa única tentativa, e nesse caso temos $X\sim\mathop{\mathrm{Bernoulli}}\nolimits(p)$ .

Distribuição geométrica

Considere uma sequência de ensaios de Bernoulli, com o mesmo parâmetro $p$ , e seja $X$ o número de ensaios realizados até que se obtenha o primeiro sucesso. Se denotamos por $A_{n}$ o evento de sucesso na $n$ -ésima tentativa, podemos encontrar a função de probabilidade de $X$ como segue:

p_{X}(n)=\mathbb{P}(X=n)=\mathbb{P}(A_{1}^{c}\cap\dots\cap A_{n-1}^{c}\cap A_{% n})=p(1-p)^{n-1},\quad n\in\mathbb{N}.

Na última igualdade, utilizamos a independência dos eventos $(A_{n})_{n}$ . Dizemos que $X$ tem distribuição geométrica de parâmetro $p$ , o que denotaremos por $X\sim\mathop{\mathrm{Geom}}\nolimits(p)$ .

Exemplo 3.18.

Lançar um par de dados até obter números iguais. Se $X$ denota o número de lançamentos necessários, então $X\sim\mathop{\mathrm{Geom}}\nolimits(\frac{1}{6})$ . ∎

Observação 3.19.

Alguns textos definem a distribuição geométrica contando o número de falhas anteriores ao primeiro sucesso, ao invés de contar o número total de ensaios. Isso faz com que as distribuições sejam defasadas de uma unidade, pois a função de probabilidade passa a ser dada por $p(1-p)^{n}$ para $n\in\mathbb{N}_{0}$ . ∎

Distribuição binomial

Agora, consideremos uma repetição de $n$ ensaios de Bernoulli com parâmetro $p$ e seja $X$ o número de sucessos obtidos nesses $n$ ensaios. Para calcularmos sua função de probabilidade, observemos que se há exatamente $k$ sucessos, então há $n-k$ fracassos. Devido à independência dos ensaios, cada uma das sequências com $n$ sucessos e $n-k$ fracassos ocorre com probabilidade $p^{k}(1-p)^{n-k}$ . Logo, a probabilidade de haver exatamente $k$ sucessos é $p^{k}(1-p)^{n-k}$ vezes o número de sequências binárias de comprimento $n$ onde o $1$ aparece $k$ vezes e o $0$ aparece $n-k$ vezes. Isto é, a função de probabilidade de $X$ é dada por

p_{X}(k)=\textstyle\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,\dots,n.

Neste caso, dizemos que $X$ tem distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p$ , o que denotamos por $X\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n,p)$ . Pelo Teorema Binomial,

\sum_{k=0}^{n}p_{X}(k)=[p+(1-p)]^{n}=1.

ou seja, $p_{X}$ definida acima é de fato uma função de probabilidade.

Exemplo 3.20.

Lançar um dado $4$ vezes e contar o número de vezes que se obtém um número múltiplo de $3$ . Neste caso, $X\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(4,\frac{1}{3})$ . A probabilidade de se obter um múltiplo de $3$ duas vezes é dada por

\mathbb{P}(X=2)=p_{X}(2)={\textstyle\binom{4}{2}(\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})% ^{4-2}}=\frac{4!}{2!(4-2)!}\,\frac{2^{2}}{3^{4}}=\frac{8}{27}.\qed

Distribuição de Poisson

Consideremos agora a repetição de $n$ ensaios de variáveis de Bernoulli, todas elas com o mesmo parâmetro $p$ . Suponha que $n$ é um número muito grande, e $p=\frac{\lambda}{n}$ , isto é, a probabilidade de sucesso é inversamente proporcional ao número de repetições. Se $X$ é a variável que conta o número de sucessos, então $X\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n,\frac{\lambda}{n})$ . O que podemos afirmar sobre a função de probabilidade de $X$ quando $n\to\infty$ ? Para todo $k$ fixo, vale

	$\displaystyle p_{X}(k)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}% \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$
		$\displaystyle=\ \frac{\lambda^{k}}{k!}\left(\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots% \frac{n-k+1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\to\frac{e^{-% \lambda}\lambda^{k}}{k!}$

quando $n\to\infty$ . Ademais, podemos observar que $\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}=1$ , de modo que o limite acima define uma função de probabilidade.

Dizemos que uma variável aleatória $Z$ tem distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda$ , o que denotaremos por $Z\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda)$ , se sua função de probabilidade é dada por

p_{Z}(k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!},\quad\text{ para todo }k=0,1,2,3,\dots.

Exemplo 3.21.

A padaria da esquina produz deliciosos panetones, cuja receita leva 50 uvas-passas por panetone, e a produção é feita em larga escala. Patrícia acaba de comprar um desses panetones. Qual a distribuição do número de uvas-passas do panetone adquirido por Patrícia? Se o panetone comprado por Patrícia foi produzido dentro de um lote de $n$ panetones, temos que o número de passas de seu panetone tem distribuição $\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(50n,\tfrac{1}{n})$ , pois $50n$ é o número de uvas-passas utilizadas e $\frac{1}{n}$ é a probabilidade de que cada uma dessas uvas-passas esteja justamente ne porção da massa que foi para o panetone de Patrícia. Porém, sabendo que a produção é feita em larga escala, o valor $n$ se torna irrelevante e tal distribuição é bem aproximada por uma distribuição de $\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(50)$ . ∎

Distribuições hipergeométrica e binomial negativa

Considere uma urna contendo $N$ bolas, sendo $K$ bolas pretas e $N-K$ bolas brancas. Retiramos, sem reposição, uma amostra de $n$ bolas. Seja $X$ a variável aleatória que denota o número de bolas pretas retiradas nas $n$ extrações. Observe que $X$ satisfaz $0\leqslant X\leqslant K$ e $0\leqslant n-X\leqslant N-K$ . A função de probabilidade de $X$ é dada por:

\displaystyle p_{X}(k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

para $k$ tal que $0\leqslant k\leqslant K$ e $0\leqslant n-k\leqslant N-K$ . Dizemos que uma variável aleatória com essa função de probabilidade tem distribuição hipergeométrica de parâmetros $N$ , $K$ e $n$ , o que denotamos por $X\sim\mathop{\mathrm{Hgeo}}\nolimits(N,K,n)$ . Observe que, como as extrações são sem reposição, a independência é perdida. Caso contrário, o número de bolas pretas extraídas teria uma distribuição binomial de parâmetros $n$ e $\frac{K}{N}$ .

Exemplo 3.22.

De um baralho comum extraímos, sem reposição, uma amostra de 13 cartas. Seja $X$ a variável que denota o quantidade de cartas retiradas com um número par. Então $X\sim\mathop{\mathrm{Hgeo}}\nolimits(52,20,13)$ . ∎

Considere uma sequência de ensaios de Bernoulli, com o mesmo parâmetro $p$ . Seja $X$ a variável aleatória que denota o número de ensaios realizados até que se obtenha $k$ sucessos, onde $k\in\mathbb{N}$ é outro parâmetro do experimento. Podemos observar que $X$ assume valores no conjunto $\{k,k+1,\dots\}$ . A função de probabilidade de $X$ é dada por:

	$\displaystyle p_{X}(n)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(X=n)=\mathbb{P}(B_{n-1,k-1}\cap A_{n})$
		$\displaystyle=\tbinom{n-1}{k-1}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad n\in\{k,k+1,\dots\}.$

Neste caso, dizemos que $X$ tem distribuição binomial negativa de parâmetros $k$ e $p$ .

Exemplo 3.23.

Lançar um par de dados até obter o oitavo par de números iguais. Se $X$ denota o número de lançamentos necessários, então $X$ tem distribuição binomial negativa de parâmetros $8$ e $\frac{1}{6}$ . ∎

Observação 3.24.

Alguns textos definem a distribuição binomial negativa contando o número de falhas anteriores ao $k$ -ésimo sucesso, ao invés de contar o número total de ensaios. ∎