3.8 Exercícios ‣ Capítulo 3 Variáveis Aleatórias ‣ Probabilidade

1.

Seja $F(x)$ a função

F(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\ x+\frac{1}{2},&0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}\\ 1,&x>\frac{1}{2}.\end{cases}

Mostre que $F$ é de fato uma função de distribuição e calcule:

(a)

$\mathbb{P}(X>\frac{1}{8})$
(b)

$\mathbb{P}(\frac{1}{8}<X<\frac{2}{5})$
(c)

$\mathbb{P}(X<\frac{2}{5}\,|\,X>\frac{1}{8})$

2.

Encontre os valores das constantes reais $\alpha$ e $\beta$ de modo que a função $F$ abaixo seja função de distribuição de alguma variável aleatória definida em algum espaço de probabilidade:

F(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant 0,\\ \alpha+\beta e^{-x^{2}/2},&x>0.\end{cases}

3.

Sejam $X,Y,Z$ e $W$ variáveis aleatórias onde $X$ é uma variável qualquer, $Y=\max\{0,X\}$ , $Z=\max\{0,-X\}$ e $W=|X|$ . Escreva as funções de distribuição $F_{Y},F_{Z}$ e $F_{W}$ em termos da função de distribuição $F_{X}$ .

4.

Mostre que, se $\mathbb{P}(X=Y)=1$ , então $F_{X}=F_{Y}$ .

5.

Seja $X$ uma variável aleatória. Prove que $\mathbb{P}_{X}$ é uma medida de probabilidade.

6.

Seja $X$ uma variável aleatória contínua e $F_{X}$ sua função de distribuição. Considere $Y=F_{X}(X)$ . Mostre que $Y$ tem distribuição uniforme em $(0,1)$ ,

(a)

supondo que $F_{X}$ é contínua e estritamente crescente,
(b)

supondo apenas que $F_{X}$ é contínua.

7.

Seja $X$ o número de caras obtidas em $4$ lançamentos de uma moeda honesta. Escreva a função de probabilidade e a função de distribuição de $X$ e esboce os seus gráficos.

8.

Seja $X$ uma variável aleatória com função de probabilidade $\mathbb{P}(X=x)=cx^{2}$ , onde $c$ é uma constante e $x=1,2,3,4,5$ .

(a)

Encontre $p_{X}(x)$ e $F_{X}(x)$ .
(b)

Calcule $\mathbb{P}(X\text{ \'{e} \'{\i}mpar})$ .

9.

Temos duas urnas, em cada uma delas há cinco bolas numeradas de $1$ a $5$ . Retiramos, sem reposição, 3 pares de bolas, onde cada par é sempre formado por uma bola de cada urna. Seja $X$ o quantidade de pares de bolas com o mesmo número. Determine a função de probabilidade de $X$ e desenhe o gráfico de sua função de distribuição.

10.

Seja $X\sim\mathop{\mathrm{Geom}}\nolimits(p)$ , mostre que $\mathbb{P}(X\geqslant m+n|X>n)=\mathbb{P}(X\geqslant m)$ para todos $m$ e $n$ inteiros não-negativos.

11.

Suponha que, para cada $N\in\mathbb{N}$ , temos uma variável aleatória $X_{N}$ com distribuição $\mathop{\mathrm{Hgeo}}\nolimits(N,K,n)$ , onde $K=K(N)$ é tal que $\frac{K}{N}\to p\in[0,1]$ quando $N\to\infty$ . Mostre que

\lim_{N\to\infty}\mathbb{P}(X_{N}=k)=\mathbb{P}(Z=k)

para todo $k=0,\dots,n$ , onde $Z\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n,p)$ .

12Fósforos de Banach.

Um indivíduo tem duas caixas de fósforos, uma em cada bolso e cada uma delas com $n$ palitos. Toda vez que ele precisa de um fósforo, ele escolhe aleatoriamente uma das caixas, retira um palito e a devolve para o mesmo bolso. Ele percebe que uma caixa está vazia somente quando vai pegar um palito e não há nenhum nesta caixa. Seja $X$ o número de palitos na outra caixa quando ele percebe que a primeira está vazia. Mostre que

p_{X}(k)=\tfrac{1}{2^{2n-k}}\tbinom{2n-k}{n-k}.

13.

Considere um jogo de dominó para crianças que contém 28 peças distintas, sendo cada metade de peça é pintada com uma das 7 cores do arco-íris. Júlia recebe 2 peças escolhidas ao acaso. Seja $X$ o número de cores distintas que Júlia observa entre as peças recebidas. Calcule $p_{X}$ e faça o gráfico de $F_{X}$ .

14.

Sejam $X:\Omega\to\mathbb{R}$ uma variável aleatória que assume finitos valores, denotados $x_{1},\dots,x_{n}$ . Para cada $k=1,\dots,n$ seja $p_{k}=p_{X}(x_{k})$ , onde $p_{X}$ é a função de probabilidade de $X$ . Definimos a entropia de $X$ , $H(X)$ , como

H(X)=-\sum_{k=1}^{n}p_{k}\log p_{k},

com a convenção que $0\cdot\log 0=0$ .

(a)

Calcule $H(X)$ , se $X$ é a variável degenerada em $x_{j}$ , ou seja, $p_{X}(x_{k})=\delta_{j}(k)$ para todo $k=1,\dots,n$ .
(b)

Seja $X\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(3,\tfrac{1}{2})$ . Calcule $H(X)$ .
(c)

Determine o vetor $p^{*}=(p_{1}^{*},\dots,p_{n}^{*})$ que resulta e máxima entropia.
Para isso pode-se usar a técnica do multiplicador de Lagrange: sujeito à restrição $p_{1}+\dots+p_{n}=1$ , o ponto $p^{*}$ que maximiza $H$ é o ponto em que $\nabla H(p)$ é ortogonal à superfície $\{p:p_{1}+\dots+p_{n}=1\}$ .
(d)

Observando que $H(X)\geqslant 0$ para toda variável $X$ e levando em consideração os itens anteriores, tente interpretar o significado de entropia de uma variável aleatória.

15.

Seja $X$ uma variável aleatória absolutamente contínua com função densidade $f_{X}$ par, isto é, $f_{X}(x)=f_{X}(-x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . Mostre que

(a)

$F_{X}(x)=1-F_{X}(-x)$ .
(b)

$F_{X}(0)=\frac{1}{2}$ .
(c)

$\mathbb{P}(-x<X<x)=2F_{X}(x)-1$ para todo $x>0$ .
(d)

$\mathbb{P}(X>x)=\frac{1}{2}-\int_{0}^{x}f_{X}(t)\mathrm{d}t$ para todo $x>0$ .

16.

Se $f(t)=c\ 3t^{2}e^{-t}\mathds{1}_{[0,2]}(t)$ é uma função de densidade, ache $c$ .

17.

Esboce os gráficos das funções de densidade e distribuição de uma variável aleatória com distribuição normal de parâmetros $\mu$ e $\sigma^{2}$ .

18.

Seja $X\sim\mathcal{U}[1,2]$ . Qual a distribuição de $Y=3-2X$ ?

19.

Seja $X\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$ e $N=\lceil X\rceil$ . Encontre a distribuição de $N$ .

20.

(a)

Se $U\sim\mathcal{U}[0,1]$ , encontre uma densidade de $\sqrt{5}\tan(\pi U-\tfrac{\pi}{2})$ .
(b)

Se $X\sim\mathop{\mathrm{Laplace}}\nolimits(0,1)$ , encontre uma densidade de $|X|$ .
(c)

Se $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ , encontre uma densidade de $Z^{2}$ .

21.

Sejam $X$ uma variável aleatória absolutamente contínua com densidade $f_{X}(x)$ , e $Y=aX+b$ com $a>0$ e $b\in\mathbb{R}$ . Mostre que $Y$ é absolutamente contínua com densidade $f_{Y}(y)=\frac{1}{a}f_{X}(\frac{y-b}{a})$ .

22.

Mostre que, se $X\sim\mathop{\mathrm{Cauchy}}\nolimits(0,1)$ , então $a+bX\sim\mathop{\mathrm{Cauchy}}\nolimits(a,b)$ .

23.

Se $X\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$ , mostre que, para todo $s>0$ , a distribuição condicional de $X$ dado que $X>s$ é igual à distribuição de $X+s$ .

24.

Se $Z$ tem distribuição geométrica, mostre que a distribuição condicional de $Z$ dado que $Z>n$ é igual à distribuição de $Z+n$ para todo $n\in\mathbb{N}$ .

25.

Seja $X\sim\mathcal{U}[a,b]$ . Considere o evento $A=\{c\leqslant X\leqslant d\}$ , onde $c<d\in\mathbb{R}$ . Determine a função de distribuição condicional $F_{X|A}$ .

26.

Sejam $X\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$ e $Y=5X$ , ache a função de distribuição de $Y$ . Ache a função de distribuição condicional e uma densidade condicional de $Y$ dado que $\{X>3\}$ .

27.

Sejam $X\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(1)$ e $Y=\max\{X,1\}$ . Encontre as funções de distribuição, de probabilidade e de densidade de $Y$ .

28.

Seja $X\sim\mathcal{U}[0,3]$ . Esboce o gráfico da função de distribuição de $Y=\min(2X,X^{2})$ . A variável $Y$ tem função de densidade?

29.

Sejam $X\sim\mathcal{U}[0,2]$ e $Y=\max(\lceil X\rceil,\tfrac{3}{2}X,X^{2})$ , onde $\lceil z\rceil$ é o menor inteiro maior que ou igual a $z$ .

(a)

Esboce o gráfico da função de distribuição de $Y$ .
(b)

Encontre as funções de probabilidade e de densidade de $Y$ .

30.

Seja $Y$ a variável aleatória definida no Exemplo 3.35.

(a)

Quanto vale $\mathbb{P}(Y\in(\tfrac{1}{8},\tfrac{6}{7}))$ ?
(b)

Esboce o gráfico de sua função de distribuição $F_{Y}$ .
(c)

Determine a função de distribuição condicional $F_{2Y|\{Y\leqslant\frac{1}{3}\}}$ .
(d)

Determine a função de distribuição $F_{2^{n}Y|\{Y\leqslant\frac{1}{3^{n}}\}}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Tente interpretar este exercício geometricamente, em termos do gráfico da função de distribuição.

31.

Dê pelo menos sete exemplos de $\pi$ -sistemas em $\mathbb{R}$ que geram $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

32.

Em $\Omega=\{1,2,3,4\}$ , dê um exemplo de medidas de probabilidade $\mathbb{P}$ e $\mathbf{P}$ tais que a classe $\mathcal{D}=\{A\in\mathcal{P}(\Omega):\mathbb{P}(A)=\mathbf{P}(A)\}$ gera $\mathcal{P}(\Omega)$ mas não é um $\pi$ -sistema.

33.

Sejam $f:\Omega_{1}\to\Omega_{2}$ uma função qualquer e $\mathcal{F}_{2}$ é uma $\sigma$ -álgebra em $\Omega_{2}$ . Prove que $f^{-1}(\mathcal{F}_{2})=\{f^{-1}(A):A\in\mathcal{F}_{2}\}$ é uma $\sigma$ -álgebra em $\Omega_{1}$ .

34.

Sejam $(\Omega,\mathcal{F})$ e $(\Omega^{\prime},\mathcal{F}^{\prime})$ espaços mensuráveis. Mostre que

(a)

A função identidade $I:\Omega\to\Omega$ , dada por $I(\omega)=\omega$ é $\mathcal{F}/\mathcal{F}$ -mensurável.
(b)

Se $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ , então toda função $f:\Omega\to\Omega^{\prime}$ é $\mathcal{F}/\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável.
(c)

Se $\mathcal{F}^{\prime}=\{\emptyset,\Omega^{\prime}\},$ então toda função $f:\Omega\to\Omega^{\prime}$ é $\mathcal{F}/\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável.
(d)

Se $\Omega^{\prime}=\{0,1\}$ , $\mathcal{F}^{\prime}=\mathcal{P}(\Omega^{\prime})$ e $A\subseteq\Omega$ , então a função indicadora $\mathds{1}_{A}:\Omega\to\Omega^{\prime}$ é $\mathcal{F}/\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável se, e somente se $A\in\mathcal{F}$ .

35.

Sejam $X$ uma variável aleatória e $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função mensurável. Defina $Y(\omega)=g(X(\omega))$ . Mostre que $Y$ é uma variável aleatória. Mostre que $\sigma(Y)\subseteq\sigma(X)$ .

36.

Sejam $A$ e $B$ subconjuntos de $\Omega$ e $f:\Omega\to\mathbb{R}$ a função $f=a\mathds{1}_{A}+b\mathds{1}_{B}$ com $a,b>0$ . Descreva $\sigma(f)$ explicitamente.

37.

Sejam $\mu$ a medida de contagem em $\mathbb{Z}$ e $f(x)=|x|$ . Descreva a medida $f_{*}\mu$ explicitamente.

38.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias estendidas. Defina

X=\begin{cases}\lim_{n}X_{n},&\text{se o limite existe,}\\ 0,&\text{caso contr\'{a}rio.}\end{cases}

Mostre que $X$ é uma variável aleatória estendida.

39.

Considere o espaço mensurável $([0,1],\mathcal{B}([0,1]))$ , e defina as funções $f,g:[0,1]\to\{0,1,2,3\}$ por

$f(\omega)=\begin{cases}1,&\omega\in[0,\frac{1}{4}]\\ 2,&\omega\in(\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\\ 3,&\omega\in(\frac{1}{2},1]\end{cases}$ , $g(\omega)=\begin{cases}0,&\omega\in[0,\frac{1}{2}]\\ 1,&\omega\in(\frac{1}{2},1]\end{cases}$ .

Verifique explicitamente que $\sigma(g)\subseteq\sigma(f)$ .