4.6 Exercícios

Seja $(X,Y)$ vetor aleatório tal que $(X,Y)\sim(Y,X)$. Mostre que $\mathbb{P}(X\geqslant Y)=\frac{1+\mathbb{P}(X=Y)}{2}$.

Sejam $X\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(2,\frac{1}{2})$ e $Y\sim\mathcal{U}[0,2]$ variáveis aleatórias independentes. Esboce o gráfico da função de distribuição de $\min(X,Y)$.

Seja $X$ uma variável aleatória qualquer. Mostre que $X$ é independente de si mesma se, e somente se, existe $c\in\mathbb{R}$ tal que $\mathbb{P}(X=c)=1$.

Sejam $X_{1},\dots,X_{n}$ variáveis aleatórias independentes, com $X_{k}\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$ para todo $k=1,\dots n$. Determine a função de distribuição de $Y=\min\{X_{1},\dots,X_{n}\}$. Trata-se de alguma distribuição conhecida? Se sim, qual?

Sejam $Y$ e $U$ duas variáveis aleatórias independentes e com leis $Y\sim\mathcal{N}(0,1)$ e $\mathbb{P}(U=-1)=\mathbb{P}(U=+1)=\frac{1}{2}$. Ache a distribuição de $Z=UY$.

Um ponto $P$ é escolhido com distribuição uniforme no círculo unitário $C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}<1\}$. Informalmente, isso quer dizer que a probabilidade de $(X,Y)$ tomar valor em algum conjunto $A\subseteq C$ é dada pela razão entre as áreas de $A$ e de $C$.

1. (a)
   ​

   Sejam $(X,Y)$ as coordenadas cartesianas de $P$. As variáveis $X$ e $Y$ são independentes? Justifique.

2. (b)
   ​

   Sejam $(R,\theta)$ as coordenadas polares de $P$. Determine as funções de distribuição marginal $F_{R}$ e $F_{\theta}$ bem como a conjunta $F_{R,\theta}$.
   Dica: Utilize apenas argumentos geométricos.

3. (c)
   ​

   As variáveis $R$ e $\theta$ são independentes? Justifique.

Dentre as funções abaixo, quais poderiam ser funções de distribuição conjunta de algum vetor aleatório?

1. (a)
   $$F(x,y)=\begin{cases}1-\frac{1}{xy},&x,y\geqslant 1,\\ 0,&x<1\text{ ou }y<1.\end{cases}$$
2. (b)
   $$F(x,y)=\begin{cases}1-e^{-x}-e^{-y}+e^{-x-y},&x,y\geqslant 0,\\ 0,&x<0\text{ ou }y<0.\end{cases}$$
3. (c)
   $$F(x,y)=\begin{cases}1-e^{-x-y},&x,y\geqslant 0,\\ 0,&x<0\text{ ou }y<0.\end{cases}$$

Suponha que $p_{X,Y}(0,1)=p_{X,Y}(1,0)=p_{X,Y}(1,2)=p_{X,Y}(2,1)=\frac{1}{4}$.

1. (a)
   ​

   Encontre as distribuições marginais de $X$ e $Y$.

2. (b)
   ​

   Determine se $X$ e $Y$ são independentes.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes, discretas e com distribuições Poisson($\lambda_{1}$) e Poisson($\lambda_{2}$), respectivamente. Mostre que, dada a ocorrência do evento $\{X+Y=n\}$, a probabilidade condicional de $X=k$ é

Interprete essa identidade.

Sejam $n\in\mathbb{N}$ e $(X,Y)$ com função de probabilidade conjunta

1. (a)
   ​

   Determine o valor da constante $c$.

2. (b)
   ​

   Determine as distribuições marginais de $X$ e $Y$.

3. (c)
   ​

   $X$ e $Y$ são independentes?

Seja $(X,Y,Z)$ um vetor aleatório com função de densidade conjunta dada por

Encontre o valor de $c$ e a função de densidade marginal de $X$.

Considere um vetor aleatório $(Z,W)$ absolutamente contínuo com densidade

Encontre $c$ e $F_{Z,W}$.

Uma densidade conjunta de $X$ e $Y$ é dada por

Encontre a constante $c$. Diga se $X$ e $Y$ são independentes e por quê.

Seja $(X,Y)$ um vetor aleatório absolutamente contínuo com função de distribuição conjunta dada por $F_{X,Y}(x,y)=0$ se $x<0$ ou $y<0$ e $F_{X,Y}(x,y)=1-e^{-x}+e^{-x-y}-xe^{-x}-e^{-y}+xe^{-x-y}$ caso contrário.

1. (a)
   ​

   Encontre uma densidade conjunta e diga se $X$ e $Y$ são independentes.

2. (b)
   ​

   Encontre a distribuição marginal $F_{Y}$.

Seja ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},X_{2})$ um vetor com densidade conjunta dada por

Tal vetor é dito ter distribuição normal bivariada com parâmetros $\mu_{1},\mu_{2}\in\mathbb{R}$, $\sigma_{1},\sigma_{2}>0$ e $\rho\in[0,1)$. Mostre que:

1. (a)
   ​

   $X_{1}\sim\mathcal{N}(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$ e $X_{2}\sim\mathcal{N}(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$.

2. (b)
   ​

   As variáveis $X_{1}$ e $X_{2}$ são independentes se, e somente se, $\rho=0$.

Sejam $Z_{1},Z_{2},\dots,Z_{n}$ variáveis aleatórias i.i.d. assumindo valores no conjunto $\{z_{1},\dots,z_{r}\}$ tais que $\mathbb{P}(Z_{1}=z_{j})=p_{j}$ para todo $j=1,\dots,r$ (onde $p_{1}+\dots+p_{r}=1$). Defina o vetor aleatório ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},\dots,X_{r})$, onde para cada $k=1,\dots,r$, $X_{k}=\#\{j:Z_{j}=k\}$. Determine a distribuição do vetor ${\boldsymbol{X}}$. Dizemos que o vetor ${\boldsymbol{X}}$ tem distribuição multinomial de parâmeros $n,p_{1},\dots,p_{r}$.

Sejam $X\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda)$ e $Y\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\mu)$ independentes. Qual a distribuição de $X+Y$?

Sejam $X_{1},X_{2},\dots,X_{k}$ variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição $\mathop{\mathrm{Geom}}\nolimits(p)$. Qual a distribuição de $X_{1}+\dots+X_{k}$? É alguma distribuição conhecida?

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes ambas com distribuição geométrica de parâmetro $p$. Determine a função de probabilidade de $X-Y$.

Sejam $X_{1},\dots,X_{n}$ variáveis aleatórias independentes, com $X_{k}\sim\mathcal{U}[-k,+k]$ para todo $k=1,\dots n$. Calcule $\mathbb{P}(X_{1}+\dots+X_{n}\geqslant 0)$.

Sejam $X_{1},\dots,X_{n}$ variáveis independentes e identicamente distribuídas com distribuição $\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$, mostre que $X_{1}+\dots+X_{n}\sim\mathop{\mathrm{Gama}}\nolimits(n,\lambda)$.

Uma caixa contém $10$ parafusos, cujos tamanhos são normais independentes, com $\mu=21{,}40\,\mathrm{mm}$ e $\sigma=0{,}50\,\mathrm{mm}$. Calcule a probabilidade de que nenhum dos parafusos tenha mais de $22{,}0\,\mathrm{mm}$.

Um elevador pode suportar uma carga de $10$ pessoas ou um peso total de $750\,\mathrm{kg}$. Assumindo que apenas homens tomam o elevador e que seus pesos são normalmente distribuídos com $\mu=74{,}0\,\mathrm{kg}$ e $\sigma=2{,}00\,\mathrm{kg}$, qual a probabilidade de que o peso limite seja excedido para um grupo de $10$ homens escolhidos aleatoriamente?

A distribuição dos comprimentos dos elos da corrente de bicicleta é normal, com parâmetros $\mu=2{,}00\,\mathrm{cm}$ e $\sigma^{2}=0{,}01\,\mathrm{cm}^{2}$. Para que uma corrente se ajuste à bicicleta, deve ter comprimento total entre $58{,}00$ e $61{,}00\,\mathrm{cm}$. Qual é a probabilidade de uma corrente com $30$ elos não se ajustar à bicicleta?

O peso de uma determinada fruta é uma variável aleatória com distribuição normal $\mu=200{,}0\,\mathrm{g}$ e $\sigma=50{,}0\,\mathrm{g}$. Determine a probabilidade de um lote contendo $100$ unidades dessa fruta pesar mais que $21{,}00\,\mathrm{kg}$ e diga com quantos algarismos significativos é possível determinar essa probabilidade.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes, ambas com distribuição $\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(1)$.

1. (a)
   ​

   Use o método do jacobiano para determinar a distribuição conjunta de $X+Y$ e $\frac{X}{X+Y}$.

2. (b)
   ​

   Diga se $X+Y$ e $\frac{X}{X+Y}$ são independentes.

3. (c)
   ​

   Encontre a distribuição de $\frac{X}{X+Y}$.

Sejam $X$ e $Y$ independentes com densidades $f_{X}$ e $f_{Y}$. Usando o método do jacobiano, dê uma prova alternativa para a fórmula

Sugestão: Encontre a densidade conjunta de $X+Y$ e $Y$.

Se $X$ e $Y$ são independentes e distribuídas como $\mathcal{N}(0,1)$, mostre que $4X+3Y$ e $3X-4Y$ são independentes e ambas distribuídas como $\mathcal{N}(0,25)$.

Sejam $X$ e $Y$ independentes com distribuição $\mathcal{U}[0,1]$, e defina $W=X+Y$ e $Z=X-Y$. Calcule a densidade conjunta de $W$ e $Z$, e determine se elas são independentes.