14.2 Teorema Ergódico de Birkhoff

Sejam $T$ uma transformação que preserva medida e $A\in\mathcal{E}$ . O Teorema de Recorrência de Poincaré nos diz que a órbita de quase todo ponto ${x}\in A$ retornará ao conjunto $A$ infinitas vezes. É natural perguntarmos com que frequência ocorrem tais visitas. Mais precisamente, será que a frequência relativa

\frac{\#\{k\in\{0,\dots,n-1\}:T^{k}({x})\in A\}}{n}

com que a órbita de ${x}$ visita $A$ durante seus $n$ primeiros passos tem algum comportamento assintótico quando $n\to\infty$ ?

A pergunta acima pode ser colocada em um contexto mais geral. Seja $f:{E}\to\mathbb{R}$ uma função mensurável, isto é, um observável que depende do estado ${x}$ da nossa dinâmica. O valor médio dos valores observados de $f$ ao longo dos $n$ primeiros passos da órbita de ${x}$ é dado pelo quociente

\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(T^{k}({x})).

Há algum comportamento de longo prazo para o quociente acima? Ele converge? Se sim, qual o limite? Converge em que sentido? Poderia convergir para o valor médio de $f$ com respeito a $\mu$ ?²³²³ 23 Questões como estas precederam à abordagem matemática e têm suas origens na Física-Estatística, notadamente no desenvolvimento da Teoria dos Gases com Boltzmann e outros. Um grande avanço, do ponto de vista matemático, ocorreu no ano de 1931 quando Birkhoff e von Neumann anunciaram, de modo independente, suas versões do Teorema Ergódico.

É intuitivo que este comportamento de longo prazo deva depender de quanto a transformação $T$ revolve o espaço ${E}$ .

Definição 14.13.

Dizemos que um conjunto $A\in\mathcal{E}$ é $T$ -invariante se $T^{-1}(A)=A$ . Denotamos por $\mathcal{I}_{T}=\{A\in\mathcal{E}:T^{-1}(A)=A\}$ a classe dos conjuntos $T$ -invariantes. Dizemos que uma função mensurável $f:{E}\to\mathbb{R}$ é $T$ -invariante se $f=f\circ T$ .

Em palavras, a classe $\mathcal{I}_{T}$ é formada pelas regiões do espaço $E$ que não se mesclam com seu complementar quando aplicamos $T$ .

Exercício 14.14.

Mostre que $\mathcal{I}_{T}$ é uma $\sigma$ -álgebra. Mostre que $f$ é $T$ -invariante se, e somente se, for $\mathcal{I}_{T}$ -mensurável. ∎

Daqui em diante vamos usar $\mathbf{E}$ para denotar a integral com respeito a $\mu$ . Com isso, poderemos usar a conveniente notação de esperança condicional.

Teorema 14.15 (Teorema Ergódico de Birkhoff).

Sejam $T$ uma transformação que preserva medida no espaço de probabilidade $({E},\mathcal{E},\mu)$ e $f:{E}\to\mathbb{R}$ uma função mensurável e integrável. Então,

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}=\mathbf{E}[f|\mathcal% {I}_{T}]\qquad\text{q.t.p.}

Antes da demostração do Teorema de Birkhoff, precisaremos do lema abaixo

Lema 14.16.

Seja $T:{E}\to E$ transformação que preserva medida e $g:{E}\to\mathbb{R}$ uma função mensurável e integrável. Então

\int_{A}g\,\mathrm{d}\mu\geqslant 0,

onde

A=\Big{\{}x\in E:\limsup_{n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}g(T^{k}(x))>0\Big{\}}.

Demonstração.

Defina $S_{n}=\sum_{j=0}^{n-1}g\circ T^{j}$ e $G_{n}=\max\big{\{}S_{1},\dots,S_{n}\big{\}}$ . Observe que $(G_{n})_{n}$ é não-decrescente, que $G_{n}\circ T+g=\max\{S_{2},\dots,S_{n+1}\}$ e que

G_{n+1}=\max\{S_{1},\dots,S_{n+1}\}=\max\{g,G_{n}\circ T+g\}=g+[G_{n}\circ T]^% {+}.

Subtraindo,

G_{n+1}-G_{n}\circ T=g+[G_{n}\circ T]^{-}.

Agora, observe que, se $x\in A$ , então existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $G_{k}(T(x))\geqslant 0$ e, neste caso, $G_{n+1}(x)-G_{n}(T(x))=g(x)$ para todo $n\geqslant k$ . Portanto,

G_{n+1}(x)-G_{n}(T(x))\to g(x)\quad\text{ para todo }x\in A.

Tomando o limite dentro da integral, obtemos

0\leqslant\int_{A}(G_{n+1}-G_{n})\mathrm{d}\mu=\int_{A}(G_{n+1}-G_{n}\circ T)% \mathrm{d}\mu\to\int_{A}g\,\mathrm{d}\mu,

que é o que queríamos demonstrar. Na igualdade usamos que $T$ preserva medida e $A\in\mathcal{I}_{T}$ . Para justificar o limite dentro da integral, observamos que $|G_{n+1}-G_{n}\circ T|\leqslant|g|+|g\circ T|$ , que é integrável por hipótese. ∎

Demonstração do Teorema Ergódico de Birkhoff.

Seja $\varepsilon>0$ e tome

g=f-\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]-\varepsilon.

Como $f=\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]+\varepsilon+g$ e os dois primeiros termos são $T$ -invariantes,

\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}=\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]+% \varepsilon+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}g\circ T^{k}\quad\text{ q.t.p.}

para todo $n\in\mathbb{N}$ . Definindo o conjunto $A$ como no Lema 14.16, temos que

0\leqslant\int_{A}(f-\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]-\varepsilon)\,\mathrm{d}\mu% =-\varepsilon\mu(A),

donde $\mu(A)=0$ , e, portanto,

\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}\leqslant\mathbf{E}% [f|\mathcal{I}_{T}]+\varepsilon\quad\text{ q.t.p.}

Aplicando o mesmo argumento à função $g=-f+\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]-\varepsilon$ , obtemos

\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}\geqslant\mathbf{E}% [f|\mathcal{I}_{T}]-\varepsilon\quad\text{ q.t.p.}

e como $\varepsilon$ é arbitrário, isso conclui a prova. ∎

Corolário 14.17.

Se $T$ é uma transformação que preserva a medida $\mu$ , então, para todos $A,B\in\mathcal{E}$ ,

\lim_{n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\mu\left(T^{-k}(A)\cap B\right)=\mathbf{E}% \big{[}\mathds{1}_{B}\cdot\mathbf{E}[\mathds{1}_{A}|\mathcal{I}_{T}]\big{]}.

Demonstração.

Denotando $f=\mathds{1}_{A}$ , temos $\mu(T^{-k}(A)\cap B)=\mathbf{E}[\mathds{1}_{B}\cdot f\circ T^{k}]$ . Assim,

\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\mu\left(T^{-k}(A)\cap B\right)

\displaystyle=\mathbf{E}\Big{[}\mathds{1}_{B}\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f% \circ T^{k}\Big{]}\to\mathbf{E}\Big{[}\mathds{1}_{B}\cdot\mathbf{E}[\mathds{1}% _{A}|\mathcal{I}_{T}]\Big{]}.

A convergência vale pelos Teorema Ergódico de Birkhoff e Teorema da Convergência Dominada, já que $|\mathds{1}_{B}(x)|\leqslant 1$ e $|\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}(x)|\leqslant 1$ para todo $x\in E$ . ∎