14.4 Rotação do círculo

Seja $\lambda=\tfrac{p}{q}\in\mathbb{Q}$ com $p\in\mathbb{Z}$ e $q\in\mathbb{N}$. Considerando o evento

podemos ver que $A$ é $T$-invariante e $\mu(A)=\tfrac{1}{2}$, logo $T$ não é ergódica.

Vamos supor daqui em diante que $\lambda$ é irracional.

Provaremos inicialmente que $T$ é ergódica usando séries de Fourier. Uma prova auto-contida porém mais tediosa será dada mais abaixo.

Seja $f:[0,1)\to\mathbb{R}$ uma função mensurável limitada, periódica de período $1$ e $T$-invariante. Da Análise de Fourier, sabemos que existe a única sequência $(a_{n})_{n\in\mathbb{Z}}$ tal que $g_{k}\to f$ em $\mathcal{L}^{2}$ quando $k\to\infty$, onde

Substituindo $x$ por $T(x)$ na equação acima,

Por outro lado, como $g_{k}\to f$ em $\mathcal{L}^{2}$ e $T$ preserva medida, segue que $g_{k}\circ T\to f\circ T$ em $\mathcal{L}^{2}$. E como $f\circ T=f$, temos que $g_{k}\circ T\to f$ em $\mathcal{L}^{2}$.

Assim, pela unicidade da sequência $(a_{n})_{n\in\mathbb{Z}}$, concluímos que

Entretanto, como $\lambda$ é irracional, $e^{2\pi in{\lambda}}\neq 1$, logo $a_{n}=0$, para todo $n\neq 0$. Portanto $f(x)=a_{0}$ para quase todo ponto $x$. Logo, $f$ é constante q.t.p. Pela Proposição 14.19, $T$ é ergódica.

Vejamos agora que $T$ não é misturadora.

Observamos inicialmente que, para todos $x\in[0,1)$ e $I\subseteq[0,1)$ intervalo aberto não-vazio, $T^{n}(x)\in I$ para infinitos valores de $n$, isto é, a órbita de $x$ é densa em $[0,1)$. A demonstração fica como exercício.

Agora tome $A=B=[0,\tfrac{1}{2})$. Como consequência do fato de que as órbitas são densas, temos $\mu(T^{-n}(A)\cap B)<\frac{1}{8}$ para infinitos valores de $n$, mas $\mu(A)\cdot\mu(B)=\frac{1}{4}$, logo $T$ não pode ser misturadora.

Faremos aqui uma prova alternativa de que $T$ é ergódica. Ela será mais longa. Todavia, não será necessário o uso de Análise de Fourier.

Seja $A\in\mathcal{I}_{T}$. Faremos uma sucessão de aproximações para concluir que

donde segue que $\mathds{1}_{A}(x)=\mu(A)$ q.t.p. e, portanto, $\mu(A)=0$ ou $1$.

Seja $\varepsilon>0$. Mostraremos primeiro que existe $\delta>0$ e uma função $f:\mathbb{R}\to[0,1]$ periódica de período $1$ tal que

e tal que

para todos $x,y\in\mathbb{R}$ tais que $|x-y|<\delta$.

Com efeito, Pelo Teorema 13.5 (aproximação por álgebras), existe um boreliano $B\subseteq[0,1)$ da forma $B=\cup_{j=1}^{k}[a_{j},b_{j})$ e tal que $\mu(A\triangle B)<\varepsilon$. Agora defina $f(x)=0$ para $x\in[0,1)\setminus B$ e $f(x)=1$ para $x$ tal que $a_{j}+\frac{\varepsilon}{2k}\leqslant x\leqslant b_{j}-\frac{\varepsilon}{2k}$ para algum $j$. Definimos $f$ nos intervalos restantes interpolando linearmente. Isso define $f$ em $[0,1)$, depois definimos $f$ para todo $x\in\mathbb{R}$ de forma periódica. Como $\int_{0}^{1}|f(x)-\mathds{1}_{B}(x)|\mathrm{d}x<\varepsilon$, vale (14.36). Ademais, tomando $\delta=\frac{\varepsilon^{2}}{2k}$, também vale (14.37).

Agora, usando (14.36), mostraremos que

Com efeito,

onde a igualdade vale porque $T$ preserva medida e $A$ é $T$-invariante.

Finalmente, mostraremos que,

onde $\alpha=\int_{0}^{1}f\,\mathrm{d}\mu$. Para isso, vamos mostrar que, para todo $y\in[0,1)$,

Seja $y\in[0,1)$. Como as órbitas de $T$ são densas em $[0,1)$, existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $|T^{n}(0)-y|<\delta$. Daí decorre que $|f(x+y)-f(T^{n}(x))|<\varepsilon$ para todo $x\in[0,1)$. Combinando essa desigualdade com (14.38), obtemos (14.40). Invertendo as integrais, obtemos

onde usamos o Teorema de Tonelli para inverter as integrais, provando (14.39).

Para concluir, observe que $|\alpha-\mu(A)|<2\varepsilon$ por (14.36) e, combinando com (14.36) e (14.39), obtemos

Como $\varepsilon$ é arbitrário, $\int_{0}^{1}|\mathds{1}_{A}-\mu(A)|\,\mathrm{d}\mu=0$, o que termina a prova.