2.1 Probabilidade condicional

A probabilidade condicional é uma nova medida de probabilidade, de forma a representar melhor as chances de eventos aleatórios a partir da observação da ocorrência ou não de um dado evento.

Definição 2.1 (Probabilidade Condicional).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ espaço de probabilidade e $A,B\in\mathcal{F}$ eventos, com $\mathbb{P}(B)>0$ , definimos a probabilidade condicional de $A$ dado $B$ por

\mathbb{P}(A\,|\,B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.

Quando $\mathbb{P}(B)=0$ , definimos $\mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(A)$ .

Observe que quando $\mathbb{P}(B)=0$ , a razão $\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$ seria da forma “ $\frac{0}{0}$ ”. Alguns livros preferem não definir a probabilidade condicional $\mathbb{P}(A\,|\,B)$ quando $\mathbb{P}(B)=0$ , já outros optam por definir $\mathbb{P}(A\,|\,B)$ como $0$ ou $\mathbb{P}(A)$ . Esta última definição faz com que a maioria dos teoremas estabelecidos neste capítulo permaneçam válidos sem que tenhamos que supor que $\mathbb{P}(B)>0$ ou considerar o caso $\mathbb{P}(B)=0$ separadamente.

Proposição 2.2.

Dado $B\in\mathcal{F}$ , a função que leva $A$ em $\mathbb{P}(A|B)$ é uma medida de probabilidade em $(\Omega,\mathcal{F})$ , isto é, satisfaz às condições da Definição 1.34.

Demonstração.

Se $\mathbb{P}(B)=0$ , não há nada a provar pois temos $\mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(A)$ e $\mathbb{P}$ é uma medida de probabilidade. Considerando que $\mathbb{P}(B)>0$ , pela definição de probabilidade condicional, $\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}\geqslant 0$ , pois o denominador é positivo e o numerador é não-negativo;

\mathbb{P}(\Omega|B)=\frac{\mathbb{P}(\Omega\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{% \mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)}=1;

se $(A_{n})_{n}$ é uma sequência de eventos disjuntos,

	$\displaystyle\mathbb{P}(\cup_{n}A_{n}\|B)$	$\displaystyle=\frac{\mathbb{P}((\cup_{n}A_{n})\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{% \mathbb{P}(\cup_{n}(A_{n}\cap B))}{\mathbb{P}(B)}$
		$\displaystyle=\frac{\sum_{n}\mathbb{P}(A_{n}\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\sum_{n}% \mathbb{P}(A_{n}\|B),$

onde na segunda igualdade utilizamos a distributividade da união com respeito à interseção e na terceira o fato dos eventos $(A_{n}\cap B)_{n}$ também serem disjuntos. Isto conclui que a função que leva $A$ em $\mathbb{P}(A|B)$ é de fato uma medida de probabilidade. ∎

Exemplo 2.3.

Um dado é lançado. Sabendo-se que o resultado é maior que $3$ , qual a probabilidade de que seja par? Denotamos o primeiro evento por $B=\{4,5,6\}$ e o segundo por $A=\{2,4,6\}$ . Aplicando a definição, a probabilidade de ser par sabendo-se que o resultado é maior que $3$ é dada por

\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{\mathbb{P}(\{4% ,6\})}{\mathbb{P}(\{4,5,6\})}=\frac{2/6}{3/6}=\frac{2}{3}.\qed

Exemplo 2.4.

Suponha que, numa dada população, aproximadamente 30% dos genes de cor de olhos seja para olho claro $c$ , e aproximadamente $70\%$ seja para olhos escuros $C$ . Suponha também que os casais se formam e decidem ter filhos aleatoriamente (sem nenhuma influência da cor dos olhos), de forma que os genes $C$ e $c$ estejam uniformemente espalhados por toda uma população. Assim, um indivíduo escolhido aleatoriamente nesta população terá os genes $cc$ com probabilidade $0{,}090$ , ou $Cc$ com probabilidade $0{,}42$ , ou $CC$ com probabilidade $0{,}49$ . Como ter olhos claros é uma característica genética recessiva, apenas o primeiro grupo terá olhos claros, enquanto os dois últimos terão o mesmo fenótipo, de olhos escuros. Uma pessoa de olhos escuros é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha o gene recessivo para olhos claros? Denotando $B=$ “olhos escuros” $=\{Cc,CC\}$ e $A=$ “tem um gene de olhos claros” $=\{cc,Cc\}$ , temos

\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{\mathbb{P}(\{% Cc\})}{\mathbb{P}(\{Cc,CC\})}\approx\frac{0{,}42}{0{,}91}\approx 0{,}46,

com dois algarismos significativos. ∎

2.1.1 Regra do Produto

A Regra do Produto permite expressar a probabilidade da ocorrência simultânea de diversos eventos a partir do valor de cada probabilidade condicional de cada um deles dados os eventos anteriores.

Teorema 2.5 (Regra do Produto).

Dados os eventos $A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$ ,

\mathbb{P}(A_{1}\cap\cdots\cap A_{n})=\mathbb{P}(A_{1})\mathbb{P}(A_{2}|A_{1})% \mathbb{P}(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdots\mathbb{P}(A_{n}|A_{1}\cap A_{2}\cap% \cdots\cap A_{n-1}).

Demonstração.

Vamos provar por indução em $n$ . Para $n=1$ , a igualdade vale trivialmente. Para $n=2$ , se $\mathbb{P}(A_{1})>0$ , então

\mathbb{P}(A_{2}|A_{1})=\frac{\mathbb{P}(A_{2}\cap A_{1})}{\mathbb{P}(A_{1})},

donde

\mathbb{P}(A_{1}\cap A_{2})=\mathbb{P}(A_{1})\mathbb{P}(A_{2}|A_{1});

se $\mathbb{P}(A_{1})=0$ , então $\mathbb{P}(A_{1}\cap A_{2})=0$ , logo a igualdade acima continua válida. Suponhamos, por hipótese de indução, que o teorema seja válido para $n=m$ . Neste caso, para $n=m+1$ podemos desenvolver

	$\displaystyle\mathbb{P}(A_{1}\cap\cdots\cap A_{m+1})$	$\displaystyle=\mathbb{P}(A_{1}\cap\cdots\cap A_{m})\mathbb{P}(A_{m+1}\|A_{1}% \cap\cdots\cap A_{m})$
		$\displaystyle=\mathbb{P}(A_{1})\mathbb{P}(A_{2}\|A_{1})\mathbb{P}(A_{3}\|A_{1}% \cap A_{2})\cdots$
		$\displaystyle\ \ \ \ \cdots\mathbb{P}(A_{m}\|A_{1}\cap\cdots\cap A_{m-1})% \mathbb{P}(A_{m+1}\|A_{1}\cap\cdots\cap A_{m}).$

Com efeito, a primeira igualdade corresponde ao caso $n=2$ já demonstrado, e a segunda corresponde ao caso $n=m$ , o que completa a prova. ∎

Exemplo 2.6.

Um móvel tem duas gavetas, a primeira gaveta contém três bolsas e a segunda contém quatro bolsas. A primeira bolsa da primeira gaveta contém duas bolas vermelhas e uma bola azul, e todas as demais bolsas contêm duas bolas azuis. Abre-se uma gaveta, escolhe-se uma bolsa e retira-se uma bola de dentro da bolsa, tudo ao acaso. Qual a probabilidade de que a bola retirada seja vermelha? Denotando $A=$ “abre-se a primeira gaveta”, $B=$ “escolhe-se a primeira bolsa” e $C=$ “retira-se a bola vermelha”, pela Regra do Produto obtemos

\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(C|B\cap A)=% \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{9}.\qed

Exemplo 2.7.

Selecionar $3$ cartas de um baralho de $52$ cartas, ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de tirar 3 reis? Seja $A_{k}=$ “tirar rei na $k$ -ésima retirada” e $A=$ “tirar 3 reis” $=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}$ . Temos

\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A_{1})\mathbb{P}(A_{2}|A_{1})\mathbb{P}(A_{3}|A_{1}% \cap A_{2})=\frac{4}{52}\frac{3}{51}\frac{2}{50}=\frac{1}{5525}.\qed

Exemplo 2.8.

Continuando o Exemplo 2.4, quando um casal tem um filho, cada um dos pais transmite um dos seus dois genes com mesma probabilidade. Seleciona-se uma criança ao acaso. Qual a probabilidade de a criança e o pai ambos terem olhos claros? Definindo $A=$ “pai tem olhos claros”, $B=$ “filho tem olhos claros”, $D=$ “o gene transmitido pela mãe é $c$ ”, temos

\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B|A)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(D)% \approx 0{,}090\times 0{,}30=0{,}027,

com dois algarismos significativos. ∎

2.1.2 Lei da Probabilidade Total

Dizemos que $B_{1},B_{2},B_{3},\dots\in\mathcal{F}$ formam uma partição de $\Omega$ se são disjuntos e $\cup_{k}B_{k}=\Omega$ . Partições são particularmente úteis em contextos onde determinado aspecto divide os resultados possíveis em casos, e é possível expressar determinadas relações em cada um desses casos separadamente.

Teorema 2.9 (Lei da Probabilidade Total).

Sejam $A,B_{1},B_{2},B_{3},\dots$ eventos aleatórios em $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ tais que $B_{1},B_{2},B_{3},\dots$ formam uma partição de $\Omega$ . Então

\mathbb{P}(A)=\sum_{j=1}^{\infty}\mathbb{P}(B_{j})\mathbb{P}(A|B_{j}).

Demonstração.

Usando a Regra do Produto,

\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}\big{(}\cup_{j=1}^{\infty}(A\cap B_{j})\big{)}=\sum_{j% =1}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_{j})=\sum_{j=1}^{\infty}\mathbb{P}(B_{j})% \mathbb{P}(A|B_{j}).

A primeira igualdade vale porque $A=A\cap(\cup_{j=1}^{\infty}B_{j})=\cup_{j=1}^{\infty}(A\cap B_{j})$ . Na segunda igualdade usamos que esses eventos são disjuntos. Na última igualdade usamos a Regra do Produto. ∎

A Lei da Probabilidade Total é particularmente útil quando um experimento tem duas etapas, e é possível expressar as probabilidades condicionais de determinado aspecto da etapa final dados os possíveis resultados da etapa inicial.

Exemplo 2.10.

Um armário tem duas gavetas, $A$ e $B$ . A gaveta $A$ tem 2 meias azuis e 3 meias pretas, e a gaveta $B$ tem 3 meias azuis e 3 meias vermelhas. Abre-se uma gaveta ao acaso e retira-se uma meia ao acaso da gaveta escolhida. Qual a probabilidade de a meia escolhida ser azul? Para a solução, comecemos observando os valores conhecidos de probabilidade: $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)=\frac{1}{2}$ , $\mathbb{P}(\text{azul}|A)=\frac{2}{5}$ e $\mathbb{P}(\mbox{azul}|B)=\frac{3}{6}$ . Assim,

\mathbb{P}(\text{azul})=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(\mbox{azul}|A)+\mathbb{P}(B)% \mathbb{P}(\mbox{azul}|B)=\frac{1}{2}\,\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\,\frac{3}{6}=% \frac{9}{20}.\qed

2.1.3 Fórmula de Bayes

A Fórmula de Bayes

\mathbb{P}(B|A)=\frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(A)}\cdot\mathbb{P}(B),

cuja demonstração é imediata, na verdade reflete uma forma de raciocinar extremamente profunda. Estamos interessados na chance de ocorrência do evento $B$ , quando na verdade temos acesso à ocorrência ou não do evento $A$ . Antes de se observar a ocorrência de $A$ ou $A^{c}$ , a chance de ocorrência de $B$ , chamada de probabilidade a priori, é simplesmente $\mathbb{P}(B)$ . Uma vez observada a ocorrência de $A$ ou $A^{c}$ , procedemos a atualizar a chance do evento $B$ , multiplicando-a pelo fator de Bayes dado pela razão entre a probabilidade de se observar $A$ (ou $A^{c}$ ) no cenário em que $B$ ocorre e a probabilidade de se observar $A$ (ou $A^{c}$ ) em geral. O produto entre a probabilidade a priori e o fator de Bayes resulta no que chamamos de probabilidade a posteriori.

Claro que, usando essa fórmula, precisamos saber $\mathbb{P}(A|B)$ para calcular $\mathbb{P}(B|A)$ , mas em muitas situações aquela é mais fácil de calcular do que esta. Entre os exemplos mais simples, estão os experimentos em várias etapas em que observamos apenas o resultado final e queremos estimar as chances de distintas possibilidades nas etapas iniciais. Ou seja, quando queremos determinar a probabilidade condicional de eventos que precedem aquele efetivamente observado.

Exemplo 2.11.

Continuando o Exemplo 2.8, se selecionamos uma criança de olhos escuros ao acaso, qual a probabilidade de que o pai tenha olhos claros? Tomando $A=$ “a criança tem olhos claros”, $B=$ “o pai tem olhos claros”, e $D=$ “o pai transmite o gene de olhos claros”, temos

\mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(A|D\cap B)=\mathbb{P}(A|D)\approx 0{,}30

que representam a chance de a mãe também transmitir o gene de olhos claros. Pela Fórmula de Bayes,

\mathbb{P}(B|A^{c})=\frac{\mathbb{P}(A^{c}|B)}{\mathbb{P}(A^{c})}\mathbb{P}(B)% \approx\frac{0{,}70}{0{,}910}\cdot 0{,}090\approx 0{,}77\cdot 0{,}090\approx 0% {,}069,

com dois algarismos significativos. O valor $0{,}090$ é a probabilidade a priori de que o pai de uma criança selecionada ao acaso tenha olhos claros. O fator de Bayes resultante da observação de que a criança tem olhos escuros é $0{,}77$ , que por ser menor que $1$ reduz a probabilidade a posteriori para $0{,}069$ . ∎

Um uso particular da Fórmula de Bayes é quando conhecemos as probabilidades de uma sequência dos eventos $B_{j}$ que particionam $\Omega$ e as probabilidades condicionais de um evento $A$ dados os eventos dessa partição. Neste caso, podemos calcular as probabilidades condicionais de ocorrência de cada $B_{j}$ sabendo-se da ocorrência ou não do evento $A$ , pela fórmula

\mathbb{P}(B_{j}|A)=\frac{\mathbb{P}(A|B_{j})}{\mathbb{P}(A)}\cdot\mathbb{P}(B% _{j}).

Os valores originais $\mathbb{P}(B_{j})$ são as probabilidades a priori dos eventos $B_{j}$ , e os valores $\mathbb{P}(B_{j}|A)$ são as probabilidades a posteriori desses eventos. Como estamos supondo que é possível calcular $\mathbb{P}(B_{k})$ e $\mathbb{P}(A|B_{k})$ para todo $k$ , muitas vezes o denominador na Fórmula de Bayes será calculado pela Lei da Probabilidade Total, dando origem à fórmula

\mathbb{P}(B_{j}|A)=\frac{\mathbb{P}(B_{j})\mathbb{P}(A|B_{j})}{\sum_{k}% \mathbb{P}(B_{k})\mathbb{P}(A|B_{k})}.

Exemplo 2.12.

No Exemplo 2.10, sabendo-se que uma meia azul foi retirada, qual a probabilidade de ter sido aberta a gaveta $A$ ? Pela Fórmula de Bayes,

\mathbb{P}(A|\text{azul})=\frac{\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(\text{azul}|A)}{% \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(\mbox{azul}|A)+\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(\mbox{azul}|B)}% =\frac{\frac{1}{5}}{\ \frac{1}{2}\,\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\,\frac{3}{6}\ }=% \frac{4}{9}.\qed

	$\displaystyle\mathbb{P}(A_{1}\cap\cdots\cap A_{m+1})$	$\displaystyle=\mathbb{P}(A_{1}\cap\cdots\cap A_{m})\mathbb{P}(A_{m+1}\|A_{1}% \cap\cdots\cap A_{m})$
		$\displaystyle=\mathbb{P}(A_{1})\mathbb{P}(A_{2}\|A_{1})\mathbb{P}(A_{3}\|A_{1}% \cap A_{2})\cdots$
		$\displaystyle\ \ \ \ \cdots\mathbb{P}(A_{m}\|A_{1}\cap\cdots\cap A_{m-1})% \mathbb{P}(A_{m+1}\|A_{1}\cap\cdots\cap A_{m}).$