2.3 Exercícios

São dadas duas urnas, $A$ e $B$. A urna $A$ contém $1$ bola vermelha e $1$ azul. A urna $B$ contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola é extraída ao acaso de $A$ e colocada em $B$. Uma bola então é extraída ao acaso de $B$. Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de $B$? Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?

Paula fez uma prova na semana passada. A probabilidade de aprovação na prova é de $\frac{4}{5}$ caso ela tenha se preparado adequadamente, $\frac{1}{2}$ caso ela tenha estudado apenas na véspera, e $\frac{1}{10}$ caso ela não tenha estudado nada. Sabe-se que as probabilidades de ela ter estudado adequadamente, ter estudado apenas na véspera e não ter estudado nada são $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{5}$ e $\frac{1}{5}$, respectivamente. Qual a probabilidade de Paula ter estudado adequadamente dado que ela foi aprovada?

Seja $p$ a proporção de indivíduos na população que estão infectados por um determinado vírus. O exame laboratorial que detecta esse vírus apresenta um resultado falso negativo (indica que um indivíduo infectado está saudável) com probabilidade $\frac{1}{1{.}000}$; enquanto resultados do tipo falso positivo (indica que um indivíduo saudável está infectado) ocorrem com probabilidade $\frac{1}{50}$.

1. (a)
   ​

   Um indivíduo foi escolhido ao acaso e o resultado do exame foi positivo. Calcule $f(p)$, a probabilidade de esse indivíduo estar infectado.

2. (b)
   ​

   Quanto valem $\lim_{p\to 0^{+}}f(p)$ e o menor valor de $p$ para o qual $f(p)\geqslant\frac{1}{2}$. Interprete estes resultados.

Nesse problema, o parâmetro $p$ é chamado prevalência, $\frac{999}{1.000}$ é a chamada sensibilidade e $\frac{49}{50}$ é a chamada especificidade.

Considere uma questão de múltipla escolha com $n$ opções, e seja $p$ a probabilidade de determinado aluno saber resolver a questão. Se ele sabe resolver, acerta com certeza, e se não sabe, acerta com probabilidade $\frac{1}{n}$. Dado que ele acertou a resposta, qual a probabilidade de que ele sabia resolver? Calcule os limites dessa probabilidade quando $n\to\infty$ e quando $p\to 0^{+}$.

Sejam $A,B$ e $C$ eventos quaisquer. Mostre que

Zacarias é um sujeito bastante atrapalhado, ele perdeu sua carteira em uma de suas $n$ gavetas, cada uma delas em diferentes níveis de desordem. Seja $p_{k}$ a probabilidade de a carteira estar na $k$-ésima gaveta. Seja $q_{k}$ a probabilidade condicional de ele encontrar a carteira na $k$-ésima gaveta dado que ela lá está e a gaveta foi examinada. Calcule a probabilidade da carteira estar na primeira gaveta, dado que Zacarias abriu apenas a $k$-ésima gaveta e não encontrou sua carteira.

Sandro tem em seus bolsos 5 dados, cada um deles com a forma de um dos Poliedros de Platão e com as faces numeradas de um até o número de faces de cada dado. No bolso esquerdo estão o tetraedro, o cubo e o octaedro, enquanto dodecaedro e icosaedro estão no bolso direito. Sandro deve retirar aleatoriamente uma carta de um baralho comum, se a carta for de copas ele escolhe aleatoriamente um dos dados do bolso esquerdo, caso contrário, ele sorteia o dado do bolso direito. Sandro lançará o dado e ganhará um prêmio se a face sorteada for o número $1$. Calcule:

1. (a)
   ​

   A probabilidade de sair o número $1$.

2. (b)
   ​

   A probabilidade condicional de o dado retirado ter sido o cubo dado que saiu o número $1$.

Uma urna contém inicialmente $p$ bolas pretas e $b$ bolas brancas. É sorteada uma bola da urna, sua cor é observada, em seguida esta bola é devolvida à urna e também outra bola da mesma cor é adicionada à urna. Repetimos este procedimento indefinidamente. Seja $B_{n,k}$ o evento em que são retiradas exatamente $k$ bolas brancas nas $n$ primeiras extrações. Mostre que

Dica: Mostre por indução em $n$, para todo $p$ e $b$.

Um casal tem dois filhos que não são gêmeos. Calcule a probabilidade condicional de esse casal ter dois filhos homens, sabendo-se que:

1. (a)
   ​

   O casal tem um filho homem.

2. (b)
   ​

   O filho mais velho do casal é homem.

3. (c)
   ​

   O casal tem um filho homem que nasceu num sábado.

4. (d)
   ​

   O casal tem um filho homem que não nasceu num sábado.

Respostas aproximadas: $0{,}33$, $0{,}50$, $0{,}48$, $0{,}36$. Comente o porquê de o resultado do item (d) ser próximo ao do item (a) e o do item (c) ser próximo ao do item (b).

Sejam $B_{1},B_{2},\dots$ eventos disjuntos, $A$ e $C$ eventos aleatórios, e $\varepsilon\in[0,1]$. Mostre que:

1. (a)
   ​

   Se $\mathbb{P}(A|B_{n})\geqslant\varepsilon$ para todo $n$, então $\mathbb{P}(A|\cup_{n}B_{n})\geqslant\varepsilon$.

2. (b)
   ​

   Se $\mathbb{P}(A|B_{n})=\varepsilon$ para todo $n$, então $\mathbb{P}(A|\cup_{n}B_{n})=\varepsilon$.

3. (c)
   ​

   Se $\mathbb{P}(A|B_{n})=\mathbb{P}(C|B_{n})$ para todo $n$, então $\mathbb{P}(A|\cup_{n}B_{n})=\mathbb{P}(C|\cup_{n}B_{n})$.

Mostre que, se $A_{n}\downarrow A$ e $\mathbb{P}(A_{n+1}|A_{n})\leqslant\frac{2}{3}$ para todo $n$ então $\mathbb{P}(A)=0$.

Leonardo prometeu que iria enviar um e-mail para Bernardo até o final do dia. A probabilidade de ele realmente enviar o e-mail conforme prometido é de $\frac{8}{9}$. Cada e-mail enviado tem probabilidade $\frac{3}{4}$ se ser entregue, e probabilidade $\frac{1}{4}$ de ser perdido pelo caminho ou classificado como spam. Dado que Bernardo não recebeu o tal e-mail, calcule a probabilidade de que Leonardo não o tenha enviado.

Prove que dois eventos $A$ e $B$ são independentes se, e somente se, $\mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(A)$.

Prove que, se $A$ e $B$ são independentes, então $B$ é independente de $A^{c}$, e $A$ e $A^{c}$ são ambos independentes de $B^{c}$.

Sejam $A$ e $B$ eventos tais que $\mathbb{P}(A|B)=\frac{1}{4}$ e $\mathbb{P}(B|A)=\frac{1}{2}$.

1. (a)
   ​

   $A$ e $B$ podem ser independentes?

2. (b)
   ​

   $A$ e $B$ são necessariamente independentes?

3. (c)
   ​

   $A$ e $B$ podem ser disjuntos?

Prove ou dê contra-exemplo:
Para todo espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ e todos $A,B,C\in\mathcal{F}$, se $\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C)$, então $A,B$ e $C$ são independentes.

Sejam $A_{1},\dots,A_{n}$ eventos independentes. Sejam $B_{1},\dots,B_{n}$ eventos tais que, para todo $j=1,\dots,n$, ou $B_{j}=A_{j}$ ou $B_{j}=A_{j}^{c}$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $A_{1},\dots,A_{n-1},B_{n}$ são independentes.

2. (b)
   ​

   Mostre que $B_{1},\dots,B_{n-1},B_{n}$ são independentes.

Sejam $A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$ eventos independentes e suponha que $\#\Omega<2^{n}$. Mostre que $\mathbb{P}(A_{k})=0$ ou $1$ para algum $k=1,\dots,n$.

1. (a)
   ​

   Calcule a probabilidade de a carta sorteada ser uma das três figuras reais ($J,Q$ ou $K$).

2. (b)
   ​

   Sabendo-se que foi sorteada uma figura real, calcule a probabilidade de o baralho retirado ter sido o baralho comum.

3. (c)
   ​

   Calcule a probabilidade de a carta sorteada ser de espadas.

4. (d)
   ​

   Sabendo-se que foi sorteada uma carta de espadas, calcule a probabilidade de o baralho retirado ter sido o baralho de truco.

5. (e)
   ​

   Sejam $A=$ “Foi retirado o baralho comum”, $B=$ “Foi sorteada uma figura real” e $C=$ “Foi sorteada uma carta de espadas”. $A$ e $B$ são independentes? $A$ e $C$ são independentes? $A$, $B$ e $C$ são independentes?

6. (f)
   ​

   Qual a probabilidade de se sortear uma carta de número ‘5’?

7. (g)
   ​

   Sabendo-se que foi sorteado um número (isto é, não foi sorteado $A$, $J$, $Q$ nem $K$), qual a probabilidade de o baralho retirado ter sido o baralho de truco?

Dois dados comuns são lançados. Para $n=1,\dots,6$, seja $A_{n}$ o evento de sair $n$ no primeiro dado. Para $k=2,\dots,12$, seja $B_{k}$ o evento de a soma dos dois dados ser igual a $k$. Mostre que $A_{n}$ e $B_{k}$ são independentes se, e somente se, $k=7$.

Sejam $A$ e $(B_{n})_{n}$ eventos tais que $A$ e $B_{n}$ são independentes para todo $n$. Mostre que, se os eventos $(B_{n})_{n}$ são disjuntos, então $A$ e $\cup_{n}B_{n}$ são independentes. Exiba um exemplo ilustrando que a hipótese de que os $(B_{n})_{n}$ são disjuntos não pode ser omitida.