12.6 Decomposição de Doob

Nesta seção compreenderemos um pouco mais da estrutura dos submartingales, pois estes sempre poderão ser escritos como a soma de um martingale e um processo com propriedades especiais.

Definição 12.47.

Dizemos que o processo (An)n∈ℕ0(A_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}} é previsível com respeito à filtração (ℱn)n(\mathcal{F}_{n})_{n} se AnA_{n} é ℱn−1\mathcal{F}_{n-1}-mensurável para todo n∈ℕn\in\mathbb{N} e A0=0A_{0}=0.

O processo (Cn)n(C_{n})_{n} definido no preâmbulo deste capítulo é um exemplo de processo previsível. A variável CnC_{n} representa quanto o jogador decide apostar na nn-ésima rodada do jogo, esta é sempre determinada sabendo-se o resultado das n−1n-1 primeiras rodadas.

Teorema 12.48 (Teorema de Decomposição de Doob).

Sejam (ℱn)n∈ℕ0(\mathcal{F}_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}} uma filtração e (Xn)n∈ℕ0(X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}} um processo adaptado tal que 𝔼⁢|Xn|<∞\mathbb{E}|X_{n}|<\infty para todo n∈ℕ0n\in\mathbb{N}_{0}. Então existem um martingale (Mn)n(M_{n})_{n} e um processo previsível (An)n(A_{n})_{n} tais que Xn=Mn+AnX_{n}=M_{n}+A_{n} para todo n∈ℕ0n\in\mathbb{N}_{0}. Além disso, tal decomposição é única no sentido de que qualquer outra decomposição em martingale e processo previsível é igual a esta q.c.

Demonstração.

Defina A0=0A_{0}=0, M0=X0M_{0}=X_{0},

Mn+1=Mn+Xn+1−𝔼⁢[Xn+1|ℱn],M_{n+1}=M_{n}+X_{n+1}-\mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{F}_{n}],

e

An+1=An+𝔼⁢[Xn+1|ℱn]−XnA_{n+1}=A_{n}+\mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{F}_{n}]-X_{n}

para todo n∈ℕ0n\in\mathbb{N}_{0}. Por indução, verificamos que Xn=Mn+AnX_{n}=M_{n}+A_{n} somando as duas equações, e também que AnA_{n} é ℱn−1\mathcal{F}_{n-1}-mensurável e MnM_{n} é ℱn\mathcal{F}_{n}-mensurável diretamente das fórmulas. Ademais, tomando a esperança condicional com respeito a ℱn\mathcal{F}_{n}, vemos que 𝔼⁢[Mn+1|ℱn]=Mn\mathbb{E}[M_{n+1}|\mathcal{F}_{n}]=M_{n}. Logo, (Mn)n(M_{n})_{n} é um martingale. Isso mostra a existência da decomposição.

Para a unicidade, suponha que haja outra decomposição Xn=Mn′+An′X_{n}=M_{n}^{\prime}+A_{n}^{\prime} com (Mn′)n(M_{n}^{\prime})_{n} martingale e (An′)n(A_{n}^{\prime})_{n} processo previsível. Neste caso,

An+1′−An′=An+1+Mn+1−Mn+1′−An−Mn+Mn′.A_{n+1}^{\prime}-A_{n}^{\prime}=A_{n+1}+M_{n+1}-M_{n+1}^{\prime}-A_{n}-M_{n}+M% _{n}^{\prime}.

Tomando a esperança condicional com respeito a ℱn\mathcal{F}_{n}, obtemos

An+1′−An′\displaystyle A_{n+1}^{\prime}-A_{n}^{\prime} =𝔼⁢[An+1′−An′|ℱn]\displaystyle=\mathbb{E}[A_{n+1}^{\prime}-A_{n}^{\prime}|\mathcal{F}_{n}]
=𝔼⁢[An+1+Mn+1−Mn+1′−An−Mn+Mn′|ℱn]\displaystyle=\mathbb{E}[A_{n+1}+M_{n+1}-M_{n+1}^{\prime}-A_{n}-M_{n}+M_{n}^{% \prime}|\mathcal{F}_{n}]
=𝔼⁢[An+1−An|ℱn]=An+1−An⁢ q.c.,\displaystyle=\mathbb{E}[A_{n+1}-A_{n}|\mathcal{F}_{n}]=A_{n+1}-A_{n}\ \text{ % q.c.},

onde na primeira e terceira igualdades estamos utilizando que (An′)n(A_{n}^{\prime})_{n} e (An)n(A_{n})_{n} são previsíveis e na segunda que (Mn′)n(M_{n}^{\prime})_{n} e (Mn)n(M_{n})_{n} são martingales. Como A0=A0′=0A_{0}=A_{0}^{\prime}=0, concluímos que An=An′A_{n}=A_{n}^{\prime} q.c. e, por conseguinte, Mn=Mn′M_{n}=M_{n}^{\prime} q.c. para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}. ∎

A sequência (An)n(A_{n})_{n} que aparece na Decomposição de Doob acima é denominada compensador do processo (Xn)n(X_{n})_{n}. Observando que An+1−An=𝔼⁢[Xn+1−Xn|ℱn]A_{n+1}-A_{n}=\mathbb{E}[X_{n+1}-X_{n}|\mathcal{F}_{n}], temos que o processo previsível (An)n(A_{n})_{n} é q.c. não-decrescente se, e somente se, o processo (Xn)n(X_{n})_{n} é um submartingale.

Um caso particular muito importante é quando (Xn)n(X_{n})_{n} é um martingale com segundo momento finito e consideramos o submartingale (Xn2)n(X_{n}^{2})_{n}. Neste caso, a decomposição de Doob do submartingale é denotada Xn2=Mn+⟨X⟩nX_{n}^{2}=M_{n}+\langle X\rangle_{n}, e o compensador ⟨X⟩n\langle X\rangle_{n} é denominado variação quadrática do martingale (Xn)n(X_{n})_{n}. Pela Proposição 12.43, a variação quadrática satisfaz

𝔼⁢[⟨X⟩n]=𝔼⁢Xn2−𝔼⁢X02=∑k=1n𝔼⁢(Xk−Xk−1)2.\mathbb{E}[\langle X\rangle_{n}]=\mathbb{E}X_{n}^{2}-\mathbb{E}X_{0}^{2}=\sum_% {k=1}^{n}\mathbb{E}(X_{k}-X_{k-1})^{2}.
Exemplo 12.49.

Seja (Sn)n(S_{n})_{n} o passeio aleatório simétrico (quando p=12p=\tfrac{1}{2}), conforme definido no Exemplo 12.9, de forma que (Sn)n(S_{n})_{n} é um martingale com respeito à filtração (ℱn)n(\mathcal{F}_{n})_{n} induzida pelas parcelas (Xn)n(X_{n})_{n}. Pela equação acima, variação quadrática de (Sn)n(S_{n})_{n} é dada por ⟨S⟩n=n\langle S\rangle_{n}=n para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}. Isso também pode ser verificado diretamente, expandindo

An+1−An=𝔼⁢[Sn+12|ℱn]−Sn2=Sn2+2⁢Sn⁢𝔼⁢[Xn+1|ℱn]+𝔼⁢[Xn+12|ℱn]−Sn2=1,A_{n+1}-A_{n}=\mathbb{E}[S_{n+1}^{2}|\mathcal{F}_{n}]-S_{n}^{2}=S_{n}^{2}+2S_{% n}\,\mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{F}_{n}]+\mathbb{E}[X_{n+1}^{2}|\mathcal{F}_{n}% ]-S_{n}^{2}=1,

de forma que o compensador (An)n(A_{n})_{n} é dado por An=nA_{n}=n para todo nn. ∎