9.1 Teorema do Limite Central

Continuando a discussão do preâmbulo deste capítulo, não é difícil adivinhar a escala em que ocorre essa flutuação. De fato, sabemos que $\mathbb{E}S_{n}=n\,\mathbb{E}X_{1}=n\mu$ e, denotando $\sigma^{2}=\mathbb{V}X_{1}$ , temos $\mathbb{V}S_{n}=n\,\mathbb{V}X_{1}=n\sigma^{2}$ , logo

\sigma(S_{n})=\sigma\sqrt{n}.

Ou seja, a esperança da média observada é $\mu$ e seu desvio-padrão é $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Isso é uma indicação de que tipicamente as flutuações assumem valores da ordem $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Vamos supor que esse argumento está correto para tentar entender qual poderia ser o comportamento estatístico das flutuações nessa escala. Primeiro escrevemos

\frac{S_{n}}{n}=\mu+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,Y_{n},

de forma que $\mathbb{E}Y_{n}=0$ e $\mathbb{V}Y_{n}=1$ . Será que a distribuição de $Y_{n}$ se aproxima de alguma distribuição que não depende de $n$ ? Observe que, se $X_{n}\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ , vimos na Seção 4.3 que $S_{n}\sim\mathcal{N}(n\mu,n\sigma^{2})$ , logo $Y_{n}\sim\mathcal{N}(0,1)$ . Ou seja, pelo menos neste caso, $Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}\mathcal{N}(0,1)$ . Uma das razões pelas quais a distribuição normal é tão importante é que essa aproximação vale para qualquer distribuição com segundo momento finito.

Teorema 9.1 (Teorema do Limite Central, caso i.i.d.).

Seja $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. não-degeneradas com segundo momento finito. Tome $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n}$ . Então,

\frac{S_{n}-\mathbb{E}S_{n}}{\sqrt{\mathbb{V}S_{n}}}\overset{\smash{\mathrm{d}% }}{\rightarrow}\mathcal{N}(0,1).

(9.2)

Podemos reescrever o limite acima e obter, informalmente,

\frac{S_{n}}{n}\approx\mu+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,Z,

com $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ . Ou seja, a escala em que a média observada $\frac{S_{n}}{n}$ flutua em torno de $\mu$ é de fato dada por $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Ademais, seu comportamento nessa escala possui forte regularidade estatística, e sua distribuição se aproxima de uma normal padrão. Dito de outra forma, a distribuição de $S_{n}$ pode ser aproximada por uma normal com mesma média e variância: $S_{n}\approx\mathcal{N}(\mathbb{E}S_{n},\mathbb{V}S_{n}).$

Enfatizamos que o teorema acima é muito abrangente, pois ele vale para qualquer distribuição com segundo momento finito. Ainda assim, ele não dá uma ideia do verdadeiro nível de generalidade com que o fenômeno de aproximação à normal é observado na prática. Apesar de a hipótese $\mathbb{E}X_{k}^{2}<\infty$ ser necessária para que (9.2) faça sentido, e abandonar a hipótese de independência estaria acima dos nossos objetivos, podemos questionar a necessidade de as variáveis da sequência $(X_{n})_{n}$ terem a mesma distribuição.

Como regra geral, se $n$ é grande e cada uma das $X_{k}$ é pequena se comparada a $\sqrt{\mathbb{V}S_{n}}$ , então a distribuição de $\frac{S_{n}-\mathbb{E}S_{n}}{\sqrt{\mathbb{V}S_{n}}}$ é aproximadamente uma normal padrão. Esse fenômeno ocorre em diversas situações, quando uma grandeza é determinada pela contribuição de muitíssimos fatores, cada um deles pequeno se comparado com o todo, e ocorre mesmo que esses fatores não tenham a mesma distribuição. Por isso a distribuição normal surge em tantos contextos: erros de medidas em experimentos feitos com cuidado profissional, altura das pessoas em uma população homogênea em sexo e etnia, erros de horário em relógios de alto padrão, etc…

O enunciado abaixo, ainda simples, vai além do caso de distribuições idênticas, aceitamos em troca a hipótese de terceiros momentos limitados.

Teorema 9.3.

Seja $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes tais que, para algum $\varepsilon>0$ e algum $M<\infty$ , vale $\mathbb{E}|X_{n}^{3}|\leqslant M$ e $\mathbb{V}X_{n}\geqslant\varepsilon$ para todo $n$ . Então,

\frac{S_{n}-\mathbb{E}S_{n}}{\sqrt{\mathbb{V}S_{n}}}\overset{\smash{\mathrm{d}% }}{\rightarrow}\mathcal{N}(0,1).

O enunciado acima é um corolário do Teorema do Limite Central de Lyapunov, que será visto na Seção 9.3. Esse teorema é suficiente para a grande maioria das aplicações práticas. Sua prova é simples e bastante transparente.

Ainda sem questionar a hipótese de independência, poderíamos perguntar-nos se as hipóteses do Teorema de Lyapunov com respeito a variância e terceiro momento são realmente necessárias. A resposta é dada pelo Teorema do Limite Central de Lindeberg, visto na Seção 9.4. Ali vamos demonstrar o limite (9.2) sob hipóteses mínimas. Concluímos este capítulo com a Seção 9.5, onde provamos os Teoremas de Slutsky e o Método Delta, que têm importantes aplicações em Estatística.

Se ao Teorema 9.1 agregarmos a hipótese de terceiro momento finito, ele passa a ser um corolário do Teorema 9.3. Sem essa hipótese, será obtido como aplicação do Teorema do Limite Central de Lindeberg na Seção 9.4, ou como aplicação do Teorema da Continuidade de Lévy para funções características, que será vista mais adiante, no Capítulo 10.

O caso mais simples do Teorema do Limite Central é para distribuição de Bernoulli, conhecido como Teorema de De Moivre-Laplace. Sua demonstração requer apenas conhecimentos de Cálculo e alguma perseverança com contas, e este será o primeiro que veremos neste capítulo.

As três seções seguintes são independentes entre si, é possível ler qualquer uma delas mesmo tendo saltado as anteriores.

Figura 9.1: Função de probabilidade de $\smash{\frac{S_{n}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}}$ para $S_{n}$ com distribuições $\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(4,\frac{1}{2})$ e $\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(16,\frac{1}{2})$ para valores entre $-3$ e $3$ . A área de cada retângulo é dada pela função de probabilidade. O terceiro gráfico é a função de densidade de uma normal padrão, assim como as linhas pontilhadas. O quarto gráfico representa as frequências relativas de $\smash{\frac{S_{n}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}}$ para $S_{n}$ com distribuição $\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(16,\frac{1}{2})$ , em um experimento real com $200$ amostras.