9.6 Exercícios

Um par de dados honestos é lançado $180$ vezes por hora.

1. (a)
   ​

   Qual a probabilidade aproximada de que $25$ ou mais lançamentos tenham tido soma $7$ na primeira hora?

2. (b)
   ​

   Qual a probabilidade aproximada de que entre $700$ e $750$ lançamentos tenham tido soma $7$ durante $24$ horas?

Deseja-se estimar a proporção $p=\frac{M_{A}}{M}$ de eleitores do candidato $A$, que é desconhecida. Para isso, repete-se este processo $N$ vezes, obtendo-se $X_{1},\dots,X_{N}$. Para estimar o valor de $p$ considera-se

Supomos a priori que $p$ é bem próximo de $\frac{1}{2}$, de forma que $\mathbb{V}X\approx\frac{1}{4}$. Se entrevistamos $N=2500$ eleitores, calcule aproximadamente a probabilidade de essa pesquisa cometer um erro $|\widehat{p}_{N}-p|$ maior que $0{,}01$.

A quantidade de uvas-passas encontradas em cada panetone de uma determinada marca é independente dos demais panetones e segue a distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda=25$ (ou seja, tem esperança igual à variância, igual a $\lambda$). Um grupo de estudantes de férias resolve estimar o valor de $\lambda$, uma vez que o mesmo é desconhecido para eles. Para isso, vão contar as uvas-passas de uma amostra de $N=625$ panetones e registrar o resultado de cada contagem $X_{1},\dots,X_{N}$. A estimativa $\widehat{\lambda}_{N}$ para o valor de $\lambda$ que os estudantes vão adotar será dada por

1. (a)
   ​

   Qual é o valor aproximado da probabilidade de que o valor $\widehat{\lambda}_{N}$ esteja entre $24{,}8$ e $25{,}4$?

2. (b)
   ​

   Para que o erro $\big{|}\widehat{\lambda}_{N}-\lambda\big{|}$ fosse menor que $0{,}075$ com probabilidade pelo menos igual a $0{,}8664$, qual deveria ser o número $N$ de panetones examinados?

Use o Teorema do Limite Central para verificar que

Se lançamos 10.000 vezes uma moeda honesta, calcule aproximadamente a probabilidade de que o número de vezes que se obtém coroa seja no mínimo 4.893 e no máximo 4.967.

Sejam $(X_{n})_{n}$ i.i.d. com $\mathbb{P}(X_{1}=+1)=\mathbb{P}(X_{1}=-1)=\frac{1}{2}$ e considere o passeio aleatório dado por $S_{0}=0$ e $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$. Seja $Z_{n}$ o número de vezes que o passeio aleatório retorna ao ponto inicial $x=0$ até o tempo $n$. Mostre que $\lim_{n}\mathbb{E}Z_{n}=+\infty$.

Seja $\tau$ o primeiro tempo de retorno à origem do passeio aleatório simples simétrico definido no exercício acima. Mostre que, quando $n\to\infty$,

Dica: No Capítulo 1, provamos que $\mathbb{P}(\tau>2n)=\mathbb{P}(S_{2n}=0)$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes, mostre que vale (9.2) nos seguintes casos:

1. (a)
   ​

   $X_{n}\sim\mathcal{U}[0,n]$;

2. (b)
   ​

   $\mathbb{P}(X_{n}=n)=\mathbb{P}(X_{n}=-n)=\tfrac{1}{2}$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes tais que $X_{n}\sim\mathcal{U}[0,1]$ para $n$ par e $X_{n}\sim\mathcal{U}[0,2]$ para $n$ ímpar. Mostre que vale (9.2).

Seja $(Y_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes, com $Y_{n}\sim\mathcal{U}[-n,n]$ e defina $X_{n}=\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits Y_{n}$. Vale (9.2)?

Sejam $X_{1},\dots,X_{n},\dots$ variáveis aleatórias independentes tais que

Mostre que a sequência $(X_{n})_{n}$ satisfaz à condição de Lindeberg se, e somente se, $\alpha<\frac{3}{2}$.

Dê um exemplo de uma sequência $(X_{n})_{n}$ de variáveis aleatórias independentes, para a qual vale (9.2) mas não vale a condição de Lindeberg.
Dica: Tente com variáveis normais.

Dê um exemplo de uma sequência $(X_{n})_{n}$ de variáveis aleatórias independentes com média zero e variância um, para a qual não vale (9.2).
Dica: Tente com $\mathbb{P}(X_{n}^{2}=n^{2})=n^{-2}$.