Teorema A.1.1. (Cauchy).
Sejam \(f,g\colon [a,b]\to\R\) duas funções contínuas, que são deriváveis em \((a,b)\text{.}\) Então existe \(c\in (a,b)\) tal que
\begin{equation*}
\big(f(b)-f(a)\big)g'(c)=\big(g(b)-g(a)\big)f'(c)
\end{equation*}
Seção A.1 Cálculo 1
Demonstração.
Vamos construir uma função e aplicar a ela o Teorema de Rolle 1 . Consideremos então \(h\colon [a,b]\to\R\) dada por
\begin{equation*}
h(x)=\big(f(b)-f(a)\big)g(x)-\big(g(b)-g(a)\big)f(x).
\end{equation*}
Esta função é contínua em \([a,b]\) e derivável em \((a,b)\text{.}\) Cálculos diretos mostram que \(h(b)=g(a)f(b)-g(b)f(a)=h(a)\text{.}\) Segue, do Teorema de Rolle, que existe \(c\in (a,b)\) tal que \(h'(c)=0\text{,}\) ou seja,
\begin{equation*}
\big(f(b)-f(a)\big)g'(c)-\big(g(b)-g(a)\big)f'(c)=0.
\end{equation*}
Teorema A.1.3. (Fermat).
Seja \(f\colon ]a,b[\to\R\) derivável em \(x_0\in
]a,b[\text{.}\) Se \(x_0\) é um ponto de máximo ou mínimo local de \(f\text{,}\) então \(f'(x_0)=0\text{.}\)
Nota A.1.4.
O teorema não vale se o domínio de \(f\) é um intervalo fechado: \(f(x)=x\text{,}\) \(x\in [0,1]\text{,}\) não tem derivada nula em nenhum ponto e assume valores máximo e mínimo (nos extremos do intervalo).
O teorema não admite recíproca, ou seja, se \(f'(x_0)=0\) não podemos dizer que \(x_0\) é ponto de máximo ou mínimo local de \(f\text{:}\) \(f(x)=x^3\text{,}\) \(x\in ]-1,1[\text{,}\) é tal que \(f'(0)=0\text{,}\) mas \(x_0=0\) não é máximo nem mínimo local de \(f\text{.}\)
Demonstração.
Lembramos que \(f\) é derivável em \(x_0\text{,}\) se existe \(\rho\colon ]a,b[\to\R\) contínua em \(x_0\text{,}\) tal que
\begin{equation}
f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\rho(x),\tag{A.1.1}
\end{equation}
e, nesse caso, temos \(\rho(x_0)=f'(x_0)\text{.}\)
Suponha que \(x_0\) é um ponto de máximo local de \(f\text{.}\) O caso de mínimo local é análogo e um excelente exercício para testar sua compreensão da demonstração. Consideremos duas situações:
- \(f'(x_0)>0\text{:}\) nesse caso, \(\rho(x_0)>0\) e, da continuidade de \(\rho\text{,}\) temos que \(\rho(x)>0\) para todo \(x\in I\text{,}\) onde \(I\) é um intervalo aberto centrado em \(x_0\) e inteiramente contido em \(]a,b[\text{.}\) Se \(x\in I\text{,}\) \(x>x_0\text{,}\) então a equação (A.1.1) nos diz que\begin{equation*} f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\rho(x)>f(x_0), \end{equation*}contradizendo o fato de \(x_0\) ser máximo local.
- \(f'(x_0)<0\text{:}\) agora, \(\rho(x_0)<0\) e, como antes, \(\rho(x)<0\) para todo \(x\in I\text{,}\) onde \(I\) é um intervalo como o do caso anterior. Se \(x\in I\text{,}\) \(x<x_0\text{,}\) então a equação (A.1.1) nos diz que\begin{equation*} f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\rho(x)>f(x_0), \end{equation*}contradizendo o fato de \(x_0\) ser máximo local.
Com isso, só é possível \(f'(x_0)=0\text{.}\)
