Máximos e mínimos locais em abertos de \R^2

Seção A.8 Máximos e mínimos locais em abertos de \(\R^2\)

Iniciamos agora o estudo dos máximos e mínimos locais de funções de várias variáveis reais. Neste primeiro momento vamos tratar a situação análoga ao que vimos no Cálculo 1 para pontos de máximo e mínimo em intervalos abertos: o Teorema A.1.3 e o teste da segunda derivada, dado no Exercício 1.1.7.

Para tanto, estabelecemos as definições de ponts de máximos e mínimos (locais e globais) de uma função \(f\colon A\subseteq\R^n\to\R\) (faremos com \(n=2\text{,}\) mas tudo se generaliza funções de \(n\) variáveis a valores reais).

Definição A.8.1.

A bola aberta de centro em \((x_0,y_0)\) e raio \(r>0\) de \(\R^2\) é o conjunto

\begin{equation*} B_r(x_0,y_0)=\big\{(x,y)\in\R^2\colon\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<r\big\}. \end{equation*}

Definição A.8.2.

Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) e \((x_0,y_0)\in A\text{.}\) Dizemos que

\((x_0,y_0)\) é um ponto de máximo local de \(f\) se existe \(r>0\) tal que para todo \((x,y)\in B_r(x_0,y_0)\bigcap A\text{,}\) temos \(f(x,y)\leq f(x_0,y_0)\text{.}\)
\((x_0,y_0)\) é um ponto de mínimo local de \(f\) se existe \(r>0\) tal que para todo \((x,y)\in B_r(x_0,y_0)\bigcap A\text{,}\) temos \(f(x,y)\geq f(x_0,y_0)\text{.}\)
\((x_0,y_0)\) é um ponto de máximo (global) de \(f\) se \(f(x,y)\leq f(x_0,y_0)\) para todo \((x,y)\in A\text{.}\)
\((x_0,y_0)\) é um ponto de mínimo (global) de \(f\) se \(f(x,y)\geq f(x_0,y_0)\) para todo \((x,y)\in A\text{.}\)

Se \(f\) admite derivadas parciais em \((x_0,y_0)\) e \(\nabla f(x_0,y_0)=(0,0)\text{,}\) então \((x_0,y_0)\) é um ponto crítico de \(f\).

Assista ao vídeo abaixo para uma motivação dos resultados a seguir.

Figura A.8.3. Máximos e mínimos locais.

Teorema A.8.4.

Sejam \(A\subseteq\R^2\) um aberto contendo o ponto \((x_0,y_0)\) e \(f\colon A\to\R\) uma função que admite derivadas parciais em \((x_0,y_0)\text{.}\) Se \((x_0,y_0)\) é um opnto de máximo ou mínimo local de \(f\text{,}\) então \(\nabla f(x_0,y_0)=(0,0)\text{.}\)

Demonstração.

Se \((x_0,y_0)\) é, digamos um ponto de máximo local, então \(x_0\) é ponto de máximo local de \(g(x)=f(x,y_0)\) num intervalo aberto \(I\text{,}\) contendo o ponto \(x_0\text{.}\) Segue-se então, do Teorema A.1.3 que

\begin{equation*} g'(x_0)=0\implies f_x(x_0,y_0)=0. \end{equation*}

De maneira análoga, \(y_0\) é ponto de máximo local de \(h(y)=f(x_0,y)\text{,}\) e então

\begin{equation*} h'(y_0)=0\implies f_y(x_0,y_0)=0. \end{equation*}

Ou seja, \(\nabla f(x_0,y_0)=(0,0)\text{.}\)

É importante mencionar que a recíproca do teorema acima, assim como visto na nota do Teorema A.1.3 para o caso de uma veriável, é falsa: considere \(f(x,y)=x^2-y^2\text{,}\) definida em todo o plano \(\R^2\) (um aberto). Temos que \(\nabla f(0,0)=(0,0)\) e este não é um ponto de máximo local, nem de mínimo local, já que \(f(0,y)< f(0,0) < f(x,0)\text{,}\) para quaisquer \((x,y)\neq (0,0)\text{.}\)

Um ponto crítico, no domínio de uma função, que não é de máximo local nem de mínimo local é chamado de ponto de sela daquela função. A nomenclatura vem da semelhança do gráfico da função acima com uma sela. Veja a Figura A.2.7.

A fim de tentar generalizar o teste da segunda para classificar os pontos críticos de funções de duas variáveis, precisamos levar em conta as quatro segundas derivadas e aplicar técnica análoga à empregada no Exercício 1.1.7. Para isso apresentamos rapidamente a fórmula de Taylor para funções de classe \(\mathscr{C}^2\) a duas variáveis reais.

Teorema A.8.5. (Fórmula de Taylor).

Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) de classe \(\mathscr{C}^2\) no ponto \((x_0,y_0)\) do convexo \(A\text{.}\) Então

\begin{equation*} f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+E(x,y), \end{equation*}

onde

\begin{equation*} E(x,y)=\dfrac{1}{2}\Big(f_{xx}(\overline{x},\overline{y})(x-x_0)^2+2f_{xy}(\overline{x},\overline{y})(x-x_0)(y-y_0)+f_{yy}(\overline{x},\overline{y})(y-y_0)^2\Big), \end{equation*}

com \((\overline{x},\overline{y})\) no segmento ligando \((x_0,y_0)\) a \((x,y)\text{.}\)

Demonstração.

Basta aplicar a fórmula de Taylor de uma variável real, centrada em \(t_0=0\text{,}\) para a função

\begin{equation*} g(t)=f\big(\gamma(t)\big), \end{equation*}

com \(\gamma(t)=\big(x(t),y(t)\big)=(x_0,y_0)+t(x-x_0,y-y_0)\text{,}\) para \(t\) num intervalo abeto contendo \([0,1]\) tal que a imagem de \(\gamma\) esteja contida em \(A\text{.}\)

Assim, temos \(g(0)=f(x_0,y_0)\) e, aplicando a regra da cadeia sucessivas vezes, que

\begin{align*} g'(0)&=\big\langle\nabla f(x_0,y_0),(x-x_0,y-y_0)\big\rangle=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\\ g''(t)&=\Big(f_{xx}\big(\gamma(t)\big)(x-x_0)^2+ 2f_{xy}\big(\gamma(t)\big)(x-x_0)(y-y_0)+ f_{yy}\big(\gamma(t)\big)(y-y_0)^2\Big) \end{align*}

Logo,

\begin{equation*} g(1)=g(0)+g'(0)(1-0)+\dfrac{g''(\overline{t})}{2}(1-0)^2,\quad \overline{t}\in ]0,1[, \end{equation*}

ou seja, a fórmula apresentada no enunciado, onde \((\overline{x},\overline{y})=\gamma(\overline{t})\text{.}\)

Com isso podemos apresentar o chamado critério do Hessiano:

Teorema A.8.6.

Sejam \(A\subseteq\R^2\) um aberto e \((x_0,y_0)\in A\) um ponto crítico da função \(f\colon A\to\R\text{,}\) de classe \(\mathscr{C}^2\) em \((x_0,y_0)\text{.}\) Se

\(\det H_f(x_0,y_0)> 0\) e \(f_{xx}(x_0,y_0)> 0\text{,}\) então \((x_0,y_0)\) é um ponto de mínimo local de \(f\text{.}\)
\(\det H_f(x_0,y_0)> 0\) e \(f_{xx}(x_0,y_0)< 0\text{,}\) então \((x_0,y_0)\) é um ponto de máximo local de \(f\text{.}\)
\(\det H_f(x_0,y_0)< 0\) então \((x_0,y_0)\) é um ponto de sela de \(f\text{.}\)

Aqui \(H_f(x_0,y_0)=\begin{bmatrix} f_{xx}(x_0,y_0)& f_{yx}(x_0,y_0)\\ f_{xy}(x_0,y_0)& f_{yy}(x_0,y_0)\\ \end{bmatrix}\) é a matriz Hessiana de \(f\) em \((x_0,y_0)\text{.}\)

Nota A.8.7.

Note que este resultado nada afirma no caso em que \(\det H_f(x_0,y_0)=0\text{.}\) Tais casos devem ser estudados de maneira "artesanal".

Demonstração.

Veja aqui ¹.

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