1.
Considere a superfície \(S\) em \(\R^3\) dada pela equação \(z^3+x^3+yz+xy^3=0\) e uma função qualquer \(f\colon\R^2\to\R\) diferenciável tal que \(\nabla f(1,0)=(3,1)\text{.}\) Sabendo-se que a interseção de \(S\) com o gráfico de \(f\) define uma curva \(\gamma\colon I\to\R^3\text{,}\) diferenciável e contendo o ponto \(P=(1,0,-1)\text{,}\) determine a equação da reta tangente a \(\gamma\) em \(P\text{.}\)
Resposta.
\(r\colon (x,y,z)=(1,0,-1)+\lambda (-2,12,6)\text{,}\) \(\lambda\in\R\text{.}\)
Solução.
Sabemos que, na condições do enunciado o vetor que dá a direção tangente à curva é paralelo ao produto vetorial do vetor normal a \(S\) com o vetor normal ao gráfico de \(f\text{,}\) ambos calculados no ponto de tangência \(P\text{.}\)
O primeiro destes vetores pode ser obtido enxergando \(S\) como a superfície de nível \(0\) da função \(g(x,y,z)=z^3+x^3+yz+xy^3\text{.}\) Desta forma o vetor normal a \(S\) em cada um de seus pontos é é o gradiente de \(g\text{,}\) \(\nabla g(x,y,z)=(3x^2+y^3,3xy^2+z,3z^2+y)\text{.}\) Em \(P\) isso dá \(\boxed{\nabla g(1,0,-1)=(3,-1,3)}\text{.}\)
O segundo vetor é obtido diretamente do que foi estudado na parte anterior do curso: \(n_f(x,y)=\big(f_x(x,y),f_y(x,y),-1\big)\text{.}\) Como \(P\in\mathrm{Gr}\, f\text{,}\) vamos usar \((x,y)=(1,0)\text{,}\) donde até sabemos que \(f(1,0)=-1\text{,}\) mas não usamos aqui). Desta forma temos, \(\boxed{n_f(1,0)=(3,1,-1)}\text{.}\)
O vetor diretor da reta pedida é então
\begin{equation*}
v=\nabla
g(1,0,-1)\times n_f(1,0)= (3,-1,3)\times (3,1,-1)=(-2,12,6).
\end{equation*}
E a equação da reta pedida é
\begin{equation*}
r\colon (x,y,z)=(1,0,-1)+\lambda
(-2,12,6),\quad\lambda\in\R.
\end{equation*}
