2.
Determine os valores de \(a\) para os quais a função \(f(x,y) = 2ax^4 + y^2 -ax^2 - 2y\)
- tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local;
- tenha exatamente dois pontos de sela e um ponto de mínimo local.
- Existe \(a\in\R\) para o qual \(f\) tenha ao menos um ponto de máximo local?
- Existe \(a\in\R\) para o qual \(f\) tenha mais de \(3\) pontos críticos?
Dica.
Para todos os itens, encontre os pontos críticos de \(f\) e classifique-os usando o Critério da Hessiana. Convém separar os casos \(a>0\text{,}\) \(a<0\) e \(a=0\text{.}\)
Resposta.
- \(\displaystyle a>0\)
- \(\displaystyle a<0\)
- Não existe valor de \(a\) para o qual \(f\) tenha ao menos um ponto de máximo local.
- Sim, apenas \(a=0\text{.}\)
Solução.
O gradiente de \(f\) é \(\nabla(x,y) = (8ax^3 -2ax,
2y-2)\text{.}\) Deste modo,
\begin{equation*}
\nabla(x,y) = (0,0) \iff
\begin{cases} ax(4x^2-1)=0\\ y=1 \end{cases} \iff \begin{cases}
a=0 \text{ ou } x=0\text{ ou }x= \pm \dfrac{1}{2} \\ y=1 \end{cases}.
\end{equation*}
Assim, se \(a\neq 0\text{,}\) os únicos pontos críticos de \(f\) são \((0,1)\) e \(\Big(\pm \dfrac{1}{2}, 1\Big)\text{.}\) Por outro lado, se \(a=0\text{,}\) então os pontos críticos de \(f\) são todos os pontos da forma \((x,1)\) com \(x \in \R\text{.}\) Para classificá-los, dividiremos a análise em três casos. Observamos que as derivadas de segunda ordem de \(f\) são
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) = 24a x^2 -2a, \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = 0 \quad
\text{e} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x,y) = 2.
\end{equation*}
Se \(a>0\text{,}\) usando o critério do Hessiano (Teorema A.8.6), temos
- \(\det H_f(0,1) = \det\begin{bmatrix} -2a & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} = -4a < 0 \implies (0,1)\) é ponto de sela de \(f\text{.}\)
- \(\det H_f\Big(\pm\dfrac{1}{2},1\Big) = \det\begin{bmatrix} 4a & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 8a > 0\) e \(8a>0 \implies \Big(\pm\dfrac{1}{2},1\Big)\) são pontos de mínimo locais \(f\text{.}\)
Se \(a<0\text{,}\) usamos novamente o critério do Hessiano:
- \(\det H_f(0,1) =\det \begin{bmatrix} -2a & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} = -4a > 0\) e \(-2a>0 \implies (0,1)\) é ponto de mínimo local de \(f\text{.}\)
- \(\det H_f\Big(\pm\dfrac{1}{2},1\Big) = \det\begin{bmatrix} 4a & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 8a < 0 \implies \Big(\pm\dfrac{1}{2},1\Big)\) são pontos de sela de \(f\text{.}\)
Finalmente, se \(a=0\text{,}\) notamos que \(f(x,y)=y^2 - 2y =
(y-1)^2 -1 \geq -1\) para todo \((x,y) \in \R^2\text{.}\) Como \(f(x,1) = -1\) para todo \(x\in\R\text{,}\) todos os pontos críticos de \(f\) são pontos de mínimo (globais) neste caso.
Com a análise acima, estamos em condições de responder cada item do enunciado:
- \(f\) terá exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local se, e somente se, \(a>0\text{.}\)
- \(f\) terá exatamente um ponto de mínimo local e dois pontos de sela se, e somente se, \(a<0\text{.}\)
- Não existe valor de \(a\) para o qual \(f\) tenha ao menos um ponto de máximo local.
- \(f\) terá mais de \(3\) pontos críticos se, e somente se, \(a=0\text{.}\)
