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MAT–2454: Soluções de Exercícios e de Provas

Equipes de Professores da Disciplina

Seção 1.6 Regras da Cadeia

Exercícios Exercícios

2.

Sejam \(f\colon\mathbb R^2\to\R\) diferenciável em \(\R^2\text{,}\) com \(\nabla f(-2,-2)=(a,-4)\) e
\begin{equation*} g(t)=f(2t^3-4t, t^4-3t). \end{equation*}
Determine \(a\) para que a reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abscissa \(1\) seja paralela à reta \(y=2x+3\text{.}\)
Dica.
Você consegue ver \(g(t)\) como uma composta para aplicar a regra da cadeia? E mais: qual a condição para que duas retas sejam paralelas?
Resposta.
\(a=3\)
Solução.
A reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto de abscissa \(1\) ser paralela à reta \(y=2x+3\) significa que \(g'(1)=2\) (retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular e o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função real derivável é o valor de sua derivada no ponto de tangência).
Isto posto, notamos que \(g(t)=f\big(\gamma(t)\big)\text{,}\) onde \(\gamma(t)=(2t^3-4t, t^4-3t)\text{.}\) Usando o Teorema A.6.4 e as observações iniciais, temos que
\begin{equation*} 2=g'(1)=\Big\langle \nabla f\big(\gamma(1)\big),\gamma'(1)\Big\rangle. \end{equation*}
Como \(\gamma(1)=(-2,-2)\) e \(\gamma'(t)=(6t^2-4,4t^3-3)\implies \gamma'(1)=(2,1)\text{,}\) temos
\begin{equation*} 2=\big\langle \nabla f(-2,-2),(2,1)\big\rangle=2a-4\implies \boxed{a=3}. \end{equation*}

6.

Seja \(u=u(x,y)\) função de classe \(\mathscr{C}^2\) em \(\R^2\) e defina \(v(r,\theta)=u(r\cos\theta,r\sin\theta)\text{.}\) Verifique que
\begin{equation*} \dfrac{\partial^2 v}{\partial r^2}(r,\theta)+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v}{\partial r}(r,\theta)+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 v}{\partial\theta^2}(r,\theta)=\Delta u(r\cos\theta,r\sin\theta), \end{equation*}
sendo \(\Delta u = u_{xx} + u_{yy}\) , o Laplaciano em coordenadas cartesianas da função \(u\text{.}\)
Dica.
Aplicação direta da Regra da Cadeia na segunda derivada, veja a fórmula (A.6.3).
Solução.
Basta aplicar (com calma e coragem!) a Regra da Cadeia, usando que
\begin{equation*} x(r,\theta)=r\cos\theta\quad\text{e}\quad y(r,\theta)=r\sin\theta. \end{equation*}
Escrevendo, apenas desta vez, todos os pontos de aplicação, temos
\begin{equation*} \dfrac{\partial v}{\partial r}(r,\theta) =\dfrac{\partial u}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta) \dfrac{\partial x}{\partial r}(r,\theta)+ \dfrac{\partial u}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta) \dfrac{\partial y}{\partial r}(r,\theta). \end{equation*}
Sinteticamente, temos
\begin{equation} v_r=u_x\cos\theta+u_y\sin\theta.\tag{1.6.1} \end{equation}
Derivando mais uma vez em \(\theta\text{,}\) usamos a regra do produto em cada parcela e também a cadeia:
\begin{equation*} v_{rr}=(u_{xx}\cos\theta+u_{xy}\sin\theta)\cos\theta +(u_{yx}\cos\theta+u_{yy}\sin\theta)\sin\theta, \end{equation*}
ou seja,
\begin{equation} v_{rr}=u_{xx}\cos^2\theta+ u_{yy}\sin^2\theta+2u_{xy}\sin\theta\cos\theta,\tag{1.6.2} \end{equation}
pois \(u\) é uma função de classe \(\mathscr{C}^2\) (veja o Teorema A.5.7).
Agora, derivando em \(\theta\text{:}\)
\begin{equation*} v_\theta = u_xx_\theta+u_yy_\theta=-u_xr\sin\theta+u_yr\cos\theta, \end{equation*}
e mais uma vez
\begin{align*} v_{\theta\theta}=(-u_{xx}r\sin&\theta+u_{xy}r\cos\theta)(-r\sin\theta)-u_xr\cos\theta\\ &+(-u_{yx}r\sin\theta+u_{yy}r\cos\theta)r\cos\theta-u_yr\sin\theta, \end{align*}
ou seja,
\begin{equation} v_{\theta\theta}=u_{xx}r^2\sin^2\theta+ u_{yy}r^2\cos^2\theta-2u_{xy}r^2\cos\theta\sin\theta- u_xr\cos\theta-u_yr\sin\theta.\tag{1.6.3} \end{equation}
Dividindo (1.6.3) por \(r^2\text{,}\) (1.6.1) por \(r\) e somando com (1.6.2), temos
\begin{equation*} v_{rr}+\dfrac{v_r}{r}+\dfrac{v_{\theta\theta}}{r^2}=u_{xx}+u_{yy}, \end{equation*}
como desejado.

Nota 1.6.1.

O sistema de coordenadas \((r,\theta)\text{,}\) apresentado no Exercício 1.6.6, é chamado de sistema de coordenadas polares, como pólo na origem. As relações \(x=r\cos\theta\) e \(y=r\sin\theta\) podem ser visualizadas na figura abaixo.
Figura 1.6.2. Coordenadas polares e cartesianas.
Uma aplicação interessante desse sistema é a numeração das rodovias radiais e transversais do estado de São Paulo, como pode ser verificado nas páginas 11 e 12 deste documento 1 .
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