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MAT–2454: Soluções de Exercícios e de Provas

Equipes de Professores da Disciplina

Seção 4.2 Segunda Prova

Exercícios Exercícios

1.

Seja \(z=f(x,y)\) uma função de classe \(\mathscr{C}^2\) qualquer, definida em todo o \(\mathbb{R}^2\text{.}\) Assinale todas as afirmações falsas
  1. Se \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)>0\) para todo \((x,y)\in\mathbb{R}^2\text{,}\) então \(f(2,2)>f(1,1)\text{.}\)
  2. Se \((1,2)\) é um ponto de mínimo local de \(f\text{,}\) então \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(1,2)>0\text{.}\)
  3. Se \((0,0)\) é um ponto crítico de \(f\) tal que \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0)>0\) e \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0)>0\text{,}\) então \(g(x)=f(x,x)\) satisfaz \(g''(0)>0\text{.}\)
  4. Se \(f(1,1)=f(3,3)\text{,}\) então \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,x)=-\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,x)\) para algum \(x\in (1,3)\text{.}\)
Resposta.
  1. Falsa
  2. Falsa
  3. Falsa
  4. Verdadeira
Solução.
  1. Falsa, o sinal da derivada de \(f\) em \(x\) garante crescimento na somente ao longo de direções paralelas àquele eixo. Exemplo concreto: \(f(x,y)=x-2y\text{,}\) onde \(f_x(x,y)=1>0\) e \(f(2,2)=-2<-1=f(1,1)\text{.}\)
  2. Falsa pois, como sabemos, o sinal de uma das derivadas mistas não é suficiente para determinar o sinal do determinante Hessiano. Exemplo concreto: \(f(x,y)=y^2\) tem mínimo em todo ponto da forma \((x,0)\) e \(f_{xy}(x,0)=0\text{.}\)
  3. Falsa, a concavidade ao longo dos eixos coordenados não determina a mesma ao longo da bissetriz. Qualquer função de classe \(\mathscr{C}^2\) tal que \(f(t,0)=f(0,t)=t^2\) e \(f(t,t)=-t^2\) produz um contra exemplo, \(f(x,y)=x^2+y^2-3xy\) é uma delas.
  4. Verdadeira, pois considerando a função \(g(t)=f(t,t)\) que é derivável no intervalo \((1,3)\) e contínua em \([1,3]\) temos, pelo teorema de Rolle, que existe \(t_0\in (1,3)\) tal que \(0=g'(t_0)=\langle\nabla f(t_0,t_0),(1,1)\rangle\text{,}\) logo \(f_x(t_0,t_0)+f_y(t_0,t_0)=0\text{.}\)

2.

Seja \(C\) a interseção das superfícies dadas por \(x^2+2y^2+z^2=4\) e \(2x^3+y^2-z^2=2\text{.}\) Qual dos seguintes pontos pertence à reta tangente a \(C\) em \((1,1,1)\text{?}\)
  1. \((-11,17,-19)\text{;}\)
  2. \((-12,16,-20)\text{;}\)
  3. \((1,-1,1)\text{;}\)
  4. \((2,4,2)\text{;}\)
  5. \((6,2,-2)\text{.}\)
Resposta.
Alternativa a.
Solução.
Considerando \(f(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-4\) e \(g(x,y,z)=2x^3+y^2-z^2-2\) temos que \(C=f^{-1}(0)\bigcap g^{-1}(0)\text{.}\) A direção tangente à curva \(C\) é a do vetor \(\nabla f(1,1,1)\times \nabla g(1,1,1)=(-12,16,-20)\text{,}\) dando a reta tangente
\begin{equation*} r\colon (x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(-12,16,-20), \quad\lambda\in\R. \end{equation*}
Fazendo \(\lambda=1\) temos o ponto \((-11,17,-19)\in r\text{.}\)
Observe não precisamos conhecer a parametrização de \(C\) para determinar sua reta tangente. Essa é a beleza da Proposição A.7.12. Vejamos uma figura:
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Figura 4.2.1. Superfície de nível \(f\) e seu plano tangente.

3.

A superfície de nível da função \(f(x,y,z)=xyz+x^3+y^3+z^3+3\) que contém o ponto \((2,1,-2)\) é o gráfico de uma uma função \(z=g(x,y)\text{,}\) diferenciável numa vizinhança de \((2,1)\text{.}\) O polinômio de Taylor de ordem 1 para \(g(x,y)\text{,}\) em torno do ponto \((2,1)\text{,}\) é:
  1. \(P(x,y)=-2-\frac{5}{7}(x-2)+\frac{1}{14}(y-1)\text{.}\)
  2. \(P(x,y)=-2-\frac{1}{14}(x-2)+\frac{5}{7}(y-1)\text{.}\)
  3. \(P(x,y)=2-\frac{5}{7}(x-2)+\frac{1}{14}(y-1)\text{.}\)
  4. \(P(x,y)=2-\frac{1}{14}(x-2)+\frac{5}{7}(y-1)\text{.}\)
  5. \(P(x,y)=1-\frac{1}{14}(x-2)+\frac{5}{7}(y-1)\text{.}\)
Resposta.
Alternativa a.
Solução.
Como \(f(2,1,2)=0\text{,}\) a superfície é o conjunto \(f^{-1}(0)\text{.}\) Além disso, \(f_z(2,1,-2)=14\neq 0\) e portanto o teorema da função implícita garante que existem vizinhanças abertas de \(U\) \((2,1)\) em \(\R^2\) e \(I\) de \(-2\) em \(\R\) e uma função \(g\colon V\to I\text{,}\) de classe \(\mathscr{C}^\infty\) (assim como \(f\)), tal que \(g(2,1)=-2\) e suas derivadas são dadas por
\begin{align*} g_x(x,y)&=-\dfrac{f_x(x,y,g(x,y))}{f_z(x,y,g(x,y))}\\ g_y(x,y)&=-\dfrac{f_y(x,y,g(x,y))}{f_z(x,y,g(x,y))} \end{align*}
No ponto \((x,y,g(x,y))=(2,1,-2)\text{,}\) temos \(g_x(2,1)=-\frac{5}{7}\) e \(g_y(2,1)=\frac{1}{14}\text{.}\) Deste modo, o polinômio de Taylor procurado é
\begin{equation*} P(x,y)=g(2,1)+g_x(2,1)(x-2)+g_y(2,1)(y-1)= -2-\frac{5}{7}(x-2)+\frac{1}{14}(y-1). \end{equation*}

4.

Considere \(f\colon\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=(1-x)(1-y)(x+y-1)\text{.}\) Assinale a afirmação verdeira:
  1. \(f\) possui exatamente um ponto de máximo local e três pontos de sela.
  2. \(f\) possui exatamente um ponto de sela e três pontos de máximo local.
  3. \(f\) possui exatamente um ponto de sela e três pontos de mínimo local.
  4. \(f\) possui exatamente um ponto mínimo local e três pontos de sela.
  5. \(f\) não possui pontos críticos.
Resposta.
Alternativa a.
Solução.
Como \(f\) está definida num conjunto aberto, os pontos de extremo local estão entre aqueles onde \(\nabla f =(0,0)\text{,}\) ou seja,
\begin{equation*} \begin{cases} (1-y)(2-2x-y)&=0\\ (1-x)(2-x-2y)&=0. \end{cases} \end{equation*}
Os candidatos são \(P_1=(0,1)\text{,}\) \(P_2=(1,1)\text{,}\) \(P_3=(1,0)\) e \(P_4=\big(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\big)\text{.}\)
Para poder classificá-los, usamos o critério da matriz Hessiana,
\begin{equation*} H_f(x,y)= \begin{bmatrix} 2(y-1)&-3+2(x+y)\\ -3+2(x+y)&2(x-1) \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Nos pontos obtidos temos
  • \(\det H_f(P_1)=\det H_f(P_2)=\det H_f(P_3)=-1<0\text{,}\) logo \(P_1\text{,}\) \(P_2\) e \(P_3\) são pontos de sela.
  • \(\det H_f(P_4)=\frac{1}{3}>0\) e \(f_{{xx}}(P_4)=-\frac{2}{3}<0\text{,}\) logo \(P_4\) é ponto de máximo local.

5.

Sejam \(D=\big\{(x,y)\in\R^2\colon x^4+4xy+4y^2\leq 4\big\}\) e \(f\colon\R^2\to\R\text{,}\) dada por \(f(x,y)=x+y\text{.}\) Se \(m\) e \(M\) são, respectivamente, os valores máximo e mínimo globais de \(f\) em \(D\text{,}\) então
  1. \(2m+4M=\sqrt{6}\text{.}\)
  2. \(m+3M=\sqrt{3}\text{.}\)
  3. \(2m+M=2\text{.}\)
  4. \(3m+2M=\sqrt{5}\text{.}\)
  5. \(m+M=\sqrt{7}\text{.}\)
Resposta.
Alternativa a.
Solução.
Observamos, inicialmente, que \(D\) é compacto e \(f\) é contínua em \(D\text{,}\) logo existem tais \(m\) e \(M\) indicados no enunciado. Como \(\nabla f(x,y)=(1,1)\text{,}\) não há pontos críticos de \(f\) em \(int\,D\text{,}\) assim procuramos os extremantes globais em \(\partial D=\big\{(x,y)\in\R^2\colon x^4+4xy+2y^2=2\big\}\text{.}\) Notando que \(\partial D=g^{-1}(0)\text{,}\) onde \(g(x,y)=x^4+4xy+2y^2-2\text{,}\) sabemos que os extremantes procurados devem satisfazer
\begin{equation*} \begin{cases} \big\{\nabla f(x,y),\nabla g(x,y)\big\}\text{ é linearmente dependente}\\ g(x,y)=0. \end{cases} \end{equation*}
A primeira condição acima escreve-se de duas maneiras: \(\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y)\) (pois \(\nabla g(x,y)\neq (0,0)\text{,}\) para \((x,y)\in D\)) ou então \(\det \begin{pmatrix} \nabla f(x,y)\\ \nabla g(x,y) \end{pmatrix}=0\text{.}\) Nos dois casos obtemos a relação \(2x(2x^2-2)=0\) e o sistema fica
\begin{equation*} \begin{cases} 2x(2x^2-2)&=0\\ x^4+4xy+2y^2&=2 \end{cases}, \end{equation*}
donde temos
  • \(x=0\implies y=\pm1\text{:}\) \(P_1=(0,1)\) e \(P_2=(0,-1)\text{.}\)
  • \(x=1\implies y=\frac{-2\pm\sqrt{6}}{2}\text{:}\) \(P_3=(1,\frac{-2+\sqrt{6}}{2})\) e \(P_4=(1,\frac{-2-\sqrt{6}}{2})\text{.}\)
  • \(x=-1\implies y=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}\text{:}\) \(P_5=(-1,\frac{2+\sqrt{6}}{2})\) e \(P_6=(-1,\frac{2-\sqrt{6}}{2})\text{.}\)
Os valores de \(f\) nesses pontos são: \(f(P_1)=1\text{,}\) \(f(P_2)=-1\text{,}\) \(f(P_3)=f(P_5)=\frac{\sqrt{6}}{2}\) e \(f(P_4)=f(P_6)=-\frac{\sqrt{6}}{2}\) e, então, \(m=-\frac{\sqrt{6}}{2}\) e \(M=\frac{\sqrt{6}}{2}\text{.}\)

6.

Sejam \(S=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+y^2+z^2=27, x>0, y>0, z>0\big\}\) e \(f(x,y,z)=\ln x+\ln y+2\ln z\text{,}\) definida no maior domínio possível. A soma das coordenadas do ponto em que \(f\text{,}\) restrita a \(S\text{,}\) atinge seu valor máximo é
  1. \(\dfrac{3\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{2}\text{.}\)
  2. \(\dfrac{3\sqrt{2}(3+\sqrt{2})}{\sqrt{5}}\text{.}\)
  3. \(\dfrac{3\sqrt{3}(2+\sqrt{2})}{\sqrt{5}}\text{.}\)
  4. \(\dfrac{3\sqrt{2}(3+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}\text{.}\)
  5. \(f\) não atinge valor máximo em \(S\text{.}\)
Resposta.
Alterativa a.
Solução.
Note incialmente que \(S\) não é compacto e portanto não há garantia de que o problema admita solução. De fato, a imagem de \(f\) não é limitada em \(S\) (\(f\) tende a \(-\infty\) quando nos aproximamos dos planos coordenados).
Restringindo-nos à parte de \(S\) em que cada uma das coordenadas é no mínimo \(a=1\text{,}\) temos um compacto e ali \(f\) assume valor máximo e mínimo. Verifique o mínimo de \(f\) está na fronteira desta nova região e que esse valor mínimo diminui conforme \(a\) se aproxima de \(0\text{.}\) Para encontrar o ponto de máximo recorremos aos multiplicadores de Lagrange (com uma restrição nesse caso): como \(S\subset g^{{-1}}(0)\text{,}\) onde \(g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-27\text{,}\) sabemos que o ponto procurado satisfaz
\begin{equation*} \begin{cases} \big\{\nabla f(x,y,z),\nabla g(x,y,z)\big\}\text{é linearmente dependente}\\ g(x,y,z)=0\\ x>0,y>0,z>0 \end{cases}. \end{equation*}
A primeira condição equivale a \(\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z)\) (pois \(\nabla g(x,y,z)\neq (0,0,0)\text{,}\) para \((x,y,z)\in S\)) ou então \(\nabla f(x,y,z)\times \nabla g(x,y,z)=(0,0,0)\text{.}\) Nos dois casos obtemos as relações \((z^2-2y^2,2x^2-z^2,y^2-x^2)=(0,0,0)\) e o sistema fica
\begin{equation*} \begin{cases} x^2-y^2&=0\\ 2x^2-z^2&=0\\x^2+y^2+z^2&=27\\ x>0,y>0,z>0& \end{cases}, \end{equation*}
cuja solução é \((x,y,z)=(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3\sqrt{6}}{2})\text{.}\)

7.

Sejam \(C=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon x+y+z=1\text{ e } y^2+z^2=9\big\}\) e \(f\colon\R^3\to\R\text{,}\) dada por \(f(x,y,z)=x+3y\text{.}\) Se \(m\) e \(M\) são, respectivamente, os valores mínimo e máximo de \(f\) sobre \(C\text{,}\) então
  1. \(m\cdot M=-44\text{.}\)
  2. \(m\cdot M=2\text{.}\)
  3. \(m\cdot M=6\sqrt{5}\text{.}\)
  4. \(\displaystyle m\cdot M=\frac{1-3\sqrt{5}}{1+3\sqrt{5}}\)
  5. \(f\) não admite pontos de máximo e mínimo sobre \(C\text{.}\)
Resposta.
Alternativa a.
Solução.
Note incialmente que \(C\) compacto (interseção da esfera, compacta, com o plano, fechado) e \(f\) contínua, portanto existem tais \(m\) e \(M\) indicados no enunciado. Para encontrar os pontos onde \(m\) e \(M\) são atingidos recorremos aos multiplicadores de Lagrange (com duas restrições nesse caso): \(C=g^{-1}(0)\bigcap h^{-1}(0)\text{,}\) onde \(g(x,y,z)=x+y+z-1\) e \(h(x,y,z)=y^2+z^2-9\text{.}\)
Sabemos então que os pontos procurados satisfazem
\begin{equation*} \begin{cases} \big\{\nabla f(x,y,z),\nabla g(x,y,z),\nabla h(x,y,z)\big\}\text{ é linearmente dependente}\\ g(x,y,z)=0\\ h(x,y,z)=0 \end{cases}. \end{equation*}
A primeira condição equivale a \(\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z)+\mu \nabla h(x,y,z)\) (pois \(\nabla g(x,y,z)\) e \(\nabla h(x,y,z)\) são linearmente independentes ao longo de \(C\)) ou então \(\big[\nabla f(x,y,z),\nabla g(x,y,z),\nabla h(x,y,z)\big]=0\text{.}\) Nos dois casos obtemos a relação \(y+2z=0\) e o sistema fica
\begin{equation*} \begin{cases} y+2z&=0\\ x+y+z&=1\\ y^2+z^2&=9 \end{cases}, \end{equation*}
cujas soluções são \(P_1=\big(1+\frac{3}{\sqrt{5}}, -\frac{6}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\big)\) e \(P_2=\big(1-\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{6}{\sqrt{5}}, -\frac{3}{\sqrt{5}}\big)\text{.}\) Assim, \(m=f(P_2)=1-3\sqrt{5}\) e \(M=f(P_1)=1+3\sqrt{5}\text{.}\)

8.

Sejam \(f\colon\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=2x^3-15x^2+y^3+6y^2\) e \(D=\big\{{(x,y)\in\mathbb{{R}}^2\colon x^2+y^2\leq 49\big\}}\text{.}\)
  1. Determine todos os pontos críticos de \(f\) em \(\R^2\text{.}\)
  2. Classifique todos os pontos críticos de \(f\) em \(\R^2\text{.}\)
  3. Determine os pontos de máximo e mínimo de \(f\) na circunferência \(x^2+y^2=49\text{.}\)
  4. Determine os pontos de máximo e mínimo de \(f\) em \(D\text{.}\)
Resposta.
  1. \(P_1=(0,0)\text{,}\) \(P_2=(0,-4)\text{,}\) \(P_3=(5,0)\) e \(P_4=(5,-4)\text{.}\)
  2. \(P_1\) e \(P_4\) são pontos de sela, \(P_2\) é um ponto de máximo local e \(P_3\) é um ponto de mínimo local.
  3. \(P_5=(0,7)\) e \(P_8=(-7,0)\) são respectivamente os pontos de máximo e mínimo de \(f\) sobre a circunferência \(x^2+y^2=49\text{.}\)
  4. \(P_5\) é o ponto de máximo e \(P_8\) o de mínimo para \(f\) em \(D\text{.}\)
Solução.
  1. Procuramos aqui pelos pontos onde \(\nabla f (x,y)=(0,0)\text{,}\) ou seja, as soluções do sistema
    \begin{equation*} \begin{cases} 6x^2-30x&=0\\ 3y^2+12y&=0 \end{cases}, \end{equation*}
    que são \(P_1=(0,0)\text{,}\) \(P_2=(0,-4)\text{,}\) \(P_3=(5,0)\) e \(P_4=(5,-4)\text{.}\)
  2. Aplicamos o critério do Hessiano a cada um dos pontos encontrados no item anterior. Aqui, \(H_f(x,y)= \begin{bmatrix} 12x-30&0\\ 0&6y+12 \end{bmatrix}\text{,}\) tem como determinante \(\det H_f(x,y)=(12x-30)(6y+12)\text{.}\) Logo
    • \(\det H_f(P_1)=-360<0\) diz que \(P_1\) é um ponto de sela e \(f(P_1)=0\text{.}\)
    • \(\det H_f(P_2)=360>0\) e \(f_{xx}(P_2)={-30}<0\text{,}\) dizem que \(P_2\) é um ponto de máximo local e \(f(P_2)=32\text{.}\)
    • \(\det H_f(P_3)=360>0\) e \(f_{xx}(P_3)=30>0\text{,}\) dizem que \(P_3\) é um ponto de mínimo local e \(f(P_3)=-125\text{.}\)
    • \(\det H_f(P_4)=-360<0\) diz que \(P_4\) é um ponto de sela e \(f(P_4)=-93\text{.}\)
  3. A circuferência em questão é dada por \(g^{-1}(0)\text{,}\) onde \(g(x,y)=x^2+y^2-49\text{,}\) que é uma função de classe \(\mathscr{C}^1\text{.}\) O pontos procurados estão entre aqueles da circunferência onde os gradientes de \(f\) e \(g\text{,}\) \(\nabla f(x,y)=(6x^2-30x,3y^2+12y)\) e \(\nabla g(x,y)=(2x,2y)\text{,}\) são linearmente dependentes, ou seja, são soluções de um dos seguintes sistemas
    \begin{equation*} \begin{cases} 6x^2-30x&=2\lambda x\\ 3y^2+12y&=2\lambda y\\ x^2+y^2&=49 \end{cases}\qquad\text{ou}\qquad \begin{cases} xy(2x-y-14)&=0\\ x^2+y^2&=49 \end{cases}, \end{equation*}
    cujas soluções são \(P_5=(0,7)\text{,}\) \(P_6=(0,-7)\text{,}\) \(P_7=(7,0)\text{,}\) \(P_8=(-7,0)\) e \(P_9=\big(\frac{21}{5},-\frac{28}{5}\big)\text{.}\) Com isso temos \(f(P_5)=637\text{,}\) \(f(P_6)=f(P_7)=-49\text{,}\) \(f(P_8)=-1421\) e \(f(P_9)=\frac{2597}{25}\text{.}\) Logo, o valor máximo de \(f\text{,}\) sobre a circunferência \(\partial D\text{,}\) é atingido em \(P_5\) e o mínimo em \(P_8\text{.}\)
  4. Basta verificar quais os pontos encontrados nos itens anteriores estão em \(D\) e comparar valores. Neste caso, todos os \(9\) candidatos encontrados pertencem àquela região e o máximo em \(D\) é atingido em \(P_5\text{,}\) euqnto o míninmo acontece em \(P_8\text{.}\)
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