7.
Seja \(f(x,y)=\dfrac{2x^2+4y^2}{x^2+y^2+1}\text{.}\)
- Esboce as curvas de nível de \(f\) dos níveis \(c=1\text{,}\) \(c=2\) e \(c=3\text{.}\)
- Encontre uma curva derivável \(\gamma\text{,}\) definida num intervalo \(I\subseteq\R\text{,}\) cuja imagem seja a curva de nível de \(f\) do nível \(c=1\text{.}\)
- Determine o vetor tangente à curva \(\gamma\text{,}\) que você encontrou no item anterior, no ponto \((1,0)\text{.}\)
- Seja \(\Gamma\colon [0,2\pi]\to\R^3\) dada por \(\Gamma(t)=\big(\sin t, \cos t, z(t)\big)\text{.}\) Sagendo que a imagem da curva está contida no gráfico de \(f\text{,}\) enconte o vetor tangente a \(\Gamma\) em \(\Gamma(\frac{\pi}{3})\text{.}\)
Dica.
Caso precise, recorde o que é uma curva de nível e veja alguns exemplos na Seção A.2. Uma dica para cada item:
- Depois de escrever a equação que define cada curva de nível, é um exercício de reconhecer cônicas a partir de suas equações reduzidas.
- É o clássico caso de parametrizar uma cônica
- Vetor tangente num ponto? É só derivar a parametrização!
- Basta lembrar que se \((x,y,z)\in Gr f\text{,}\) então \(z=f(x,y)\text{.}\) Para nossos propósitos, uma curva em \(\R^3\) tem as mesmas características e propriedades (continuidade, derivabilidade, etc.) de uma curva no plano, mas "com uma coordenada a mais".
Resposta.
- As curvas de nível são dadas pelas seguintes equações:\begin{align*} f^{-1}(1)\colon\,& x^2+3y^2=1 \text{ (elipse)}\\ f^{-1}(2)\colon\,& y^2=1 \text{ (par de paralelas)}\\ f^{-1}(3)\colon\,& y^2-x^2=3 \text{ (hipérbole)} \end{align*}
Figura 1.3.1. Curvas de nível. - Uma possível parametrização é \(\gamma(t)=\big(\sin t, \dfrac{\cos t}{\sqrt{3}}\big)\text{,}\) \(t\in [0,2\pi]\text{.}\)
- Qualquer múltiplo do vetor \(\vec{v}=(0,1)\) está correta, o que você encontrar depende da parametrização utilizada no item anterior.
- Como acima, qualquer mútiplo do vetor \(\vec{v}=\big(\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\) é uma resposta correta.
Solução.
Seguido as dicas de cada item
- Observamos inicialmente que o domínio de \(f\) é todo o plano \(\R^2\text{.}\) Assim, para
- \(c=1\text{:}\) \(f(x,y)=1\iff \dfrac{2x^2+4y^2}{x^2+y^2+1}=1\iff x^2+3y^2=1\text{,}\) que descreve uma elipse centrada na origem de "raios" \(1\) e \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{.}\)
- \(c=2\text{:}\) \(f(x,y)=2\iff \dfrac{2x^2+4y^2}{x^2+y^2+1}=2\iff y^2=1\text{,}\) que descreve as retas paralelas \(y=1\) e \(y=-1\text{.}\)
- \(c=3\text{:}\) \(f(x,y)=1\iff \dfrac{2x^2+4y^2}{x^2+y^2+1}=3\iff y^2-x^2=3\text{,}\) que descreve uma hipébole com focos no eixo \(Oy\text{.}\)
Um esboço das três curvas de nível está indicado na resposta deste exercício. -
Em outras palavras, este item pede que parametrizemos o conjunto\begin{equation*} f^{-1}(1)=\big\{(x,y)\in\R^2\colon x^2+3y^2=1\big\} \end{equation*}A equação \(x^2+3y^2=1\) pode ser reescrita como \(x^2+(\sqrt{3}y)^2=1\) e, portanto, podemos escrever \(x(t)=\cos t\) e \(\sqrt{3}y(t)=\sin t\iff y(t)=\dfrac{\sin t}{\sqrt{3}}\text{,}\) \(t\in[0,2\pi]\text{.}\) Com este domínio a curva \(\gamma(t)=\big(\cos t,\dfrac{\sin t}{\sqrt{3}}\big)\text{,}\) descreve todos os pontos da curva de nível indicada.
- Notamos que \(f(1,0)=1\text{,}\) logo \((1,0)\in f^{-1}(1)\) e, também é fácil ver que \((1,0)=\gamma(0)\text{.}\) Assim, um vetor tangente à curva no ponto indicado é \(\gamma'(0)=(0,1)\text{,}\) já que \(\gamma'(t)=\big(-\sin t,\dfrac{\cos t}{\sqrt{3}}\big)\text{.}\) Observamos que qualquer múltiplo do vetor indicado também uma resposta válida.
-
Dizer que a imagem de uma curva, \(\eta(t)=\big(x(t), y(t), z(t)\big)\) está contida no gráfico de uma função \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\text{,}\) significa exatamente dizer que \(z(t)=f\big(x(t),y(t)\big)\text{.}\)No caso deste exercício isso significa que \(z(t)=f(\sin t, \cos t)=\dfrac{2\sin^2t+4\cos^2t}{\sin^2t+\cos^2t+1}=1+\cos^2t \text{.}\)Com isso, \(\Gamma(t)=(\sin t,\cos t, 1+\cos^2t)\) e, consequente \(\Gamma'(t)=(\cos t, -\sin t, -2\cos t\sin t)\implies \Gamma'(t)=\big(\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\big).\)Veja nas figuras abaixo, o gráfico de \(f\text{,}\) com os cortes nos níveis pedidos no primeiro item e também a imagem da curva \(\Gamma(t)\) e sua projeção no plano \(Oxy\text{.}\)
