pois o primeiro fator tende a \(0\text{,}\) o segundo é limitado, enquanto que o terceiro e quarto (iguais) tendem a \(1\text{,}\) como feito no Exemplo A.3.3.
2.c.
Calcule, caso exista, \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}
x^2\ln(3x^2+y^2)\arctan\big(\dfrac{1}{y^2-x^2}\big)\text{.}\) Justifique, caso não exista.
Dica.
Como você calcularia, usando a regra de L’Hospital, \(\lim\limits_{x\to 0}x\ln x\text{?}\)
Resposta.
\(0\text{.}\)
Solução.
Seguindo a ideia da dica, vamos multiplicar numerador e denominador por \(3x^2+y^2\text{,}\) obtendo
o primeiro fator é limitado (análogo ao primeiro exemplo em Figura A.3.6);
usando a Proposição A.3.1 com \(f(t)=\begin{cases}t\ln t,& t\neq 0\\\hfill 0,&
t=0\end{cases}\) e \(g(x,y)=3x^2+y^2\text{,}\) temos que o segundo tende a zero, e
o terceiro fator é limitado, pois \(-\dfrac{\pi}{2}<\arctan(t)<\dfrac{\pi}{2}\text{,}\) para todo \(t\in\R\text{.}\)
Sendo o produto de fatores limitados também um termo limitado, o Corolário A.3.7 garante que o limite pedido vale \(0\text{.}\)
2.d.
Calcule, caso exista, \(\lim\limits_{(x,y)\to(1,1)}
x^2\ln(3x^2+y^2)\arctan\big(\dfrac{1}{y^2-x^2}\big)\text{.}\) Justifique, caso não exista.
Dica.
Será que temos aqui uma indeterminação, como no exercício acima?
O Teorema A.3.8 garante que este fator não tem limite.
Como a expressão original é composta pelo produto dos dois primeiros fatores, que tem limite não nulo, e o terceiro, que isoladamente não tem limite, o produto dos três fatores não pode ter limite.
